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Referenzen
Die hier gegebene Darstellung ist unabhängig von den Erörterungen yon Kap. I über die Genesis dieser Theorie. — J. Fredholm hat nach drei Voranzeigen eine ausführliche Darstellung seiner Theorie, Acta math. 27 gegeben.29) Seither ist die Theorie wiederholt ausführlich entwickelt worden : M. Bôcher 1909 (Literatur A 1), p. 29–38; G. Kowalewski 1909 (Literatur B 3), p. 455–505, unter genauer Ausführung des Grenzüberganges aus dem Algebraischen ; A. Korn 1910 (Literatur A 3), p. 50–127 ; J. Plemelj, Preisschr d. Jablon. Ges. 40 (1911), p. 29 – 39 ; A. Kneser 1911 bzw. 1922 (Literatur A 4), p. 223–239 bzw. 268–285; H. Hahn 1911 (Literatur C 8), p. 13–20, ohne Beweise; Heywood-Fréchet 1912 (Literatur A 5), p. 35–81; T. Lalesco 1912 (Literatur A 6), p. 19–62, unter Verwendung funktionentheoretischer Hilfsmittel; V. Volterra 1913 (Literatur A 9), p. 102–122; 6r. Vivanti 1916 (Literatur A 10), p. 121–166; W. V. Lovitt 1924 (Literatur A 12), p. 23–72.
Diese Formulierung ist eine unmittelbare Folge des in Formel (14) von Nr. 5 gegebenen ursprünglichen Hadamardschen Satzes ; wegen der Geschichte des Satzes vgl. 31).
Eine Umgruppierung der beim Beweise vorkommenden Schlüsse bei P. Saurel, Amer. Math. Soc. Bull. (2) 15 (1909), p. 445–460.
Dieses Wort hat sich in der Algebra nicht im selben Maße eingebürgert wie das Wort „Rang“ für die Zahl n — d = r. Hier, bei Integralgleichungen, und übrigens ebenso bei unendlichvielen Variabein, zeigt es sich, daß r neben n unendlich wird, während gerade d endlich bleibt. — H. v. Koch hat in seiner Theorie der unendlichen Determinanten (vgl. Nr. 17) für die hier als Defekt bezeichnete Größe d das Wort „Rang“ gebraucht.
W. A. Hurwitz, Amer. Math. Soc. Trans. 13 (1912), p. 405–418, gibt eine Darstellung der Fredholmschen Theorie, die sie von den höheren Minoren entlastet, indem sie den Orthogonalisierungsprozeß von E. Schmidt (vgl. Nr. 15a) zu Hilfe nimmt und so die Pseudoresolvente auf andere Art herstellt (Voranzeige Amer. Math. Soc. Bull. 18, p. 53–54). — Weitere Auflösungsformeln bei L. Tocchi, Batt. Giorn. 54 (1916), p. 141–150; 57 (1919), p. 171–178; 58 (1920), p. 54–59.
J. Fredholm, Acta 27 29), § 4; G. Kowalewski (Literatur B 3, § 181) gewinnt es durch Grenzübergang aus dem Algebraischen.
Zuerst bei J. Plemelj, Monatsh. f. Math. 15 (1904), p. 93–124 [Voranzeige in den Wien. Ber. 112 (1903), p. 21–29], dann wiederentdeckt von Gh. Piatrier, J. de math. (6) 9 (1913), p. 233–304, und durch Grenzübergang aus dem Algebraischen bewiesen. Weitere (direkte) Beweise geben W. A. Hurwitz, Amer. Math. Soc. Bull. (2) 20 (1914), p. 406–408 und A. Hoborski, Archiv (3) 23 (1914), p. 297–302.
D. Hilbert, 1. Mitteilung, Gött. Nachr. 1904 = Grundzüge, Kap. II, p. 8 ff. Die Beschränkung auf symmetrische Kerne, die im dortigen Zusammenhang vorgenommen wird, ist unerheblich (vgl. 2. Mitteilung = Grundzüge, p. 68). Hilbert verfährt so, daß er zuerst annimmt, daß die Fredholmsche Determinante, die er für den Kern K(s, t) = ?k(s, t) betrachtet, als Funktion von nur einfache Nullstellen besitzt, und nachträglich den Fall mehrfacher Nullstellen durch Stetigkeitsbetrachtungen beseitigt. Auf Veranlassung von L. Maurer hat E. Garbe (Diss. Tübingen, 43 S., Leipzig 1914) den Grenzübergang auch im Falle mehrfacher Nullstellen von d(?) direkt untersucht. — Bei G. Kowalewski 46) findet man den Grenzübergang besonders eingehend durchgeführt.
O. D. Kellogg, Gött. Nachr. 1902, math.-phys. KL, p. 165–175. Die Entwicklung nach Iterierten wird mit der Fredholmschen Determinante ? ausmultipliziert und das Resultat durch elementare Ausrechnung in — ?(s, t) übergeführt. Die gleiche Bemerkung bei G. Vivanti, Batt. Giorn. 53 (1915), p. 209–211.
Vgl. außer der in Nr. 10 zu diesem Gegenstande aufgeführten Literatur noch W.Kapteyn, Amst. Ak. Versl. 19 (1911), p. 932–939. — H. Lebesgue, Soc. Math. F. Bull. 36 (1908), p. 3–19, leitet im Anschluß an eine Andeutung in der Schlußbemerkung von F.Goursat 61) die Fredholmschen Formeln her, indem er den Kern durch Kerne endlichen Banges (vgl. Nr. 10 a, 1) gleichmäßig approximiert und in den Fredholmschen Formeln für diese approximierenden Kerne den Grenzübergang vornimmt.
J. Marty, Darb. Bull. (2) 33 (1909), p. 296–300; ebenso J. Mollerup, Darb. Bull. (2) 36 (1912), p. 130–136 = C. R. 2. Congr. Scand. 1911, p. 81–87. Beide operieren im Sinne des Hilbertschen Übergangs (vgl. Nr. 8 und 15) mit Hurwitzschen Äquivalenzen; dagegen setzt H.M. Plas, Diss. Groningen 1911, 113 S., die anzusetzenden Entwicklungen nach Orthogonalfunktionen als gleichmäßig konvergent voraus.
In entsprechender Weise, wie hier für Integralgleichungen, kann man auch aus der algebraischen Theorie der linearen Gleichungssysteme die determinantenfreien Sätze heraussuchen und — entgegen der üblichen Praxis — ohne Heranziehung der Determinantentheorie auf die mannigfachste Art beweisen.
Diese zweite Hälfte des Wortlauts von Satz 2 kann man übrigens aus der ersten Hälfte folgern, wenn außerdem noch bekannt ist, daß für jedes (math) die Lösung φ (s) ebenfalls klein ausfällt ; bildet man nämlich speziell für (math) die Lösung von (J), die also außer von s noch von r abhängen muß, so ist diese, wie (3a) von Nr. 9 lehrt, nichts anderes als K(s,r); nachdem so die Existenz des lösenden Kerns dargetan ist, ist seine Stetigkeit mit Hilfe der angegebenen weiteren Voraussetzung leicht einzusehen. Analoges gilt für Satz 3
E. Schmidt 42). Diese vollständige und ganz in sich abgeschlossene Auflösungstheorie steht in keinem Zusammenhang mit der in Nr. 10 b, 1 angeführten Bemerkung Schmidts aus seiner Dissertation65a). — Daß A. C. Dixon 43) den Abspaltungsgedanken bereits 1901 bei unendlichen linearen Gleichungssystemen methodisch genau so und vollständig durchgeführt hat, ist in Nr. 8 erörtert worden; vgl. deswegen und wegen seiner ganz andersartigen materiellen Voraussetzungen Nr. 20 a. Für Integralgleichungen hat L. Orlando, Rom Acc. Line. Rend. (5) 152 (1906), p. 416–419, 767–771; Palermo Rend. 21 (1906), p. 316–318, 342–344 den ersten Schritt des Abspaltungsverfahrens (Abspaltung einer Konstanten) an der Hand einer speziellen Integralgleichung kurz vor dem Erscheinen von 42) vollzogen; vgl. darüber auch L. Orlando 339) sowie Battagl. Giorn, [(2), 15] 46 (1908), p. 173–196.
Die Theorie dieser Kerne hat zuerst E. Goursat, Sur un cas élémentaire de l’équation de Fredholm, Soc. Math. F. Bull. 35 (1907), p. 163–173 entwickelt. — Die Bezeichnung als „Kern endlichen Ranges“ ist gewählt zum Unterschied von denjenigen Kernen, die eine Darstellung durch eine abbrechende Reihe (math) gestatten (Kerne vom Range ∞). Man kann genauer n als den „Rang“ des Kernes bezeichnen, wenn eine derartige Darstellung des Kerns mit weniger als n Summanden nicht möglich ist. Dieser Rangbegriff steht dann in genauer Analogie zu dem in der Determinanten théorie üblichen, wofern man das dem Kern K(s, t) entsprechende Koeffizientensystem K st ins Auge faßt, und nicht das System e st + K st , das oben50) für die Aufstellung des „Defekts des Kernes K(s, t)“ maßgebend war. Der Name „Kern endlichen Ranges“ ist deshalb dem Namen „ausgearteter Kern“, den R. Courant 67) gebraucht, vorgezogen worden.
