Zusammenfassung
Schon in den vierziger Jahren des vorigen Jahrhunderts (vgl. VI. Kap., § 4) war das Bestreben vorhanden, die Stereometrie enger mit der Planimetrie zu verschmelzen. Überwogen damals auch Gründe der wissenschaftlichen Systematik, so spielte doch auch schon der didaktische Gedanke herein, daß der j ahrelang nur mit Planimetrie beschäftigte Schüler geradezu zur Raumblindheit erzogen werde. In Italien führten dann beide Arten von Gründen zu einer weitgehenden „Fusion” zwischen Planimetrie und Stereometrie. Aber der Rückschlag blieb nicht aus. Die zu frühe und zu ausgedehnte Beschäftigung mit Stereometrie erwies sich als viel zu schwer. Das schließt aber nicht aus, daß man einerseits im geometrischen Vorbereitungsunterricht die planimetrischen Gebilde zuerst an Körpern aufzeigt, um sie von ihnen zu abstrahieren, und daß man andererseits umgekehrt in der Planimetrie bei neuen Figuren jeweils wieder die Körper heranzieht und bespricht, an denen sie vorkommen. Man treibt dann eine gemäßigte Fusion, wie sie jetzt auch in den neuen württembergischen Lehrplänen von 1926/1927 vorgeschrieben ist. Da es sich dabei aber nur um Anwendungen der Planimetrie auf stereometrische Dinge handelt, so ist in unserem Lehrgang bisher nirgends ausdrücklich darauf eingegangen worden. Art und Umfang dieser Anwendungen bleibe ganz dem Lehrer überlassen.
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Referenzen
Man vgl. z. B. Maisch, Raum und Zahl, 3.Heft: Maey, Geometrie, I.Teil, Leipzig 1926 und Reidt-Wolff-Kerst, Die Elemente der Mathematik, Band II: Geometrie (Unterstufe), Berlin 1926. In unserem planimetrischen Lehrgang wären etwa folgende Ergänzungsnummern hinzuzufügen: II. Kap., I.Abschnitt, S.27: (37) Axiale Symmetrie im Raum, (a) Symmetrie an einer Ebene, (b) Symmetrie an einer Geraden. Symmetrieebenen und -achsen an den im geometrischen Vorbereitungsunterricht betrachteten Körpern. II. Kap., 2.Abschn., S.30: (25) Betrachtung von Pyramiden. Grund- und Auf-riß. Konstruktion des Netzes bei gegebenen Kanten oder gegebener Spitze. Senkrechtstehen von Geraden und Ebenen. II. Kap., 3.Abschn., § 2, S.37: (28) Parallelismus im Raum. Parallele Geraden und Ebenen. II. Kap., 4.Abschn., S.42: (50) Betrachtung von geraden und schiefen Prismen. Grund- und Aufriß. Netz. (5 Zentrische Symmetrie im Raum. Körper mit Mittelpunkt. III. Kap., 4. Abschn., § 2, S.60: (34) Ergänzungsgleichheit und Rauminhalt gerader und schiefer Prismen. Rauminhalt einer Pyramide (Angabe der Formel ohne Beweis!!). IV. Kap., 2. Abschn., § 1, S.90: (19) Ähnliche Schnitte bei Pyramiden und Pyramidenstumpfen. IV. Kap., 5. Abschn., § 2, S. 122: (30) Zylinder und Kegel. Grund- und Aufriß. Abwicklung. Berechnung.
Vgl. dazu Q. Nr. 51.
Ist α ≠ 900 und ≠ 2700, so liegt die allgemeine Affinität oder Drehstreckung vor. Für sin (math) ist sie sofort durch die schiefe Affinität oder schiefe axiale Streckung mit Affinitätsrichtung IIp ersetzbar, für sin (math) hat man die Affingleichheit oder Scheerung. Ist α = 900 oder 2700, so liegt die senkrechte Affinität oder senkrechte axiale Streckung vor.
