Thomas-Fermi-Theorie

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wollen wir diejenigen Probleme der Thomas-Fermi-Theorie besprechen, deren Lösung sich fast ausschließlich auf Methoden der Variationsrechnung stützt. Bezüglich Fragen der Gültigkeit und der physikalischen Interpretation verweisen wir auf W. Thirring [IX.1], E. Lieb und B. Simon [IX.2] und die dort zitierte Literatur. Hier nicht bewiesene Aussagen sind in [IX.1] und zum Teil in [IX.3] begründet. Ausgangspunkt der Thomas-Fermi-Theorie (TFT) ist das Problem, die Grundzustandsenergie quantenmechanischer Viel-Elektronensysteme zu bestimmen. In der TFT versucht man, dieses lineare Problem dadurch zu lösen, daß man ein die quantenmechanische Grundzustandsenergie approximierendes nicht-lineares Funktional ℰ, nämlich das Thomas-Fermi-Energie-Funktional

$$E(p) \equiv E(p,V) = K(p) - A_v (p) + R(p)$$

((9.1))

,

$$\begin{array}{*{20}c} {K(p) = \frac{3} {5}\,\int {p(x)^{5/3} \,d^3 x,} } \\ {Av(p) = \int {V(x)p(x)d^3 x,} } \\ {R(p) = \frac{1} {2}\int {p(x)p(y)} |x - y|^{ - 1} d^3 xd^3 y} \\ \end{array} $$

((9.1′))

unter der Nebenbedingung

$$\begin{array}{*{20}c} {\int {pd^3 x = N,} } & {p > 0} \\ \end{array} $$

zu minimieren versucht. In diesem Kapitel setzen wir ʃ = ʃ_ℝ3. (In der Form (9.1) für ℰ ist unter Ausnutzung von Skaleneigenschaften eine bequeme Normierung gewählt worden.)