Es ist also nicht notwendig, wie mehrfach geschieht, hierzu die lineare Unabhängigkeit der u a (s) oder der v a (s) vorauszusetzen.
Es ist damit neben den Volterraschen Kernen (vgl. Nr. 3 oder 23) eine andere umfassende Klasse von Kernen aufgewiesen („kleine Kerne“), bei denen die Entwicklung nach Iterierten stets konvergiert. E. Schmidt setzt übrigens statt der Bedingung des Textes ursprünglich (math) voraus und folgert mit Hilfe der Schwarzsehen Ungleichung Nr. 7, (22) die Konvergenz der Entwicklung nach Iterierten.
Vgl. E. Schmidt, Math. Ann. 65337), p. 372f., Anm. Auch andere Verfahren, z. B. Approximation von K(s, t) durch Polynome, liefern das gleiche Resultat.
Wegen der allgemeinen Bedeutung dieses Abspaltungsverfahrens vgl. Nr. 24 a296). Übrigens sei hervorgehoben, daß G und H hier nicht die in 2. und 3. angegebene Bedeutung zu haben brauchen. — Einige Rechnungen über die Resolventen von Kernen, die in ähnlicher Weise wie K und K zusammenhängen, findet man bei H. Batemann, Mess. (2) 37 (1908), p. 179–187 und bei S. M. Sanie-levici, Buk. Bulet. 20 (1911), p. 453–467.
E.Schmidt, Math. Ann. 6341), § 13, p. 459–461; vgl. hierzu außerdem 60X 66) Man vgl. zu dem Kunstgriff der Bildung von (10), der in verschiedenen Auflösungstheorien eine wesentliche Rolle spielt, Nr. 18 b, 3, insbesondere 184a); dort finden übrigens die Grenzen seiner Leistungsfähigkeit eine Motivierung. — Neuerdings gibt D. Enskog, Math. Ztschr. ‘24 (1926), p. 670–683 und 25 (1926), p. 299–304, einen Weg an, um das hier Fehlende zu ergänzen.
B. Courant, Math. Ann. 89 (1923), p. 161–178 sowie Literatur A 11, Kap. III, insbesondere § 3 und 8.
Die dort vorausgesetzte Symmetrie des Kernes ist für diesen Beweis unerheblich, wie E. Schmidt 41) p. 460 hervorhebt.
M. Bôcher, Amer. Math. Soc. Bull. (2) 17 (1910), p. 283–284 = Ann. of Math. (2) 14 (1912), p. 84–85.
Wenn er seine Methode als die „des arithmetischen Mittels“ bezeichnet, so bezieht sich diese Benennung auf ein anderes Moment.
A. Vergerio, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 26t (1917), p. 426–433; G. Sannia, ebenda 282 (1919), p. 429–433.
D. Enskog, Kinetische Theorie der Vorgänge in mäßig verdünnten Gasen, Diss. Upsala 1917, 160 S.; Arkiv för Mat., Astr. och Fys. 16 (1921), Nr. 16, 60 S.; vgl. auch die Darstellung bei E. Hecke, Math. Ztschr. 12 (1922), p. 274 – 286, insbes. § 4.
Formel (2) ist mit Formel (8 a) von Nr. 4 identisch, die durch die Einführung der iterierten Kerne diese übersichtlichere Gestalt gewinnt. — Die Reihe (2) ist nicht immer gleichmäßig konvergent (vgl. Nr. 5, p. 1354); sie ist es aber gewiß für alle Volterraschen Kerne (Nr. 3 oder 23 a) und für die „kleinen Kerne“ [Nr. 10 a, 2 und 63)].
Implizite bei J. Fredholm 82), für n = 2 bei D. Hilbert, Grundzüge, p. 70; ausgeführt bei J. Plemelj 53) und bei E. Goursat, Toulouse Ann. (2) 10 (1908), p. 5–98, insbes. p. 15.
D. Hilbert, 2. Mitteilung = Grundzüge, p. 69, Satz 23.
T. Carleman, Paris C. R. 169 (1919), p. 773 – 776 folgert aus dieser Reihenentwicklung mit Hilfe der Hadamardschen Theorie den meromorphen Charakter von x.
J. Fredholm, Acta 2729), § 5.
T. Lalesco, Paris C. R. 145 (1907), p. 1136–1137 und Literatur A 6, p. 25f.; H.Poincaré, Paris C. B. 147 (1908), p. 1367–1371; Acta math. 33 (1909), p. 67–86 = Assoc. Franç. (Lille) 38 (1910), p. 1–28 sowie Literatur C 4.
Vgl. Nr. 13 a, wo allgemein Kerne von zwei Reihen von je m Veränderlichen betrachtet werden.
J. Schur, Math. Ann. 67 (1909), p. 306 – 339, insbes. p. 318. Der Begriff ist dem algebraischen Begriff der Matrix der m-reihigen Minoren einer gegebenen n-reihigen Matrix nachgebildet; im Gegensatz zu den Fredholmschen Minoren ist hier m endlich gehalten, während n unendlich wird.
JE. Goursat 74), p. 80.
Eigentlich singuläre Integralgleichungen, d. h. solche, bei denen die Tatsachen der Fredholmschen Theorie nicht mehr im vollen Umfange gelten, findet man in Nr. 21.
J. Fredholm, Paris C. R. 13429), p. 1561 und Acta math. 2729), § 6.
D. Hilbert 75) und p. 71 f. für n = 2.
J. Fredholm, Acta 2782), p. 388–390.
Eine Schranke für K (n) (s,t) bei M. Picone, Rom Acc. Line. Rend. (5) 302 (1921), p. 90–92.
D. Hilbert, 1. Mitteil. = Grundzüge, Kap. VI, p. 30–35; die Tatsachen waren schon vorher in den Dissertationen von O. D. Kellogg 35) und A. Andrae 35) (1902 und 1903) benutzt; vgl. außerdem 0. B. Kellogg 55), § 5. — Weitergehende Anwendung dieser Methode bei E. W. Hobson 89), Nr. 12.
Hier wird die Bezeichnung K(s, t) = — ?k(s, t) von Nr. 11c wieder aufgenommen.
Diese Tatsache ist zum ersten Male angegeben bei Kellogg 5 *), p. 176. E. Garbe 54), p. 13, hat das algebraische Analogon durchgerechnet und daraus durch Grenzübergang die Hilbertsche Aussage abgeleitet.
T. Carleman, Math. Ztschr. 9 (1921), p. 196–217, beweist mit derselben Methode und unter Verschärfung der Hilbertschen Abschätzung durch Resultate von J. Schur 485) (vgl. Nr. 39b), daß das gleiche gilt unter der alleinigen Voraussetzung, daß (math) im Lebesgueschen Sinne existiert. Für den Fall, daß das Doppelintegral im Riemannschen Sinne existiert und < 1 ist, hatte dies schon H. v. Koch, Palermo Rend. 28 (1909), p. 255–266 (vgl. dazu noch 96), p. 13) gezeigt. Auf andere Weise hatte H. Lebesgue 56) Bedingungen für die Gültigkeit der Fredholmschen Formeln erhalten, die auf die Darstellbarkeit von K durch sukzessive Limesbildungen von Polynomen und die gleichmäßige Endlichkeit gewisser Iterierten hinausläuft.
E. W. Hobson, London Math. Soc. Proc. (2) 13 (1914), p. 307–340. Hier werden Unstetigkeiten allgemeineren Charakters zugelassen, unter Verwendung Lebesguescher Integrale.
H. Poincaré, Acta math. 3377), § 4. Vgl. auch Nr. 15c, p 1397,118). zieller Art werden durchgeführt bei L. Lichtenstein91) und E. W. Höb-son. 92) c) Benutzung von E. Schmidts Abspaltungsverfahren. E. Schmidt selbst93) gibt an, daß seine Methode unter folgenden Bedingungen anwendbar bleibt: 1. die Unstetigkeitsstellen von K(s, t) haben auf jeder Geraden s = konst., t = konst. den äußeren Inhalt 0, 2. die Integrale (math) existieren und sind stetige, nicht identisch verschwindende Funktionen von s. Weiteres bei E. E. Levi 91) und A. C. Dixon. 95) d) Integralgleichungen mit unendlichgroßem Integrationsintervall sind insofern hier zu erwähnen, als sie durch einfache Transformation in Integralgleichungen mit endlichem Integrationsintervall, aber unendlichem Kern übergehen.96)
L. Lichtenstein, J. f. Math. 140 (1911), p. 100–119: Kerne von der Form (math) wo P1, P2 stetig, f(s) summabel und von niederer als 1. Ordnung unendlich.
