Die Grundoperationen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zusammenfassung

Es seien irgendwelche Verteilungen U ₁ U ₂ ... d. h. die Merkmalmengen R₁, R₂... und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten gegeben. Aus diesen Verteilungen wird nun durch gewisse Operationen eine neue Verteilung U hergeleitet mit Merkmalen, die sich in einer bestimmten Weise aus den Merkmalen der gegebenen Verteilungen zusammensetzen. Es ist die Aufgabe gestellt, die Wahrscheinlichkeiten dieser neuen Verteilung zu berechnen. Die Operationen, durch welche die Verteilung U aus den gegebenen abgeleitet sein kann, lassen sich auf drei einfache Grundoperationen zurückführen, die wir als Mischung, Teilung und Verbindung bezeichnen. Bei den beiden ersten entsteht die neue Verteilung durch Umformung einer einzigen gegebenen Verteilung, während die Operation der Verbindung zumindest zwei gegebene Verteilungen voraussetzt und aus ihnen eine neue herleitet. Ein Beispiel einer solchen Operation haben wir in der letzten Ziffer von § 6 bereits kennengelernt. Gegeben war eine Verteilung mit der Merkmalmenge R = {x _i } und den Wahrscheinlichkeiten p _i , die wir uns durch ein Urnenmodell veranschaulicht haben. Wenn wir aus der Urne nicht eine, sondern zwei oder mehrere Kugeln ziehen, so entsteht offenbar eine neue Verteilung, deren Merkmale andere sind als vorher, nämlich Zahlenpaare (x _i , x _k ) bei Ziehungen von zwei Kugeln oder allgemeiner Gruppen von m′ Zahlen, wenn wir m′ Kugeln zugleich aus der Urne nehmen. Wir konnten die Verteilungen berechnen, indem wir auf die Wahrscheinlichkeitsdefinition zurückgingen, aber in vielen Fällen wäre dieses Verfahren viel zu kompliziert, um eine brauchbare Methode darzustellen.