Zweiteilchensysteme

Zusammenfassung

Besteht ein System aus zwei Teilchen, die aufeinander Kräfte ausüben, dann hat die Hamiltonfunktion die Form

$$ H = {{p_1^2} \mathord{\left/ {\vphantom {{p_1^2} {2{m_1}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {2{m_1}}} + {{p_2^2} \mathord{\left/ {\vphantom {{p_2^2} {2{m_2}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {2{m_2}}} + {V_{\left( {{r_1},{r_2}} \right)}}, $$

((1))

wenn wir die Teilchen durch die Indizes 1 und 2 unterscheiden. Wir beschränken uns auf solche Fälle, in denen die Kraft nur von x₁ - x₂ abhängt, so daß

$$ {V_{\left( {{r_1},{r_2}} \right)}} = {V_{\left( {{r_1} - {r_2}} \right)}} $$

((2))

ist. Dann kann das Zweiteilchensystem immer auf ein Einteilchensystem zurückgeführt und die Wellengleichung separiert werden, wenn man neue Koordinaten x und x₀ durch

$$ r = {r_1} - {r_2}\;und\;{r_0} = {{\left( {{m_1}{r_1} + {m_2}{r_2}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{m_1}{r_1} + {m_2}{r_2}} \right)} {\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}} $$

((3))

einführt. Der Vektor r ist vom Mittelpunkt des Teilchens 2 zu dem von Teilchen 1 gerichtet, während x₀ den Schwerpunkt des gesamten Zweiteilchensystems bezeichnet. Mit den Abkürzungen

$$ M = {m_1} + {m_2},\;\mu = {{{m_1}{m_{}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{m_1}{m_{}}} {M,}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {M,}}\;{p_0} - M{\dot r_0}\;und\;p = \mu \dot r $$

((4))

für die gesamte und die „reduzierte“ Masse, den Impuls, der tier Bewegung des Gesamtschwerpunktes entspricht, und den „relativen“ oder „inneren“ Impuls der Teilchen ergibt sich aus (1)

$$ H = {{p_0^2} \mathord{\left/ {\vphantom {{p_0^2} {2M}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {2M}} + {{{p^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{p^2}} {2\mu }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {2\mu }} + {V_{\left( r \right)}}. $$

((5))

.