E. W. Hobson 89): Kerne von der Form µ(s)v(t)P(s,t), wo P beschränkt und summabel, µ(s),v(s) nicht beschränkt, aber µ(s)•v(s) summabel; ein Spezialfall bei C. E. Love, Ann. of Math. (2) 21 (1919), p. 104–111. — A. Ostrowski, F. d. Math. 46 (1921), p. 521, weist auf eine Verallgemeinerung hin.
E. Schmidt 42), p. 174; 41), p. 467 und p. 457ff.
E. E. Levi, Rom Acc. Line. (5) 162 (1907), p. 604–612, setzt voraus, daß (math) gleichmäßig konvergiert im Sinne von de la Vallée-Poussin, d. h. (math) kann für alle s,t gleichmäßig beliebig klein gemacht werden.
A. C. Dixon, London Math. Soc. Proc. (2) 7 (1909), p. 314–337 wendet die Methode für beschränkte Kerne und den Lebesgueschen Integralbegriff an.
H.v. Koch, Arkiv f. Mat. 7 (1911), Nr. 4, 17 S. behandelt Kerne für das Intervall 0 bis ∞, unter der Annahme (math) konvergent, (math) u. ä.
In Ergänzung von Nr. 12 nmß hier hervorgehoben werden, daß Bedingungen, unter denen die Iterierten von einer bestimmten an endlich sind (Schluß-bemerkung von 12 a), nur unter sinngemäßer Modifikation für mehr Dimensionen aufgestellt werden können; z. B. ist für 2 Dimensionen die Endlichkeit von (math), wo (math), für (math) eine hinreichende Bedingung (J. Fredholm, Acta 2729), p. 387).
W. A. Hurwitz, Note on mixed linear integral equations, Amer. Math. Soc. Bull. 18 (1912), p. 291–294 und Amer. Math. Soc. Trans. 16 (1915), p. 121–133; A. Kneser, Palermo Rend. 37 (1914), p. 169–197, der den Namen belastete Integralgleichungen gebraucht. Übrigens hatte schon V, Volterra, Rom Acc. Line. Rend. (5) 51 (1896), p. 289–300, Gleichungen vom Typus (2) behandelt. — Nach Lösungen der gewöhnlichen Integralgleichung 2. Art, die an einer gegebenen Stelle oder deren Ableitung an einer gegebenen Stelle verschwindet oder die sonstigen linearen Bedingungen genügt, hatten H. Bateman, Darb. Bull. (2) 30 (1906), p. 264–270, Cambr. Trans. 20 (1907), p. 281–290 und A. Myller, Darb. Bull. (2) 31 (1907), p. 74–76, gefragt.
A. Kneser 98) § VI hat, gestützt auf Mitteilungen von E. Schmidt, genaue Axiome formuliert, die ein solcher Operator erfüllen muß, damit die Eigenwerttheorie von E. Schmidt gültig ist; es ist leicht, dies auf das Schmidtsche Abspaltungsverfahren oder andere Auflösungstheorien zu übertragen; vgl. auch Nr. 24 c,809).
V. Volterra 98 ); L. Sinigallia, Lomb. Ist. Rend. (2) 44 (1911), p. 292–313; J. Pérès, Palermo Rend. 35 (1913), p. 253–264; A. Kneser 98), § V.
In anderer Weise, nämlich durch Approximation mit gewöhnlichen Integralgleichungen, behandelt G. Andreoli, Rom Acc. Line. Rend. 232 (1914), p. 159–162, den Gegenstand.
V. Volterra, Rom Acc. Line. Rend. (5) 6t (1896), p. 177–185; O.D.Kellogg, Diss.35), p. 12; J. Fredholm, Acta 2729), p. 378f. — G. Greggi, Ven. Ist. Atti 71 [(8) 14] (1912), p. 541–551 rechnet die sich daraus ergebende Gestalt der Lösungsformeln explizite aus; M. Botasso, Torino Att. 48 (1913), p. 19–42 und L.J.Rouse, Diss. Michigan, 1918, 33 S.; Amer. Math. Soc. Bull. 24 (1918), p. 426; Tôhoku Math. J. 15 (1919), p. 184–216, besprechen Systeme von weniger Gleichungen als unbekannten Funktionen. — Die in der mathematischen Physik auftretenden Systeme (3) werden oft vektoriell zusammengefaßt [C. E. Weatherburn, Quart. J. 46 (1915), p. 334–356, führt es in einer besonderen Arbeit aus].
Ch. Piatrier 69) Chap. III. Ist die Determinante an einzelnen Stellen 0r aber von niederer als der 1. Ordnung, so erhält er (Chap. V) un eigentlich singulare Systeme von Integralgleichungen.
Ch. Piatrier, Nouv. Ann. (4) 13 (1913), p. 183–186, differenziert die Lösung nach der oberen Grenze; J. Puzyna, Krak. Anz. (A), 1913, I, p. 1–45.
E. v. Egervâry, Math, és phys. lapok 23 (1914), p. 303–355; G. C.Evans> Amer. Math. Soc. Bull. 22 (1916), p. 493–503, hier auch allgemeine Kerne vom Typus f(s — t) + g(s + t). Wie beide hervorheben, sind das algebraische Ana-logon dieser Kerne diejenigen Determinanten, die man Zyklanten oder Zirkulanten (Encykl. IA 2, Nr. 27) nennt; vgl. auch die entsprechenden Bildungen bei unendlichvielen Variabein Nr. 43d. C. Cailler, Ens. 15 (1913), p. 33–47, betrachtet Systeme von Integralgleichungen, deren n 2 Kerne einzeln Volterrasche Kerne vom Typus f(s — t) sind, also nicht genau vom obigen Typus, aber doch auch, wie O. Toeplitz in F. d. M. 44 (1918), p. 406 hervorhebt, alle untereinander vertauschbar. Auf dieser Tatsache allein beruht es, wenn Cailler mit Erfolg Determinanten betrachtet, deren Elemente nicht Zahlen, sondern Kerne der geschilderten Art sind, und mit deren Hilfe das System auf eine einzige, gewöhnliche Integralgleichung zurückführt. — Vgl. noch D. Pompeju, Palermo Rend. 35 (1913), p. 277–281 und Math. Ann. 74 (1913), p. 275–277. — Gewisse Grenzfälle solcher Kerne bei A. C. Bixon, London Math. Soc. Proc. (2) 17 (1918), p. 20–22. —Funktionentheoretische Behandlung der Integralgleichung der Potentialtheorie (Nr. 5) bei J. Fredholm, Acta math. 45 (1924), p. 11–28.
Im Anschluß an D. Hilberts Untersuchungen über kinetische Gastheorie E. Hecke, Math. Ann. 78 (1917), p. 398–404.
Die historische Darstellung des Gegenstandes in Nr. 8 wird hier nicht vorausgesetzt.
D. Hilbert, 6. Mitteil., Gött. Nachr. 1906 = Grundzüge, Kap. XIII, p. 177 ff.
Über die Aufstellung dieser Relation für trigonometrische Funktionen und die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten vgl. Nr. 844). — Daß die rechte Seite von (2 a) nicht größer ist als die linke (sog. „Besselsche Ungleichung“, Nr. 30b385)), ist bekanntlich eine Folge von (1); vgl. Encykl. IIC 11, Hilb-Szász, Nr. 2.
Die folgende Konstruktion nach D. Hilbert 108) p. 178ff. Die Bedeutung dieses Verfahrens zur Herstellung vollständiger Orthogonalsysteme beruht darauf, daß es sich auch auf andere Integrationsbereiche als einfache Strecken (mehrdimensionale, gemischte u. dgl.) ohne prinzipielle Schwierigkeiten übertragen läßt und damit die Theorie der Integralgleichungen in solchen Bereichen (vgl. Nr. 13 a, b) der Methode der unendlichvielen Veränderlichen erschließt.
E. Schmidt* 1) § 3. Vgl. Encykl. HC 11, Hilb-Szasz, Nr. 1.
Dieser Schluß ist für trigonometrische Funktionen schon von W. A. Stek-loff verwendet worden [vgl. Encykl. II C 10, Hilb-Biesz, Nr. 990)].
Für weitere Angaben über vollständige Orthogonalsysteme vgl. Encykl. II C 11, Hilb-Szász, Nr. 1.
