Zusammenfassung
Unser Ausgangspunkt ist ein Zahlköpper, d. i. eine Menge von Zahlen, welche gegenüber den vier Rechnungsoperationen: Addition, Subtraktion, (kommutative) Multiplikation und Division (ausgenommen Division durch null) abgeschlossen ist. Wenn wir diese Rechnungsoperationen auf beliebige Zahlen des Körpers endlich oft anwenden, so bekommen wir immer ein Resultat, das wieder eine Zahl desselben Körpers ist.
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Literatur
Die endlichen kommutativen Körper (Galois-Felder) und deren Erweiterungen, sowie alle nichtkommutativen Körper sind grundsätzlich aus dem Kreis unserer Untersuchungen ausgeschlossen.
Vgl. B. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig, 5. Aufl. 1927.
Ein Beweis dieses Satzes würde hier zu weit führen; wir verweisen auf die Lehrbücher der Funktionentheorie und der Algebra, z. B. Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie I, oder v. d. Waerden, Moderne Algebra I.
Vgl. etwa Knopp, Unendliche Reihen.
Wir werden aus sprachlichen Gründen meist den Namen „Variable“ bevorzugen, ohne uns damit in eine Diskussion über den logisch nicht völlig geklärten Begriff „Variable“ einlassen zu wollen.
D. h. aus ab = 0 folgt, daß mindestens ein Faktor null ist.
Siehe die Erklärungen einiger algebraischen Begriffe in 003.
Wir lassen dort, wo keine Mißverständnisse entstehen können, häufig die Indizes weg und schreiben einfach p (x) für p (x 1,.., x n)
ZPE = eindeutige Zerlegbarkeit in Primelemente, vgl. 001.
Das hat selbstverständlich nur dann Sinn, wenn f und p die Variable x n wirklich enthalten.
Wir lassen im folgenden die sich von selbst verstehenden Summierungs-angaben v = 0, 1,…, ∞ beim Summenzeichen weg. Da die Koeffizienten einer Potenzreihe von einem gewissen Index ab sämtlich null sein können, treten als Spezialfälle auch Polynome und Konstanten auf. Die angegebenen Eechen-regeln gelten widerspruchsfrei auch für die letzteren.
Wählt man in jeder Restklasse modulo u m (vgl. 115.12) einen Vertreter, d. h. eine bestimmte in der Bestklasse enthaltene Form aus, so bilden diese ein Restsystem modulo u m .
Eine Potenzreihe ist sicher irreduzibel, wenn ihr erstes Glied irreduzibel ist.
Dadurch wird die Allgemeinheit nicht eingeschränkt, denn wäre das nicht der Fall, so könnten wir es mit Hilfe eines häufig angewendeten Kunstgriffes leicht erreichen, indem wir eine umkehrbare lineare homogene Transformation der Variablen vorausschicken (121.4).
Diesem Beweis liegt das „Auswahlprinzip“ der Mengenlehre zugrunde; vgl. Enzyklopädie d. Math. Wiss. Bd. I 1,5, Kamke, Allgemeine Mengenlehre 12, (1939).
Hilbert, Math. Ann. 36 (1890), S. 474.
Ganz analog wird die Homomorphie auch zwischen zwei Gruppen definiert. Es ist klar, daß Null- und Einselement von R notwendig wieder auf das Null-und Einselement in R′ und daß Ideale von R auf Ideale von R′ abgebildet werden.
Von dieser Möglichkeit werden wir oft Gebrauch machen, ohne dies jedesmal weitläufig zu begründen.
Offenbar bilden diese Elemente tatsächlich ein Ideal in R, weil die Abbildung operationstreu ist.
b ist notwendig Teiler von a.
Das ist bei unseren Anwendungen immer der Fall.
Die sehr einfache Bestätigung dieser Formeln darf dem Leser überlassen bleiben.
Unter der bei uns immer erfüllten Voraussetzung, daß R ein Einselement enthält.
Außerdem müssen noch gewisse Voraussetzungen über dem Grundkörper K, bzw. seinem algebraisch abgeschlossenen Erweiterungskörper C, in dem man die Wurzel berechnen will, erfüllt sein. Vor allem muß ein nach Cauchy konvergenter Grenzprozeß tatsächlich immer zu einem Grenzwert führen, d. h. C muß stetig sein (111.2). Auch darauf kann man bei der algebraischen Konstruktion von K (α) verzichten.
Das ist der sogenannte „Austauschsatz“von Steinitz.
Vgl. v. d. Waerden, Moderne Algebra, 1. Aufl., Bd. 1, S. 120. Mit Hilfe des Begriffes „konjugierte Größen“kann der Beweis dieses Satzes vereinfacht werden.
Beim Beweise wurde außer den Eigenschaften, welche K als Körper zukommen, noch benützt, daß K unendlich viele Elemente enthalte und daß eine irreduzible Gleichung f (x) = 0 mit ihrer Ableitung f’(x) keine Wurzel gemein habe (daß also f’(x) nicht identisch verschwinde). Diese Eigenschaften sind bei Körpern der Charakteristik null, welche den rationalen Zahlkörper als Primkörper enthalten, immer verwirklicht. Andere Körper haben wir aber aus unseren Betrachtungen grundsätzlich ausgeschlossen.
x 2 ist natürlich auch transzendent über K; es ist aber nicht umgekehrt jede transzendente Größe über K auch noch transzendent über K (x 1), z. B. x 1 selbst.
Es kann sein, daß eine Umnumerierung der Variablen notwendig war. Wesentlich ist, daß die δ Variablen y i sich immer durch Hinzufügen von d-δ Variablen xj zu einem vollständigen System algebraisch unabhängiger Variablen ergänzen lassen.
Hätte o Nullteiler, so gäbe es zwei Polynome g 1 und g 2, deren Produkt in a liegt, d. h. durch f teilbar ist, ohne daß dies bereits für einen Faktor gilt, d. h. das Polynom f wäre nicht irreduzibel.
Der Restklassenkörper eines Primideals ist der Quotientenkörper (003) seines Restklassenringes.
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Gröbner, W. (1949). Der Polynomring. In: Moderne Algebraische Geometrie. Springer, Vienna. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-5740-4_2
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