Der Vitalische Doppelreihensatz

Zusammenfassung

Eine gleichmäßig konvergente Reihe analytischer Funktionen stellt eine analytische Funktion dar. So etwa lautete der Weierstraßsche Doppelreihensatz, den wir S. 46 bewiesen. Woran aber erkennt man die gleichmäßige Konvergenz einer Reihe? Was hat man für Kriterien dafür? Natürlich konvergiert die Reihe gleichmäßig, wenn die Reihenglieder für alle z des Bereiches dem Betrag nach kleiner sind als die Glieder einer konvergenten Reihe positiver Zahlen. Dies Kriterium aber dringt noch zu wenig in das Wesen der Sache ein. Eines der mächtigsten Hilfsmittel der modernen Analysis ist erst der Vitalische Doppelreihensatz. Er verlangt nur, daß die Teilsummen im ganzen Bereich unter derselben festen Schranke bleiben und daß die Reihe selbst in einer unendlichen Punktmenge konvergiert, welche einen Häufungspunkt im Bereiche besitzt. Der Satz lautet also in voller Fassung:

Die Reihenglieder f₁(z)... seien in B eindeutig und regulär. Die Teilsummen seien

$$ {s_n}(z) = {f_1}(z) + ... + {f_n}(z) $$

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