D. Hilbert 108), p. 180 ff.
A, Cauchy, Cours d’Analyse de l’Éc. polyt., Analyse algébrique, 1821, note II, théor. XVI = Œuvres (2) t. III, p. 373 ff. Für den Fall n = 3 findet sich die diese Ungleichung liefernde Identität bereits bei J. L. Lagrange, Nouv. Mém. Acad. Berlin 1773 = Oeuvres 3, p. 662 f. Aus ihr folgt unmittelbar die entsprechende Ungleichung für unendliche Summen (math) in dem Sinne, daß die Konvergenz der rechts stehenden Reihen die absolute Konvergenz der links stehenden nach sich zieht. Sie entspricht formal und sachlich genau der Schwarzschen Integralungleichung (22) von Nr. 7 und mag daher kurz als Schwarzsche Summenungleichung bezeichnet werden (vgl. D. Hilbert, Grundzüge, p. 126; Hellinger-Toeplitz 164), p. 293f.).
Die in Nr. la dargestellte Ersetzung der Integralgleichung durch n lineare Gleichungen mit n Unbekannten auf Grund der Einteilung von (math) in n Teilintervalle für unbegrenzt wachsendes n läßt sich dem oben geschilderten Verfahren als Spezialfall einordnen, wenn man als vollständiges Orthogonalsystem die von A. Haar, Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme (Diss. Göttingen 1909 = Math. Ann. 69 (1910), p. 331–371, Kap. III) konstruierten Orthogonalsysteme verwendet, deren Funktionen jeweils nur in einem mit wachsendem Index unbegrenzt abnehmenden Teilintervalle von 0 verschieden sind.
D. Hilbert 108) p. 182 f.
D. Hilbert 108), p. 204; er hat ferner darauf hingewiesen, daß diese Methode auch darüber hinaus zur Behandlung solcher Kerne geeignet ist, die bei s = t unendlich werden, aber absolut integrierbar bleiben. Vgl. dazu J. Ba-don 303), p. 137ff.
E. Fischer, Paris C. R. 144 (1907), p. 1022–1024.
F. Riesz, Paris C. R. 144 (1907), p. 615 – 619; Gött. Nachr. 1907, p. 116–122; Math. phys. és lap. 19 (1910), p. 165–182, 228–243.
Vgl. auch Encykl. IIC 11 (Hilb-Szasz), Nr. 2.
F. Riesz, Paris C. E. 144 (1907), p. 734–736 und Gött. Nachr.120), p. 122.
W. Bitz, Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der math. Phys., J. f. Math. 135 (1909), p. 1–61; Theorie der Transversalschwingungen einer quadratischen Platte mit freien Rändern, Ann. d. Phys. (4) 28 (1909), p. 737–786. — S. auch Ges. Werke, Paris 1911, p. 192–250, 265–316.
L. Lichtenstein, Paris C. R. 156 (1913), p. 993–996, sowie eine größere Zahl anschließender Arbeiten, aus denen für die Darstellung der Methode hier nur „Zur Analysis der unendlichvielen Variablen I“, Palermo Rend. 38 (1914), p. 113–166, genannt sei. Ein Versuch in ähnlicher Richtung bei J. Bertrand, Bruxelles Soc. sc. (B) 38 (1913–1914), p. 318–322. Vgl. dazu Nr. 45 c.
Hierhin gehört auch der Versuch von Gh. Müntz 258), p. 145, Integralgleichungen durch Verwendung spezieller, dem Kern angepaßter Orthogonalsysteme zu behandeln.
Vgl. dazu auch F. L. Hitchcock u. N. Wiener, Mass. J. of Math. 1 (1921), p. 1–20.
D. Hilbert, Grundzüge, Kap. XV, p. 195ff.
B. Hilbert, 4. Mitteil., Gött. Nachr. 1906 = Grundzüge, Kap. XII, p. 164–174.
D. Hilbert, 4. Mitteil., Gött. Nachr. 1906 = Grundzüge, Kap. XI, p. 147f. Vorübergehend hat Hilbert [im Original der 5. Mitteil., Gött. Nachr 1906, p. 439 und in 370), p. 61] das Wort „stetig“ au Stelle von „vollstetig“ benutzt. Über die Formulierung der Definition vgl. 129).
D. Hilbert 128) und Grundzüge, Kap. XIII, p. 175f. verwendet diese Eigenschaft als Definition der Vollstetigkeit und zeigt mit seinem Auswahl-verfahren (Nr. 16 b), daß aus ihr (3) folgt. Im folgenden wird die Definition (3) zugrunde gelegt.
D. Hilbert 370), p. 61; vgl. auch Grundzüge, p. 126 u. p. 176.
Weitere leicht anzugebende Beispiele, etwa (math), zeigen, daß auch (7) und (8) zugleich für nichtvollstetige Formen erfüllt sein können; vgl. Hellinger-Toeplitz 164), p. 306.
D. Hilbert, Grundzüge, Kap. XI, p. 151 für symmetrische Formen (K pq = K qp ) und Kap. XII, p. 165.
D. Hilbert, Grundzüge, Kap. XI, p. 116 f.; das gleiche Auswahlverfahren hatte er bereits in seinen Untersuchungen „Über das Dirichletsche Prinzip1‘ auf Folgen von Funktionen angewandt [Festschr. d. Gesellsch. d. Wissensch. zu Göttingen 1901, 27 S. = Math. Ann. 59 (1904), p. 161–186, § 5].
Die gleiche Methode hat R. Courant 67) direkt auf Integralgleichungen angewandt (s. Nr. 10 b, 3); nur beruht seine Fallunterscheidung nicht wie bei Hilbert auf einer nur von den Koeffizienten der linken Seiten abhängigen Größe, sondern setzt bestimmt gegebene rechte Seiten voraus.
Entsprechend der Bezeichnung Resolvente des Kernes in der Theorie der Integralgleichungen (Nr. 424), 9 (p. 1373), 10, Satz 2). — Für die Vollstetigkeit der Resolvente vgl. 59) und Nr. 18 b, 3 187).
Der Beweis von 1. ist die Übertragung des von E. Schmidt 384)68) für Integralgleichungen gegebenen Verfahrens (s. Nr. 10 c, 1) auf die hier vorliegenden allgemeineren Verhältnisse. In Hilberts Darstellung127) wird statt dessen die orthogonale Transformation der quadratischen Form (math) auf eine Quadratsumme angewandt.
Die Bezeichnung analog wie bei Integralgleichungen; vgl. Anna.61).
D. Hilbert, 4. Mitteil. 1906 = Grundzüge, Kap. XII, p. 170–174.
Durchgeführt bei E. Goldschmidt 189) und F. Riesz, Équations linéaires (Literatur A 8), chap. IV, p. 97 ff.
Diese Entwicklung entspricht formal der Entwicklung nach iterierten Kernen (Neumannsche Reihe) bei Integralgleichungen (vgl. Nr. 4, (8 a), Nr. 11, (2)). Auf beschränkte symmetrische Formen (s. Nr. 18 a) wurde sie von D. Hilbert, 4. Mitteil. 1906 = Grundzüge, p. 133 ff. zuerst angewendet.
W. L. Hart, Amer. Math. Soc. Bull. 23 (1917), p. 445 ; 24 (1918), p. 334–335.
J. J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Paris 1822, art. 166 ff. (insbes. noch art. 171 und 207) = Oeuvres 1, Paris 1888, p. 149ff.; E. Fürstenau, Marburg 1860 bei N. G. Elwert, 35 S. und 1867 ebenda, 32 S.; Th. Kötteritzsch, Ztschr. Math. Phys. 15 (1870), p. 1–15, 229–268; P. Appell, Soc. Math. Fr. Bull. 13 (1885), p. 13–18 und in unmittelbarem Anschluß daran H. Poincaré, ebenda p. 19–27; man vergleiche hierzu insbesondere die ausführliche historische Darstellung bei F. Riesz, Literatur A 8, chap. I, p. 1–20. — Es ist zweckmäßig zu betonen, daß die „Abschnittsmethode“, die den Kern aller dieser Arbeiten bildet, von der Methode der unendlichen Determinanten prinzipiell abgehoben werden muß; denn sie handelt nicht von Limites von Determinanten, sondern von Limites von Determinanten-Quotienten vom Typus (2 a), und gerade in den Beispielen, die den Gegenstand der aufgeführten Literatur bilden, pflegt weder die Zählerdeterminante noch die Nennerdeterminante für sich genommen zu konvergieren, sondern nur der Quotient.
Erst 1912 bemerkt es H. v. Koch in Ark. för Mat. 8, Nr. 9, 30 S., p. 8 bei der Einarbeitung der Fredholm-Hilbertschen Gedankengänge in seine Theorie. — T. Cazzaniga, Torino Atti 34 (1899), cl. fis. mat. e. nat., p. 351–370 (= 495 – 514 der Gesamtansgabe), auf den übrigens v. Koch hier nicht Bezug nimmt, hatte lediglich bewiesen, daß die Reziproke einer Normaldeterminante wieder eine Normaldeterminante ist, ohne daraus die erwähnte Konsequenz für die Auflösung der linearen Gleichungen zu ziehen. Das gleiche übrigens bei P. Sannia, Torino Atti 46 (1911), p. 31–48, der die hier erwähnte und allein in Betracht kommende Arbeit von Cazzaniga nicht nennt.
