Zusammenfassung
Die Brownsche Bewegung ist nicht der einzige stochastische Prozess mit unabhängigen, stationären Zuwächsen. In diesem Kapitel werden wir eine ganze Klasse weiterer Prozesse mit dieser Eigenschaft kennenlernen. Der Unterschied liegt im Verhalten der Pfade. Bei der Brownschen Bewegung sind sie fast sicher stetig, nun entstehen die Pfade aus ihren Sprüngen. Das abschließende Resultat dieses Kapitels, die Lévy-Itô-Darstellung, besagt, dass mit diesen beiden Möglichkeiten alle Prozesse mit unabhängigen, stationären Zuwächsen erfasst sind. In diesem Sinne hat man es mit komplementären Formen des Zufalls zu tun, wie sich dies auch schon in den beiden aus der Elementaren Stochastik bekannten Grenzverteilungen der Binomialverteilung manifestiert, in der Normal- und der Poissonverteilung.
Ein Baustein ist das Konzept der Punktprozesse; diese sind auch von eigenständigem Interesse und haben vielfache Anwendungen.
Die Abschnitte des Kapitels lauten: Poissonprozesse auf der reellen Achse; Poissonsche Punktprozesse; Compound Poissonprozesse; Subordinatoren; Lévyprozesse; Aufgaben.
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Notes
- 1.
Siméon Denis Poisson, *1781 Pithiviers, \(\dagger\)1840 Paris. Fruchtbarer und einflussreicher Mathematiker und Physiker, der u. a. über Potentialtheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Variationsrechnung, Elektromagnetismus und Mechanik arbeitete.
- 2.
Augustin-Louis Cauchy, *1789 Paris, \(\dagger\)1857 Sceaux. Berühmter Analytiker, Pionier der Funktionentheorie und einflussreicher Lehrer an der École Polytechnique.
- 3.
Salomon Bochner, *1899 bei Krakau, \(\dagger\)1982 Houston, Texas. Mathematiker mit wichtigen Beiträgen zur harmonischen und komplexen Analysis. Er habilitierte 1927 in München und ging 1933 nach Princeton.
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Kersting, G., Wakolbinger, A. (2014). Poisson- und Lévyprozesse. In: Stochastische Prozesse. Mathematik Kompakt. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-7643-8433-3_4
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-7643-8433-3_4
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Publisher Name: Birkhäuser, Basel
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