Man kann gleich die Allgemeingültigkeit dieses Satzes zeigen. 2) Schöner Übungsstoff ist bei Richter, Über die Einführung in die Stereometrie und das stereometrische Zeichnen, Leipzig 1910, zu finden.
Näheres bei Fladt, Euklid, Berlin 1927.
Wieleitner, Über den Rauminhalt der Pyramide, Unterrichtsblätter für Math. u. Naturwiss. 1925, S.91.
Junge, Nochmals der Rauminhalt der Pyramide, Unterrichtsblätter 1926, S. 240.
Weitbrecht, Zur Berechnung des Pyramideninhalts, Unterrichtsblätter 1926, S. 244.
Nur der Einfachheit wegen sind dreiseitige Pyramiden gezeichnet. 2) Vgl. dazu Bochow, Bildliche Darstellungen gewisser Summenformeln, ZMNU 51, 1920, S. 198.
Nachr. der Ges. der Wiss. zu Göttingen 1902 und Math. Ann. 55, 1902 S. 465.
Vgl. dazu die schöne Abhandlung von H. Vogt, Über Gleichheit und Endlichkeit von Prismen und Pyramiden, Progr. Breslau 1904, und den Bericht von H. Keferstein, ZMNU 35, 1904, S. III.
Vgl. dazu Huebner-Reim, Das regelmäßige Dodekaeder und Ikosaeder, Progr. Schweidnitz 1907.
Rausenberger, Konvexe pseudoreguläre Polyeder, ZMNU 46, 1915, S. 135,. 250 (Bemerkungen von J. E. Böttcher) und 477; Kerst, Über Polyeder, deren Netze durch konvexe Polygone gebildet werden, ZMNU 47, 1916, S. 11 ; Böttcher, Dreiflachkörper-Dreieckskörper, ZMNU 47, 1916, S. 322 und aufsteigende Polyederliste, ebd. S.322.
Wir lassen den Index p jetzt weg.
Damit ist die Richtung der Projektionslote gegeben. Daß Projektions,,lote” vorkommen, ist kein Widerspruch dagegen, daß die Aufgaben (—(2 der „freien” Parallelperspektive angehören. Denn das ,,Senkrecht”stehen zur Grundebene spielt bei den Konstruktionen gar keine Rolle. Vgl. auch die Anm. zu (20).
Alle in dieser und den folgenden Aufgaben auftretenden Überbestimmungen löst der Satz des Desargues in Wohlgefallen auf.
Die Lösung dieser Aufgabe zeigt, daß die Projektionslote gar nicht gegeben zu sein brauchen. Sie sind hier durch die Seitenkanten des Prismas ersetzt. Anders ausgedrückt: Was bei den bisherigen Aufgaben als Projektionslot gegeben war, kann, aber muß nicht senkrecht zur Grundebene sein. Vgl. auch die Anm. zu (1).
Vgl. Richter a.a.O.
Archimedes, Kugel und Zylinder, übers, von Czwalina, Ostwalds Klassiker Nr. 202.
Elementa Matheseos universae, I.Bd., Halle 1717, §490, S. 169.
Vorlesungen über Rechenkunst und Geometrie. 1747. S. 561.
Der Schüler beweise die Richtigkeit des Ergebnisses auch für die anderen möglichen Lagen des Dreiecks ABC in bezug auf die Drehachse.
Die Berechnung der Kugelteile gehört in Württemberg zum Lehrstoff der O II.
Zwischen r x und r2 besteht die Gleichung [(r1+r2)2 + h2[(r1+r2)2 + h 2] = 4h 2 R 2, die sich zusammen mit der Gleichung (r1+r2)s = 2hϱ ergibt [§ 8 (8)].
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Fladt, K. (1928). Fünftes Kapitel. Der Stereometrielehrstoff der Untersekunda (Klasse V1).. In: Elementargeometrie. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-16035-9_5
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-16035-9_5
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
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Online ISBN: 978-3-663-16035-9
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