Darstellungen dieser Theorie bei A.Pringsheim, Encykl. IA 3, Nr. 58–59, p. 141–146; H. v. Koch, C. R. Stockholm Kongr. 1909, p. 43–61; E.Pascal, Die Determinanten, Leipzig 1900, § 61, p. 175–178; G. Kowalewski, Literatur B 3, p. 369–407 ; F. Riesz, Literatur A 8, chap. II, p. 21–41.
H. v. Koch, Stockh. Öfvers. 47 (1890), p. 109–129, 411–431, Voranzeige zu der großen Arbeit14), sowie außerdem § 1 der Arbeit Acta math. 18 (1894), p. 337–419.
Ausgeführt ist dies zuerst bei T. Cazzaniga, Ann. di mat. (2) 26 (1898), p. 143–218, wo die ganze Theorie nochmals ausführlich dargestellt ist.
H. v. Koch, Acta 14), p. 235–238; der Name von G. Vivanti, Ann. di mat. (2) 21 (1893), p. 25–32, insbes. p. 27. Vgl. noch T. Cazzaniga 151), §12 und M. Fujiwara, Toh. Rep. 3 (1914), Nr. 4, p. 199–216, der normaloide Determinanten auf einen Satz über konvexe Körper anwendet.
H.v.Koch, Paris C. R. 116 (1893), p. 179–181 (für p= 1); Stockh. Acc. Bihang 22 (1896), Afd. I, Nr. 4, 31 S., insbes. §§ 3, 4; Acta math. 24 (1900), p. 89–122, insbes. § 3; JB. Palmqvist, Ark. för Mat. 8 (1913), Nr. 32, 4 S.; 10 (1914), Nr. 23, 15 S. und Diss. Upsala 1915, 52 S.
H. v. Koch in den 158) zitierten Arbeiten, sowie Paris C. R. 120 (1895), p. 144–147. — Daß der Begriff der absolut konvergenten Determinante weiter ist als der aller Determinanten von endlichem genre zusammen, belegt H. v. Koch (in Stockh. Bih. 22153), p. 26) durch das Beispiel : alle K pq = 0 außer denen der ersten Zeile und der ersten Spalte. In diesem Beispiel besteht A offenbar nur aus den Termen K 11— K 12 K 21 — K 13 K 31 —... und ist also, nebst allen seinen Minoren, absolut-konvergent, wenn diese Reihe absolut konvergiert, also z. B. für (math), und er zeigt, daß diese spezielle Determinante von keinem endlichen genre ist.
Diese Reihe enthält abzählbar viele Summanden; daß man ohne die Beschränkung auf Permutationen von je nur endlichvielen Indizes ein Kontinuum von Termen erhalten würde, behandelt N. J. Lennes, Amer. Math. Soc. Bull. 18 (1911), p. 22–24.
H. v. Koch, Acta 24153) (1900), § 3.
H. v. Koch. 88) Etwa gleichzeitig hat B. d’Adhémar, Brux. Soc. sc. 34 A, 28. Okt. 1909, p. 65–72 die Normalität in Richtung der Bedingungen (11) erweitert, ohne jedoch deren volle Allgemeinheit zu erreichen, und O. Szász, Diss. Budapest 1911, 74 S. = Math. es Phys. Lap. 21, p. 224–295 (vorgelegt Dez. 1909) das Kochsche Resultat mit Hilfe des Hadamardschen Determinantensatzes und Hilbertscher Begriffsbildungen bewiesen, während v. Koch den Hadamardschen Satz nur in geringerem Maße heranzieht und sich im übrigen der ihm geläufigen Methoden bedient. H. v. Koch 96) reiht sodann der Bedingung (11) sukzessive eine ähnliche Kette weiterer Bedingungen an, wie er früher den Normaldeterminanten die Determinanten von wachsendem genre hatte folgen lassen. In 148) und in Jahresb. Deutsch. Math.-Ver. 22 (1913), p. 285–291 führt er die Entwicklung nach Ite-rierten und das Abspaltungsverfahren in die Theorie der unendlichen Determinanten ein. St. Bohr, Diss. Zürich 1918 und Math. Ztschr. 10 (1921), p. 1–11 [s. Nr. 20 c221)] verwendet die unendlichen Determinanten in entsprechender Weise bei Gleichungen für Unbekannte, bei denen (math) konvergiert, um diejenigen Veränderungen abzuleiten, die F. Riesz (Literatur A 8) an den Hilbert-schen Sätzen angebracht hat. — Wegen der entsprechenden Verwendung der unendlichen Determinanten für die Eigenwerttheorie vgl. Nr. 40 d513).
Durch die in 190a) angegebene Schlußweise kann es allerdings für beliebige vollstetige Systeme hergeleitet werden.
Man erkennt dies sehr einfach, wenn man sich der von v. Koch zu anderem Zwecke verwendeten Typen (9) bedient. Setzt man in (9 a) alle anderen u pq = 0, so hat das zugehörige homogene System die Lösung x 1 = x 2 = x 3 = ... = 1, die beschränkt ist, während die Determinante absolut konvergent ist und den Wert 1 hat und das transponierte System unlösbar ist. Indem man die Werte u n n + 1 dahin abändert, daß man u 12= — 1, (math). setzt, erhält man das gleiche mit dem Unterschied, daß die Lösung des homogenen Systems eine absolut konvergente Summe hat. Es ist nicht schwer, analoge Beispiele vom Typus (9 b) zu konstruieren, bei denen die sind, etwa indem man (math). — Auch Erweiterungen wie die von W. L. Hart, Amer. Math. Soc. Bull. 28 (1922), p. 171–178 betrachteten „summierbaren“ Determinanten, bei denen die arithmetischen Mittel aus den Abschnittsdeterminanten D1, D2, ... konvergieren, u. dgl. können an dem Tatbestande dieser Beispiele nichts ändern.
Daß die Bedingung notwendig ist, findet man in Nr. 16, (8), daß sie hinreichend ist, folgt leicht aus der Definition der Vollstetigkeit mit Hilfe der Schwarzschen Ungleichung.
Es konnte sich im Text nur darum handeln, aus der Theorie der unendlichen Determinanten dasjenige herauszugreifen, was für die Auflösung der Gleichungen in Betracht kommt. Die Theorie der unendlichen Determinanten als solche ist am Ende des Artikels von Pringsheim149) behandelt, der im September 1898 abgeschlossen ist. Es mögen aber hier in Kürze diejenigen Arbeiten zusammengestellt werden, die oben noch nicht aufgeführt und erst nach Abschluß des Pringsheimschen Artikels erschienen sind. Im Anschluß an S. Pincherle, Ann. di mat. 12 (1884), p. 11–40 behandelt T. Cazzaniga in 151) und Ann. di mat. (3) 1 (1898), p. 83–94 Determinanten, bei denen ist; derselbe bemerkt in Ann. di mat. (3) 2 (1899), p. 229–238, daß man normaloide Determinanten nicht multiplizieren kann, und gibt Math. Ann. 53 (1900), p. 272–288 eine Theorie der kubischen unendlichen Determinanten. Mehrdimensionale unendliche Determinanten behandelt auch A. Calegari, Periodico di Mat. (3) 2 (1904), p. 107–118. G. Sannia überträgt Torino Atti 46 (1911) p. 67–77 den Sylvesterschen und Hadamardschen Determinantensatz in der durch Formel (14) von Nr. 5 gegebenen Formulierung auf unendliche normale Determinanten und behandelt Batt. Giorn. 49 (1911), p. 131–140 orthogonale Normaldeterminanten. J. Schur, Berl. Math. Ges. 22 (1923), p. 9–20, insbes. p. 19f., gibt für Determinanten, die den Bedingungen (11) genügen, Verschärfungen des Hadamardschen Determinantensatzes. Mit unendlichen Determinanten beschäftigen sich ferner noch die folgenden Arbeiten von H. v. Koch: Acta math. 15 (1891), p. 53–63; Paris C. R. 116 (1893), p. 91–93, 365 – 368; Paris C. R. 121 (1895), p. 517 – 519; Stockh. Öfvers. 52 (1895), Nr. 9, p. 721–728, die lediglich Anwendungen auf Differentialgleichungen enthalten, ferner Stockh. Acc. Bihang 25 (1895), Nr. 5, 24 S. mit einer Anwendung auf die Theorie der Funktionalgleichungen. Anwendungen auf die Kettenbruch-theorie endlich bringen die beiden Arbeiten: H. v. Koch, Paris C. R. 120164) und Stockh. Öfvers. 52 (1895), p. 101–112 sowie O. Szász, Münchn. Ber. 1912, p. 323–361.
