Energie- und zeitoptimale Positionierung

Zusammenfassung

Eine I₂-Regelstrecke sei énergie- und zeitoptimal, d.h. unter Minimisierung nachstehenden Gütekriteriums

$$ I = 0,5\int\limits_0^{{t_f}} {{u^2}(t)dt + \int\limits_0^{{t_f}} {dt} } $$

((19.1))

mit t₀= 0 derart zu steuern, daß von den Anfangsbedingungen x₁(0), x₂(0) in die Ruhelage als Endbedingung R_f übergegangen wird. Dabei ist die Stellgrößenbegrenzung -1 = u_min ≤ u(t) < u_max = 1 zu beachten. Die Streckengleichungen lauten im Zustandsraum

$$\begin{array}{*{20}{c}} {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\dot{x}}}_{1}} = {{x}_{2}} = {{g}_{1}}} \hfill \\ {{{{\dot{x}}}_{2}} = u = {{g}_{2}}} \hfill \\ \end{array} } \right\}} & {{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\dot{x}}} = \frac{{\partial H}}{{\partial {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\lambda }}}},} \\ \end{array}$$

(19.2)

die Hamilton-Funktion somit

$$ H =- 1 - 0,5{u^2} + {\lambda _1}{x_2} + {\lambda _2}u$$

((19.3))