Höhere Ableitungen

Zusammenfassung

Ist y = f(x) in einem Intervall J differenzierbar, dann ist die Ableitung

$$y' = \frac{{dy}}{{dx}} = f'\left( x \right)$$

wieder eine Funktion von x und man kann nach ihrer Ableitung fragen. Existiert der Grenzwert

$$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f'\left( {x + h} \right) - f'\left( x \right)}}{h} = f''\left( x \right),$$

so nennt man ihn die zweite Ableitung oder Ableitung zweiter Ordnung von f(x) an der Stelle x und schreibt

$$y'' = f''\left( x \right) = \frac{d}{{dx}}\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{{{d^2}f\left( x \right)}}{{d{x^2}}},$$

wobei das Leibnizsche Symbol $\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}$ aus $\frac{d}{{dx}}\frac{{dy}}{{dx}}$ durch formale Multiplikation entsteht. Im Nenner eines Differentialquotienten bedeutet somit

$$d{x^2} = {\left( {dx} \right)^2} = dx.dx;$$

man läßt also zur Vereinfachung der Schreibweise die Klammern weg, hat aber dieses Symbol zu unterscheiden von dem in derselben Weise geschriebenen Differential der Funktion x²

$$d{x^2} = d\left( {{x^2}} \right) = 2xdx.$$