Der Wahrheitsbegriff in den Sprachen endlicher Ordnung und die Grenzen der Wahrheitsdefinition

Zusammenfassung

In Kap. IV wurde das Problem der Definition des Begriffs der wahren Aussage in Sprachen, in welchen Variable vorkommen, erörtert. Dabei wurde aber, sowohl im Fall des Systems S _g wie des wesentlich reicheren Systems Kl, die Voraussetzung gemacht, daß die dabei vorkommenden Variablen von ein und derselben Art sind. In S _g waren es Individuenvariable, in Kl Klassenvariable. Läßt man diese Voraussetzung der Gleichartigkeit der Variablen fallen, so vergrößern sich die Schwierigkeiten bei der Aufstellung einer Wahrheitsdefinition. Dann muß nämlich jenen Komplikationen innerhalb der Sprache Rechnung getragen werden, denen im Rahmen der symbolischen Logik die Einteilung der Variablen in „Typen“ und „Stufen“ entspricht. Diese Einteilung erwuchs aus dem Bestreben, bestimmte Antinomien zu beseitigen wie z. B. die Paradoxie der Menge aller Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten¹. Dazu werden die Prädikate des symbolischen Systems in eine hierarchische Ordnung gebracht. Jeder Prädikatvariablen (bzw. falls die Sprache der Klassenlogik vorgezogen wird: jeder Klassenvariablen) sowie jeder Prädikatkonstanten wird eine natürliche Zahl als ihre Stufe zugeordnet. Die Individuenausdrücke erhalten dabei die 0-te Stufe. Die erste Stufe wird Prädikaten (beliebigen Grades²) zugeschrieben, in deren Leerstellen lediglich Individuenvariable vorkommen. Die Prädikate der zweiten Stufe bestehen aus jenen Prädikatausdrücken, deren Leerstellen aus Individuenvariablen oder Prädikatvariablen der ersten Stufe bestehen, wobei mindestens eine Leerstelle mit einer Pradikatvariablen der ersten Stufe besetzt sein muß. Allgemein gehört eine Prädikatvariable zur n-ten Stufe, wenn sie mindestens eine Prädikatvariable der (n—)-ten Stufe als Argument enthält und alle übrigen Argumentstellen mit Ausdrucken von niedrigerer als n-ter Stufe besetzt sind. Prädikatausdrücke ein und derselben Stufe können voneinander noch immer außerordentlich verschieden sein, da ja die Zahl der Leerstellen bei der Stufeneinteilung nicht berücksichtigt wird. Aus diesem Grunde wird eine verfeinerte Einteilung der Ausdrücke, nämlich die sogenannte Typeneinteilung, vorgenommen. Alle Individuenausdrücke erhalten zunächst ein und denselben Typus zugeordnet, der etwa mit „i“ bezeichnet werden kann. Jede Prädikatvariable mit n -Leerstellen erhält dann als Typus jenen Ausdruck zugeordnet, der dadurch entsteht, daß man für alle an den Argumentstellen stehenden Variablen deren Typus einsetzt und den ganzen Ausdruck einklammert. Wenn z. B. „P (x₁, x₂, ... x _n )“ eine Satzfunktion der ersten Stufe mit n Argumentstellen ist, die also nur Individuenvariable enthält, so ist der Typus dieses Ausdruckes (i, i, ... i), wobei innerhalb der Klammer das „i“ n-mal angeschrieben werden muß. Ist der Prädikatausdruck hingegen von der zweiten Stufe und enthält er etwa drei Leerstellen, wobei die erste von einem Prädikatausdruck der ersten Stufe vom Typus (i, i), die zweite Argumentstelle von einer Individuenvariablen und die dritte von einem Prädikat erster Stufe vom Typus (i, i, i) besetzt ist, so erhält der fragliche Prädikatausdruck zweiter Stufe den Typus: ((i,i),i,(i,i,i)). Die Begriffe „Grad“, „Stufe“ und „Typus“ sind auch auf die Attribute selbst anwendbar, welche stets durch bestimmte Prädikate definiert werden.