Beispiel einer stetigen nirgends differenzierbaren Funktion

Zusammenfassung

Schon auf S. 67 haben wir einige Andeutungen über den Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion gegeben. Wir hatten damals erkannt, daß zwar die Differenzierbarkeit die Stetigkeit nach sich zieht, daß aber umgekehrt nicht aus der Stetigkeit auf die Differenzierbarkeit geschlossen werden kann. Wir hatten S. 67 Beispiele stetiger Funktionen gegeben, die an einer Stelle nicht differenzierbar waren. Diese Ausführungen sollen nun durch ein Beispiel einer stetigen Funktion ergänzt werden, welche sogar an keiner Stelle eines Intervalles differenzierbar ist. Wir werden zunächst in Parameterdarstellung x = x(t), y = y(t) eine Kurve angeben, die durch jeden Punkt eines ganzen Quadrates hindurch geht. Sie führt nach Peano, der sie zuerst angab, den Namen Peanokurve. Die Funktionen x = x(t) und y = y(t) werden sich zwar als stetig, aber nicht als differenzierbar erweisen. Wir wollen nun die Zuordnung der Punkte des Quadrates zu den Punkten einer Strecke definieren, auf der das Weitere beruht. Wir fassen so gewissermaßen die Punkte des Quadrates als eindeutige Punktion einer Variablen t auf.