Explizite Runge-Kutta-Verfahren für Anfangswertprobleme

Zusammenfassung

Durch Semi-Diskretisierung haben wir im letzten Kapitel erreicht, dass aus dem ursprünglichenAnfangsrandwertproblem einer partiellen Differentialgleichung ein Anfangswertproblem eines Systems von gewöhnlichen Differentialgleichungen entstand. Wir wenden uns nun der Konstruktion von Näherungslösungen solcher Problemstellungen zu und gehen dabei von der folgenden allgemeinen Form aus: Gesucht ist eine stetig differenzierbare Funktion u: [0, T] → ℝⁿ, sodass

$$\begin{gathered} u'\left( t \right) = f\left( {t,u\left( t \right)} \right) f\ddot ur alle t \in \left( {0,T} \right), \hfill \\ u\left( 0 \right) = {u_0} \hfill \\ \end{gathered} $$

(4.1)

für eine gegebene stetige rechte Seite f: [0, T] × ℝⁿ → ℝⁿ der Differentialgleichung und einen gegebenen Anfangswert u₀ ∈ ℝⁿ.