Fredholmsche Integralgleichungen 1.Art

Zusammenfassung

Wir untersuchen in diesem Kapitel lineare Integralgleichungen 1. Art

$$\underset{\int} \int_{G} k(s, t)x (t)dt = y(s) s \in G$$

mit einem L²-Kern k und $y \in L^{2}(G)$, wobei $G \subseteq \mathbb{R}^{N}$ kompakt und Jordanmeßbar mit positivem Inhalt sei. Damit läßt sich (7.1) auch in der Form

$$Kx = y$$

mit kompaktem K schreiben, wobei K der durch k erzeugte Integraloperator auf L²(G) ist. Die zu entwickelnde Theorie wird allerdings nicht wesentlich auf der Kompaktheit beruhen, sondern auch für bestimmte lineare Operatoren K anwendbar sein, deren Wertebereich R(K) nicht abgeschlossen ist. Nach Satz 2.18 hat ja ein kompakter Operator diese Eigenschaft, falls R(K) nicht endlichdimensional ist. Wir werden sehen, daß diese Eigenschaft auch dafür verantwortlich ist, daß beliebig kleine Störungen in y zu beliebig großen Störungen in der Lösung führen können (vgl. Bern. 2.41), das Problem der Lösung von (7.2) also “inkorrekt gestellt” ist; sie ist also das eigentliche Unterscheidungskriterium zwischen Gleichungen erster und zweiter Art.