Sturm—Liouville—Theorie

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir Anfangs- und Randwertprobleme für eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung mit variablen Koeffizienten in eine Integralgleichung umformen, sodaß wir die Ergebnisse (insbesondere über Eigenwerte) aus Kapitel 2 und 4 benutzen können. Auf einem Intervall [a, b] betrachten wir die Gleichung

$$\bar{p}(s){x}'' (s) + \bar{r}(s){x}'(s) + \bar{q}(s)x(s) = \bar{f} (s)$$

mit stetigen Funktionen p̄, f̄, q̄, f̄, wobei p̄ keine Nullstellen hat. Es sei x eine Lösung von (5.1), $p(s): = \exp (\mathop \smallint \limits_a^s \tfrac{{\bar r(t)}}{{\bar p(t)}}dt), q(s) : = \tfrac{{p(s)}}{{\bar p(s)}}\bar q(s), f(s) : = \tfrac{{p(s)}}{{\bar p(s)}}\bar f(s)$ für $s \in [a, b]$. Da ${p}' (s) = p(s)\frac{r(s)}{\bar{p}(s)}$, folgt aus (5.1) durch Multiplikation mit $\frac{p(s)}{\bar{p}(s)}$ für $s \in [a, b]: f(s) = p(s){x}'' (s) + {p}'(s){x}'(s) + q(s)x(s) = (p{x}')' (s) + q(s)x(s)$. Also läßt sich (5.1) zurückführen auf

$$(p{x}')'(s) + q(s)x(s) = f(s) (s \in [a, b])$$

mit $p \in C^{1}\left ( [a, b] \right ), q, f \in C \left ( [a, b] \right )$, wobei p nirgends verschwindet. Wir betrachten im folgenden Anfangs-, Randwert- und Eigenwertprobleme für (5.2); wir verwenden bis auf weiteres die Abkürzung

$$(Lx)(s) := (p{x}')'(s) + q (s)x(s)$$

und behalten obige Voraussetzungen über p, q, f bei.