Die hier darzustellenden Begriffe sind von T>. Hilbert in der 4. Mitteilung (Gött. Nachr. 1906) entwickelt worden, zitiert nach Grundzüge, Kap. XI, insbes. p. 110, 125–131. Eine zusammenhängende Darstellung der Sätze und Beweise ist gegeben bei E. Hellinger u. O. Toeplitz, Grundlagen für eine Theorie der unendlichen Matrizen, Math. Ann. 69 (1910), p. 289 – 330, insbes. § 1–6. Vgl. F. Riesz, Literatur A 8, Chap. IV. — Über die Frage, in welchem Sinne die Begriffsbildung der beschränkten Matrizen eine abschließende ist, vgl. Nr. 19 a, 4.
D.Hilbert 164), p. 127 ff.; Hellinger-Toeplitz 164) § 2, Satz 2–4, p. 297–299.
Daß die Bilinearform mit diesen Koeffizienten nicht notwendig absolut konvergiert, ist leicht zu zeigen; das wesentliche ist der Nachweis ihrer Beschränktheit, den zuerst D. Hilbert in einem Vortrag in der Göttinger math. Ges. [s. Jahresb. Deutsch. Math.-Ver. 16 (1907), p. 249] erbrachte; sein Beweis ist veröffentlicht bei H Weyl 566), p. 83 und I). Hilbert 164), p. 125, Fußn. Andere Beweisgänge sind angedeutet bei 0. Toeplitz, Gött. Nachr. 1910555), p. 503 (vgl. dazu auch 0. Toeplitz, Gött. Nachr. 1907562), p. 113). Beispiele beschränkter symmetrischer Formen, bei denen (3) nicht absolut konvergiert, bei O. Toeplitz, Gött. Nachr. 1910555), p. 603; J. Schur 172) § 6; O. Toeplitz 134)
D. Hilbert 164) p. 127; vorübergehend (Gött. Nachr. 1906, p. 439; Palermo Rend. 27370), p. 62) sagt er dafür beschränkt stetig, während er statt „vollstetig“ das Wort „stetig“ braucht; vgl. 128).
Hier wird von der Folge der “Wertsysteme x (v) p wesentlich mehr verlangt, als in (5 a) von Nr. 16 (Yollstetigkeitsdefinition) ; z. B. die Folge x (v) p = 0 für (v = 1, 2,...), bei der für jedes p (math), also (5 a) von Nr. 16 erfüllt ist, konvergiert im obigen Sinne nicht.
Beispiel: mit der Folge von 163). Vgl. auch Hellinger-Toeplitz 164), p. 308.
D. Hilbert 164 ) p. 126; Hellinger-Toeplitz 164 ) p. 294 f.
Ein Beispiel einer nichtbeschränkten Bilinearform, bei der alle Quadratsummen (6) konvergieren, ist [Hellinger-Toeplitz 164), p. 306].
J. Schur, Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlichvielen Veränderlichen, J. f. Math. 140 (1911), p. 1–28, insbes. § 2, 3.
S. die in 166) zitierten Stellen bei Hilbert, Weyl, Toeplitz (Gött. Nachr. 1910). Weitere Beweise der Beschränktheit dieser Formen bei F. Wiener, Math. Ann. 68 (1910), p. 361–366; J. Schur 172), § 5; G. H. Hardy, Mess, of Math. 48 (1918), p. 107–112 und Math. Ztschr. 6 (1920), p. 314–317; L. Fejér u. F. Riesz, Math. Ztschr. 11 (1921), p. 308.
Vgl. darüber Nr. 43 d, 1. und 562).
D. Hilbert 164), p. 128f.; Hellinger-Toeplits 164), p. 299ff. Hilbert bezeichnet die Faltung mit U(x,) B(, y). — Ist U oder B vollstetig, so ist auch UB vollstetig [Hilbert 164), p. 152].
Hellinger-Toeplitz 164), p. 304 Fußn.
Hilbert 164), p. 129 (Hilfss. 4); Hellinger-Toeplitz 164), p. 302.
E. Hellinger u. O. Toeplitz, Gött. Nachr. 1906, p. 351–355 und 164), § 6. — Bereits 1901 hatte A. C. Dixon in seiner schon mehrfach hervorgehobenen Arbeit48) allerdings in einem durch andere Konvergenzbedingungen umschriebenen Bereich (s. Nr. 20 a) diesen Kalkül mit unendlichen Matrizen aufgestellt und verwendet.
Hellinger-Toeplitz 164), p. 304 f. — Vgl. auch J. Schur 172) und E. Schmidt 192).
Hellinger-Toeplitz, Gött. Nachr.178), p. 355 und 164), p. 311. — Übrigens kann man das gleiche Phänomen in der Algebra feststellen, wenn man statt quadratischer Matrizen von gleicher Zeilen- und Kolonnenanzahl Rechtecke von weniger Zeilen als Kolonnen verwendet, also Systeme mit weniger Gleichungen. als Unbekannten.
O. Toeplitz 184), § 4. — Vgl. auch Hettinger-Toeplitz 164), § 7.
E. Hilb, Math. Ann. 82 (1920), p. 1–39 [vgl. Nr. 24d,3,323)] hat diese Sätze angewandt, um in Fällen, wo sich die vordere Reziproke leicht aufstellen läßt (z. B. wenn in der p ten Kolonne von ist), von ihr aus auf die hintere Reziproke zu schließen.
O. Toeplitz, Die Jacobische Transformation der quadratischen Formen von unendlich vielen Veränderlichen, Gött. Nachr. 1907, p. 101–109. — Ein entsprechendes Kriterium für die Existenz einer beschränkten Quotientenmatrix zweier beschränkten Matrizen U, B (U C = B) gibt J. Hyslop 523).
Der gleiche Kunstgriff für Integralgleichungen 2. Art s. Nr. 10 b, 1. Hier wird klar, weshalb er auch dort den vollen Komplex der determinauten-freien Sätze allein nicht liefern kann; denn er kann, wie das Beispiel von Nr. 18 b, 1 (Ende) zeigt, eine hintere Reziproke auch in einem solchen Falle liefern, wo eine vordere nicht existiert.
Die eine der von E. Schmidt 192) für die Auflösung nichtbeschränkter Gleichungssysteme angegebenen Methoden (Nr. 19 b, 3) ist, wie eine nähere Analyse der Formeln ergibt, in ihrer Anwendung auf beschränkte Gleichungssysteme sachlich mit dieser Toeplitzschen Methode identisch.
E. Hilb, Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten, Sitzungsb. Phys.-med. Soz. Erlangen 40 (1908), p. 84–89.
Er wählt a so, daß die obere Grenze von a<5(x,y) unterhalb 1 liegt. Dann ist für und und also auch (vgl. Nr. 48 a, 1) (math).
So z. B. für besondere aus einer physikalischen Aufgabe entstehende Systeme bei R. Schachenmeier, zur mathematischen Theorie der Beugung an Schirmen von beliebiger Form, Karlsruhe 1914, 91 S.
Vgl. etwa die Darstellung von F. Riesz, Literatur A 8, p. 89 ff.
E. Schmidt, Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich-vielen Unbekannten, Palermo Rend. 25 (1908); p. 53–77.
Diese sind zuerst von D. Hilbert (4. Mitteil., Gött. Nachr. 1906 = Grundzüge, Kap. XI) aufgestellt worden, soweit er sie für seine Untersuchungen brauchte (vgl. Nr. 10, 40, 43). E. Schmidt hat sie für seine Zwecke weiter ausgebildet, in der Darstellung aber die geometrische Form vermieden; er spricht von „Funktionen eines ganzzahligen Index“ statt von Punkten und Vektoren des unend-lichdimensionalen Raumes. In geometrischer Sprache hat P. Nabholz [Dissert. Zürich 1910, 118 S. und Vierteljahrsschr. Zür. Naturf. Ges. 56 (1911), p. 149–155] die Schmidtschen Untersuchungen dargestellt. Andererseits hat M. Fréchet, Nouv. Ann. (4) 8 (1908), p. 97–116, 289–317, im Anschluß an die Anwendungen, die E. Fischer und F. Riesz von den Hilbertschen Begriffen gemacht hatten [siehe Nr. 15d119)120)] einen selbständigen Aufbau der Geometrie des Hilbertschen un-endlichdimensionalen Raumes gegeben [vgl. dazu auch Nr. 24b, insbes. 302)]. Eine Ausdehnung auf einen elliptischen unendlichdimensionalen Raum bei K. Ogura, Tôhoku Math. J. 18 (1920), p. 1–22.
Dieser Begriff ist implizite bereits in Nr. 18 a, 1 als Hilfsmittel verwendet worden, um die Beschränktheit einer Bilinearform zu definieren. Ein anderer Konvergenzbegriff, die sog. S’hwache Konvergenz, ist implizite in Nr. 16 a verwendet worden, um die Vollstetigkeit einer Bilinearform zu erklären: eine Folge x (n) heißt schwach konvergent, wenn lim für jedes einzelne p = 1, 2,.... Jede stark konvergente Folge ist offenbar schwach konvergent, aber nicht jede schwach konvergente auch stark [vgl. das Beispiel Nr. 18 a168)]; diese Tatsache besagt übrigens für die Theorie der Bilinearformen, daß jede vollstetige Bilinearform benchränkt ist, aber nicht umgekehrt [vgl. Nr. 16, (10); Nr. 18 a, 1.169)].
