Variationsformulierung eines parabolischen Anfangsrandwertproblems

Zusammenfassung

Wir beginnen die Diskussion von instationären Problemen mit parabolischen Differentialgleichungen und benötigen dazu zunächst alle Größen, die bereits für ein (elliptisches) Randwertproblem in Band 1, Kapitel 7 eingeführt wurden: Eine offene Menge Ω ⊂ ℝ^d mit der Raumdimension d ∈ {1, 2, 3}, zwei disjunkte Teilmengen Λ_D und Λ_N, die den ganzen Rand Λ=ϱΩ=Λ _D ∪Λ _N umfassen und einen (linearen) Differentialoperator L, gegeben durch

$$\begin{gathered} Lv\left( x \right) = - \sum\limits_{i,k = 1}^d {\frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {{a_{ik}}\left( x \right)\frac{{\partial v}}{{\partial {x_k}}}\left( x \right)} \right)} + \sum\limits_{i = 1}^d {{b_i}\left( x \right)\frac{{\partial v}}{{\partial {x_i}}}\left( x \right) + c\left( x \right)v\left( x \right)} \hfill \\ = - div\left( {A\left( x \right) grad v \left( x \right)} \right) + b\left( x \right) \cdot grad v\left( x \right) + c\left( x \right)v\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} $$

mit den Koeffizienten A(x)=(a _ik (x)) _i,k =1,..., d, b(x)=(b _i (x)) _i =1,...,d und c(x). Wir betrachten das folgende typische Anfangsrandwertproblem: Gesucht ist eine Funktion u auf ${\bar Q_T}$, dem Abschluss der Menge Q _T =Δ × (0, T) (siehe Einleitung), welche die Differentialgleichung

$$\frac{{\partial u}}{{\partial t}}\left( {x,t} \right) + Lu\left( {x,t} \right) = f\left( {x,t} \right) f\ddot ur alle \left( {x,t} \right) \in {Q_T},$$

die Randbedingungen

$$\begin{gathered} u\left( {x,t} \right) = {g_D}\left( {x,t} \right) f\ddot ur alle \left( {x,t} \right) \in {\Gamma _D} \times \left( {0,T} \right), \hfill \\ A\left( x \right)grad u\left( {x,t} \right) \cdot n\left( x \right) = {g_N}\left( {x,t} \right) f\ddot ur alle \left( {x,t} \right) \in {\Gamma _N} \times \left( {0,T} \right) \hfill \\ \end{gathered} $$

und die Anfangsbedingung

$$u\left( {x,0} \right) = {u_0}\left( x \right) f\ddot ur alle x \in \bar \Omega $$

für vorgegebene Daten A, b, c, f, g _D , g _N und u₀ erfüllt.