Raumkurven

Zusammenfassung

Ich beginne mit einer kurzen Zusammenfassung des an verschiedenen Stellen über Kaumkurven bereits Gesagten. Sei

$${x_i} = {x_i}\left( t \right), i = 1,2,3$$

((1))

die Parameterdarstellung einer Kurve C Von den drei Funktionen x _i (t) setze ich dabei voraus, daß sie in einem Intervall α ≦ t ≦ β definiert und — mit Rücksicht auf das folgende — dreimal stetig differenzierbar sind. Die Ableitungen

$${v_i} = {\dot x_i} = \frac{{d{x_i}}}{{dt}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{x_i}\left( {t + h} \right) - {x_i}\left( t \right)}}{h}$$

((2))

sind die Koordinaten eines Vektors, dessen Richtung in jedem Punkt P von C mit der Richtung der Tangente an C in P übereinstimmt. Den Einsvektor

$${T_i}\, = \,\frac{{{{\dot x}_i}}}{{\sqrt {{{\dot x}_i}{{\dot x}_i}} }}$$

((3))

derselben Richtung nennt man den Tangentenvektor von C in P. Bedeutet t die Zeit, so kann man C als Bahnkurve eines bewegten Punktes P auffassen; der Vektor v _i , = x _i stellt dann nach Richtung und Länge die Geschwindigkeit von P dar und wird als Geschwindigkeitsvektor von P bezeichnet.