E Schmidt 192) § 3.
Vgl die in 194) zitierte Literatur, zur Nomenklatur insbes. Nabholz.
Diese Formeln entsprechen formal und sachlich genau den gleichbenannten Formeln über orthogonale Systeme stetiger Funktionen (s. Nr. 15 a, 30, 385) und EncykL II C 11, Nr. 1, 2, E. Hilb); für unendlichviele Veränderliche treten sie dann in etwas anderer Darstellungsform bei D. Hilbert (4. Mitteil. 1906 = Grundzüge, p. 141–143) auf und sind von E. Schmidt 192) §1,5 als wesentliches Hilfsmittel seiner Untersuchung entwickelt und benutzt worden. Vgl. dazu auch Nr. 40 b.
E. Schmidt 192) § 6 nach Analogie des Kriteriums für lineare Unabhängigkeit von n Funktionen von J. P. Gram, J. f. Math. 94 (1883), p. 41–73.
E. Schmidt 192) § 4, 8, 9; P. Nabholz 194 ).
Man nennt diese modifizierte Bedingung nach L. Autonne [Palermo-Rend. 16 (1902), p. 104] und J. Schur 485), p. 489 auch unitäre Orthogonalität.
Vgl. F. Riesz, Literatur A 8, Chap. IV, wo die Stetigkeitsdefinitionen etwas abweichend formuliert sind. — Über orthogonale Transformationen vgl. Nr. 40 b.
Hellinger-Toeplitz 178) und 164), § 10 — an der ersten Stelle nur für Formen mit positiven Koeffizienten. Den analogen Satz über Linearformen s. 193).
Hellinger-Toeplitz 164), § 11.
Vgl. Hellinger-ToepUtz 178) und 164), § 12 sowie F. Riesz 202).
J. Hjelmslev, Festskr. til H. Gr. Zeuthen, Kopenhagen 1909, p. 66–77.
E. Schmidt 192), § 10–11.
Sind die A (α) speziell orthogonale und normierte Vektoren, so lauten diese Bedingungen und sind mit den schon von B. Hilbert 198) auf- gestellten Bedingungen für die Vollständigkeit eines Systems orthogonaler Linearformen identisch; vgl. auch Nr. 40b, 509).
E. Schmidt 192), § 12.
E. Schmidt 192 ) § 14. Über die Beziehung zu der O. Toeplitzschen Methode der Jacobischen Transformation (Nr. 18 b, 3) vgl. 185).
E.Schmidt 192), § 13.
Schon die Hilbertschen Untersuchungen über quadratische Formen [Gött. Nachr. 1906 = Grundzüge, Kap. XI, p. 113 – 125, insbes. Satz 31; vgl. hierzu M. Plancherel, Math. Ann. 67 (1909), p. 511–514] und die Methode von O. Toeplitz 184) gestatten unter Umständen für symmetrische nichtbeschränkte Koeffizientensysteme die Konstruktion einer beschränkten Reziproken, ohne daß aber bei ihnen Resultate im obigen Umfang angegeben sind. — Die Sätze des Textes sind bei E. Schmidt 192), § 15 zum Teil nur ohne Beweis ausgesprochen, die Beweise sind nach seinen Methoden ausgeführt bei G. Kowdlewski, Literatur B 3, p. 444 ff. und M. Egli, Dissert. Zürich 1910, 60 S., der auch den Fall nichtbeschränkter Reziproken näher untersucht.
Teilweise modifizierte Darstellungen dieser Schmidtschen Untersuchungen finden sich bei G. Kowalewski, Literatur B 3, § 164–179; P. Nabholz, Dissert.194); M. Bôcher und L. Brand, Ann. of math. (2) 13 (1912), p. 167–186; vgl. auch die Untersuchungen von F. Riesz, Nr. 20c. — Ober einen Versuch von A. J. Pell, Ann. of math. (2) 16 (1914), p. 32 – 37, die Voraussetzungen der Schmidtschen Resultate auszudehnen vgl. die Bemerkung von G. Szegö in Fortschr. d. Math. 45 (1922), p. 519.
E. Hilb, Math. Ann. 70 (1910), p. 79–86.
Vgl. 147), sowie E. Bord, Ann. Éc. Norm. (3) 12 (1895), p. 9–55 und K. Ogura, Tôhoku J. 16 (1919), p. 99–102. Neuerdings hat B. D. Carmichael, Amer. J. 36 (1914), p. 13–20 sich damit befaßt, das Verfahren von Kötteritzsch 147) zu legalisieren.
Die Konstruktion einer Potenzreihe vom Konvergenzradius ϱ, die eine periodische Funktion mit der Periode darstellt, behandelt P. Stäckel, Weber-Festschrift, Teubner 1912, p. 396–409 und Acta math. 37 (1914), p. 59–73, woran O. Perron, ebenda, p. 301–304 anknüpft, und unabhängig davon H. v. Koch, Proc. 5. int. congr. Cambr. I (1912), p. 352–365; andere derartige funktionentheoretische Aufgaben H. v. Koch, Ark. for Math., Astr. och Fys. 15 (1921), Nr. 26, 16 S.; 0. Perron, Math. Ztschr. 8 (1920), p. 159–170 und Math. Ann. 84 (1921), p. 1–15 und 325) sowie E. Hilb 183) und 324) (1920/21).
Vgl. dazu E. Hellinger und O. Toeplitz 205 ). Vgl. auch H. v. Kochs „normaloide“ Determinanten, Nr. 17152).
O. Holder, Über einen Mittelwertsatz, Gött. Nachr. 1889, p. 38–47, insbes. Nr. 7 [im Anschluß an J. Rogers, Mess. of Math. 17 (1888), Nr. 10] und ebenso J. L. W. V. Jensen, Acta math. 30 (1906), p. 175–193, insbes. p. 181, folgert es aus der Tatsache, daß der Schwerpunkt von n Punkten einer konvexen Kurve auf ihrer Innenseite gelegen ist, indem er die durch y = x p gegebene Kurve betrachtet.
E. Landau, Gött. Nachr. 1907, p. 25–27 ; er beweist in Verallgemeinerung des von E. Hellinger und O. Toeplitz 198) für den Fall p = 2 bewiesenen Satzes: ist für alle Wertsysteme positiver x n die der Bedingung genügen, konvergent (math), so konvergiert und ist die obere Schranke der Linearform.
F. Riesz, Literatur A 8, chap. III; das der Form nach entsprechende Kriterium bei E. Schmidt weicht von dem Rieszschen insofern ab, als es — im Gegensatz zu den anderen Kriterien dieser Schmidtschen Arbeit — die Frage der Lösbarkeit nut.bei willkürlichen rechten Seiten von konvergenter Quadratsumme behandelt. — St. Bóbr lö9) leitet unter der Konvergenzbedingung c) die Lösung von (U) mittels unendlicher Determinanten her, indem er neben noch als konvergent voraussetzt.
E. Helly, Monatsh. Math. Phys. 31 (1921), p. 60–91.
Eine größere Reihe weiterer Bedingungen bei H. Hahn, Monatsh. Math. Phys. 32 (1922), p. 3–88.
Die Darstellung von Nr. 16 ist so angelegt, daß sowohl das Auswahlverfahren als auch das Abspaltungsverfahren unter den hier vorliegenden allgemeineren Voraussetzungen anwendbar sind und den Beweis des obigen Theorems liefern
O. Toeplitz, Palermo Rend. 28 (1909), p. 88–96.
Eine Anwendung hiervon auf zeilenfinite Systeme von linearen Kongruenzen nach dem Modul 1 macht H. Bohr, Danske Wid. Selsk. math. fys. Medd. 7 (1925), Nr. 1. 42 S.
E. Hellinger und O. Toeplitz 164) § 8.
Die allgemeinen Lösbarkeitsbedingungen von Nr. 18, 19, insbesondere Nr 18b, 3 hat H. Weyl 567), p. 283ff. gelegentlich auf Integralgleichungen übertragen.
D. Hilhert, Gott. Nachr. 1906, 5. Mitteil. = Grundzüge, Kap. XV hatte das Problem der Eigenwerttheorie dieser Integralgleichungen behandelt; s. Nr. 38 b, 1.
É. Picard, Paris C. R 150 (1910), p. 489–491; 152 (1911), p. 1545 – 1547; 153 (1911), p. 529–531, 615–617; Am). Éc. Norm. (3) 28 (1911), p. 459–472.
Eine andere Herleitung der Picardschen Resultate bei G. Fubini, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 211 (1912), p. 325–330.
