Das zehnte Buch

Auszug

Didaktiker haben sicher ihre helle Freude an Euklids Elementen, sind sie doch das Beispiel par excellence, wie man Mathematik ihrer Meinung nach nicht darstellen sollte. Euklid kommentiert sich nämlich nirgendwo. So sagt er auch im zehnten Buche nicht, wozu seine Untersuchungen gut sind. Nun, sie werden im dreizehnten Buche bei der Konstruktion der fünf platonischen Körper benutzt. Auf diese werden wir nicht eingehen. Es sei dies dem Leser nur gesagt, damit er weiß, dass die Untersuchungen des zehnten Buches nicht ohne Ziel geführt werden. Diese Untersuchungen sind aber auch für sich gesehen interessant. Die lineare Inkommensurabilität von Seite und Diagonale im Quadrat zeigt uns, dass die Elemente von Q₊ nicht allesamt Quadrate sind. Adjungiert man zu Q alle Quadratwurzeln aus positiven rationalen Zahlen, so erhält man einen Körper Q₁, der immer noch den Defekt hat, dass man über ihm keine euklidische Geometrie betreiben kann, da auch in ihm nicht alle positiven Elemente Quadrate sind. (Das besagen u. a. die Ergebnisse von Buch X.) Man muss auch zu ihm wieder die Wurzeln aus allen seinen positiven Elementen adjungieren, um zu einem Körper Q₂ zu gelangen, der dann immer noch nicht das Verlangte leistet. Iteration und Vereinigung aller Q _i liefert dann den kleinsten Körper, über dem euklidische Geometrie möglich ist. Euklid geht in seinen Untersuchungen grosso modo nur bis Q₂. (Proposition X.115 konstruiert Elemente in Q _n . Doch diese Proposition wird als späterer Zusatz angesehen.)