Zusammenfassung
Auch wer sich bloß als Anwender von statistischen Methoden sieht, sollte zumindest die in der einschlägigen Literatur (z. B. Softwaredokumentationen) beschriebenen Anwendungsvoraussetzungen verstehen und die erhaltenen Ergebnisse richtig interpretieren können. Zu diesem Zweck ist eine Vertrautheit mit dem Wahrscheinlichkeitsbegriff und einfachen Regeln für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten ebenso nützlich wie die Kenntnis der grundlegenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Das erste Kapitel führt in die Begriffswelt der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein, die das mathematische Standbein der Statistik darstellt. Die Einführung ist weitgehend heuristisch und verbal-beschreibend abgefasst; auf Grund der wachsenden Durchdringung der Disziplinen mit mathematisch-statistischen Formalismen wird aber auch die mathematische Symbolik soweit verwendet, als sie zum Verständnis von Formeln erforderlich ist, die in Praxis auftreten.
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- 1.
Vgl. Marquis de Laplace (1795, engl. Übersetzung 1902, Kapitel II): The theory of chance consists in reducing all events of the same kind to a certain number of cases equally possible, that is to say, to such as we may be equally undecided about in regard to their existence, and in determining the number of cases favourable to the event whose probability is sought. The ratio of this number to that of all the cases possible is the measure of this probability, which is thus simply a fraction whose numerator is the number of favourable cases and whose denominator is the number of all the cases possible.
- 2.
Eine Menge mit unendlich vielen Elementen heißt abzählbar, wenn sich die Elemente durchnummerieren und auf diese Weise umkehrbar eindeutig den natürlichen Zahlen zuordnen lassen. Mit abzählbar unendlichen Ergebnismengen wird bei der Modellierung von Zufallsexperimenten gearbeitet, die eine sehr große Anzahl von Ausgängen besitzen; das ist z. B. beim radioaktiven Zerfall von 1 g Radium mit mehr als 1021 Atomkernen der Fall, die alle mit einer gewissen Chance innerhalb einer Zeiteinheit zerfallen können. Mengen, die nicht abzählbar sind, heißen überabzählbar. Ein Beispiel dafür ist die Menge der reellen Zahlen im Intervall [0,1]. Mit überabzählbaren Ergebnismengen hat man es z. B. bei Herstellungsprozessen zu tun, wo zufallsbedingte Abweichungen von einem vorgegebenen Sollwert (etwa der Konzentration eines Wirkstoffes in einem Medikament) unvermeidlich sind. Die Menge der möglichen Abweichungen umfasst i. Allg. alle reellen Zahlen in einem gewissen Intervall um den Nullpunkt.
- 3.
Für das durch die leere Menge ∅ symbolisierte unmögliche Ereignis gilt P(∅) = 0. Wenn aber P(E) = 0 für ein Ereignis E gilt, folgt daraus nicht notwendigerweise, dass E ein unmögliches Ereignis ist. Man kann sich diesen Sachverhalt mit der Häufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit plausibel machen. P(E) = 0 bedeutet danach, dass die relative Häufigkeit des Ereignisses E bei sehr großer Anzahl von Versuchsdurchführungen praktisch null ist; dies schließt nicht aus, dass E in einer langen Versuchsserie vereinzelt auftritt. Bei einer geringen Anzahl von Versuchsausführungen ist es aber fast sicher, dass E nicht eintritt.
- 4.
Die Definitionsmenge Σ des Wahrscheinlichkeitsmaßes P wurde unscharf als Menge aller bei der Durchführung des Zufallsexperimentes beobachtbaren Ereignisse bezeichnet. Diese Menge kann bei endlicher oder abzählbarer Ergebnismenge Ω mit der Potenzmenge von Ω, d. h., der Menge aller Teilmengen von Ω gleich gesetzt werden. Bei überabzählbarer Ergebnismenge ist die Potenzmenge von Ω aber einzuschränken, d. h., Σ ist in diesem Fall nur mehr eine Teilmenge der Potenzmenge von Ω. Damit eine Bewertung der Ereignisse mit Hilfe eines Wahrscheinlichkeitsmaßes möglich ist, das den Kolmogorovschen Axiomen genügt, muss Σ folgende Eigenschaften besitzen: (1) Die Ergebnismenge Ω ist ein Element von Σ. (2) Mit jedem Element E ∈ Σ gehört auch \(E^{c}=\Omega\setminus E\) zu Σ. (3) Die Vereinigung E 1 ∪ E 2 ∪ ⋯ jeder endlichen oder unendlichen Folge von Ereignissen E i ⊆ Σ (i = 1,2, …) ist Element von Σ. Man bezeichnet ein Mengensystem Σ mit diesen Eigenschaften als eine σ-Algebra (oder eine Ereignisalgebra) über Ω.
- 5.
Vgl. dazu auch die Ausführungen in Punkt 1 der Ergänzungen (Abschn. 1.7).
- 6.
Thomas Bayes (1702–1761) wirkte als Pfarrer in England und beschäftigte sich auch mit Philosophie und Mathematik. Neben dem Satz von Bayes ist mit seinem Namen auch der Bayes’sche Wahrscheinlichkeitsbegriff verbunden, nach dem die Wahrscheinlichkeit als ein Maß für die persönliche Überzeugung interpretiert wird.
- 7.
Die so erzeugten Zufallszahlen sind Realisierungen einer im Intervall [0,1] gleichverteilten stetigen Zufallsvariablen (vgl. Abschn. 2.3).
- 8.
Das Dreieck ist nach dem französischen Mathematiker, Physiker und Philosophen Blaise Pascal (1623–1662) bezeichnet. Es war aber schon vor Pascal bekannt, z. B. in China, wo es nach dem im 13. Jahrhundert lebenden Mathematiker Yang Hui benannt wird.
- 9.
Mit der Ungleichung von Bonferroni kann die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts von n Ereignissen nach unten abgeschätzt werden. Die Ungleichung geht auf den italienischen Mathematiker Carlo Emilio Bonferroni (1892–1960) zurück. Vgl. z. B. Arens et al. (5).
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Timischl, W. (2013). Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten. In: Angewandte Statistik. Springer, Vienna. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-1349-3_1
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Publisher Name: Springer, Vienna
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