Differenzierbare Funktionen

Zusammenfassung

Wenn in einem gewissen Bereich B der z-Ebene jedem Wert von z genau ein Wert w zugeordnet ist, so heißt w eine eindeutige Funktion von z und man schreibt w = f(z). Die Funktion heißt weiter bei z = a stetig ²), wenn

$$ \mathop {\lim }\limits_{z \to a} f(z) = f(a) $$

ist, d. h. also, wenn f(z) gegen f(a) strebt, sobald z gegen a rückt. Das bedeutet, daß der Unterschied

$$ |f(z) - a| $$

dadurch beliebig klein gemacht werden kann, daß man

$$ |z - a| $$

hinreichend klein wählt. Order: Zu jedem positiven ε gehört ein δ(ö) derart, daß für $\left| {z - a} \right| < \delta \left( \varepsilon \right)$ sets $\left| {f\left( z \right) - f\left( a \right)} \right| < \varepsilon$ bleibt. Das heißt geometrisch: Die Werte, welche f(z) in dem Kreis vom Radius δ(γ) um z = a annimmt, gehören einem Kreis vom Radius ∂ um den Punkt w=f(a) an.

Unter einem Bereich versteht man ein zusammenhängendes Stück der z-Ebene von der Art, daß man um jeden Punkt desselben eine dem Stück voll angehörige Kreisfläche legen kann. Näheres in meinem Lehrbuch der Funktionentheorie Bd. I oder in meinem Leitfaden der Differentialrechnung.