Das Elektron im idealen Kristallpotential (exakt)

Zusammenfassung

Für alle vom Ortsvektor r im Kristall abhängigen Funktionen Φ(r) wollen wir zuerst folgende auf Born und von Karman zurückgehende Periodizitätsbedingung fordern: Es sei G > 0 irgendeine bestimmte ganze Zahl, dann soll gelten:

Das bedeutet: Die physikalischen Verhältnisse sollen sich im zunächst unendlich ausgedehnt gedachten Kristall nach Zurücklegen von G Basisvektoren a _i genau wiederholen. Dadurch entstehen nebeneinander Periodizitätsvolumina, die jeweils G ³ Elementarzellen enthalten, also das Volumen Ω = G ³ Ω ₀ haben, in denen sich physikalisch genau dieselben Vorgänge abspielen. Für den Fall, daß Oberflächenphänomene ohne Bedeutung sind, stellt jedes Periodizitätsgebiet ein geeignetes Modell eines endlich ausgedehnten Kristalls vom Volumen Ω dar. Es versteht sich von selbst, daß für gitterperiodische Funktionen die Bedingung (2.1) keine zusätzliche Forderung bedeutet. Die periodische Randbedingung stellt vorwiegend eine rechentechnische Hilfe dar, die der Wirklichkeit um so weniger Zwang antut, je größer die ganze Zahl G gewählt wird. Wir werden deshalb im folgenden stets die Zahl G ³ praktisch mit der Zahl der Atome in einem vorliegenden makroskopischen Kristall identifizieren, wodurch die Randbedingung ohne Einfluß auf die berechneten physikalischen Meßgrößen wird, wie man es auch zu verlangen hat.