Ch. Platrier, Paris C. R. 154 (1912), p. 808–811; 156 (1913), p. 1825 – 1828; 157 (1913), p. 28–31; 162 (1916), p. 118–120; ferner zusammenfassend in 53), Chap. V.
T. Lalesco, Literatur A 6, p. 117 ff.
G. Julia, Paris C. R. 172 (1921), p. 1279–1281.
B. Hilbert, Verh. d. 3. intern. Math.-Kongr. Heidelberg 1904 (Leipzig 1905), p. 233–240. — Die Methode ist auf Grund von Hiibertschen Yorlesungen zuerst veröffentlicht von O. B. Kellogg, Dissert.35), p. 41 ff. und weiterhin angewandt von O. D. Kellogg, Math. Ann. 58 (1904), p. 441–456 und 60 (1905), p. 424–433.
H. Poincaré, Literatur C 4, 2. Vortrag. — Vgl. auch die Behandlung ähnlicher spezieller Integralgleichungen bei H. Villat, Paris C. R. 153 (1911), p. 758–761 und Acta math. 40 (1915), p. 101–178.
F. Noether, Math. Ann. 82 (1920), p. 42–63.
Vgl. dazu 234), p. 46, Fußn. 8) und D. Hilbert, Grundzüge, p. 82, Fußn.
E. v. Egerváry 105); G. Andreoli, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 261 (1917), p. 289–295, 531–538 (spezielle von as — ßt abhängige Kerne für kleine Parameterwerte). — J. E. Littlewood, Proceed. Cambr. Phil. Soc. 21 (1922), p. 205–214 löst eine homogene Integralgleichung, deren Kern der Integrallogarithmus von ist; G H. Hardy u. E. G. Titchmarch, London Math. Soc. Proc. (2) 23 (1924), p. 1–26 behandeln weitere verwandte Beispiele. — Andersartige aus Differenzialgleichungen entstehende Beispiele bei P. Humbert 263).
A. C. Dixon, London Math. Soc. Proc. (2) 22 (1923), p. 201–222.
Die oft gemachte Bemerkung, daß (1) aus der Integralgleichung 2. Art mit dem Parameter λ (Nr. 11c) im Grenzfall entsteht, ergibt für ihre Behandlung keinerlei Nutzen, da eine wesentlich singulare Stelle der Lösungen der Integralgleichung 2. Art ist.
Einige Bemerkungen in dieser Richtung zusammengestellt bei H. Bate-man, London Math. Soc. Proc. (2) 4 (1906), p. 90–115, 461–498. Für spezielle Kerne vgl. auch St. Mohorovičić, Bull. Jugoslav. Acad., math.-phys. Kl. 6–7 (1916), p. 73–88; Rada jugoslav. Acad. 215 (1916), p. 26.
Denn damit z. B. (1) für jedes f(s) mit konvergentem Quadratintegral eine Lösung derselben Eigenschaft hat, muß die Koeffizientenmatrix des entsprechenden unendlichen Gleichungssystemes eine beschränkte Reziproke besitzen, und das ist nach dem Toeplitzschen Kriterium (Nr. 18 b, 3) sicher nicht der Fall, wenn sie vollstetig, insbesondere also, wenn K(s, t) stetig oder uneigentlich singulär ist.
Über dieses und andere ältere Beispiele von Integralgleichungen 1. Art vgl. Encykl. IIA 11, Pincherle, Nr. 28, 29.
Von diesem Gesichtspunkt aus behandelt H Weyl 566) § 4–6 diese und ähnliche Formeln; vgl. auch H. Weyl, Jahresb. Deutsch. Math.-Ver. 20 (1911), p. 129–141, 339.
Vgl. außer 241) H. Hankel, Math. Ann. 8 (1875), p. 471–494.
H. Bateman, Math. Ann. 63 (1907), p. 526–548, § 1; Mess. of Math. 41 (1912), p. 94–101, 180–184; G.H.Hardy, ibid. 42 (1912), p. 89–93; L. Pisati, Palermo Rend. 25 (1908), p. 272–282; M. Plancherel, London Math. Soc. Proc. (2) 24 (1925), p. 62–70.
Zuerst nach Hilberts Vorlesungen veröffentlicht bei O. D. Kellogg, Dissert.35), p. 17ff. und Math. Ann. 58232). Vgl auch D. Hilbert, 2. Mitteil. Gött. Nachr. 1904 = Grundzüge, Kap. IX, p. 75f. und 3. Mitteil. Gött. Nachr. 1905 == Grundzüge, Kap. X, p. 84 ff.
Ausdehnung auf unstetige Funktionen bei 0. D. Kellogg, Bull Amer. Math. Soc. (2) 13 (1907), p. 168–170; A. Plessner, Dissert. Gießen 1923 (Mitteil.
O. D. Kellogg, Math. Ann. 58232); H. Villat, Paris C. R. 166 (1918), p. 981–984 und Darb. Bull. (2) 43 (1919), p. 18–48. — Vgl. auch die verwandten Formeln bei G. H. Hardy, Mess. of Math. 53 (1924), p. 135–142; 54 (1924), p. 20–27 sowie in der daselbst zitierten Literatur.
H. Poincaré, Paris C. R. 148 (1909, p. 125–126; Acta math. 33 77), § 5; Literatur C 4, 1. Vortr., p. 7–10. Im selben Zusammenhang führt er die gleiche Integralgleichung für das Intervall (math), deren Bestehen indessen nur für ganzzahlige Werte von s gefordert wird — also ein nach Nr. 22 d gehöriges Problem — durch Anwendung der Fourierschen Reihenentwicklung auf ein unendliches lineares Gleichungssystem zurück.
G. Lauricella, Rom Acc. Linc. Rend (5) 171 (1908), p. 775–786; 172 (1908), p. 193–204.
É. Picard, Paris C. R. 148 (1909), p. 1563–1568, 1707–1708; Palermo Rend. 29 (1910), p. 79–97; vgl. auch Paris C. R. 157 (1913), p. 813–814.
G. Lauriceila, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 18, (1909), p. 71–75; 201 (1911), p. 528–536. — Andere Beweisanordnungen und Umformungen dieser Kriterien bei L. Amoroso, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 191 (1910), p. 68–75 (vgl. Nr. 22d258)); H. Bateman, Mess. of Math. 39 (1910), p. 129–135; J. Mollerup, Paris C. R. 150 (1910), p. 313–315 = Palermo Rend. 29 (1910), p. 378–379; C. Severini, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 231 (1914), p. 219–225, 315–321; L. Silla, ibid. p. 600–607. Übertragung auf Systeme von Integralgleichungen 1. Art bei L. Silla 257). — Herleitungen, die mit der Begründung der Sätze über adjungierte Eigenfunktionen (s. Nr. 36c) verknüpft sind, geben A. Vergerio, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 241 (1915), p. 1199 – 1205; 242 (1915), p. 185–190, 513–519,610–616; Palermo Rend. 41 (1916), p. 1–35; 42 (1917), p. 285–302; J. Mollerup, Mat. Tidsskrift 19 (1923), p. 47–53. — Weitere, mehr formale Bemerkungen über die Auflösung gewisser Integralgleichungen 1. Art im Zusammenhang mit der Eigenwerttheorie bei H. Bateman, Mess. of Math. 38 (1908), p. 8–13, 70–76; 39 (1909), p. 6–19,1$2–191 ; A.Vergerio, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 232 (1914), p. 385–389; P.J.Daniell, ibid. 251 (1916), p. 15–17; vgl. auch K. Popoff, Paris C. R. 157 (1913), p. 1395–1397 und die Berichtigung dazu von A. Vergerio, Lomb. Ist. Rend. (2) 47 (1914), p. 172–176. — Eine Anwendung des Lauricella-Picardschen Kriteriums auf Integralgleichungen, deren Kern einen Parameter enthält, gibt G. Wiarda, Dissert. Marburg 1915, 63 S.
Durchgeführt insbesondere bei F.Biesz iM ) § 12–13 (vgl. auch Nr. 24 b) und bei E. Helly 266 ) § 10 für Integralgleichungen mit Stieltjesschen Integralen.
H. Bateman, Math. Ann. 63244), § 2; C. Cailler, Arch. Sc. phys. et nat. Genève 38 (1914), p. 301–328. — Vgl. auch die durch Anwendung der Laplace-schen Integraltransformation auf gewisse gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen entstehenden Lösungsformeln besonderer Integralgleichungen bei S. Pincherle 521 ) und P. Humbert, Edinb. Math. Soc. Proc. 32 (1914), p. 19–29; 33 (1915), p. 35–41.
T. Carleman, Math. Ztschr. 15 (1922), p. 111–120.
C. Bunge, Math. Ann. 75 (1914), p. 130–132 [Kern h(s — t) im Intervall (-∞, +∞) ; formale Lösung durch Reihen Hermitescher Polynome] ; vgl. dazu W. Kapteyn, Amst. Akad. Versl. 23 (1914), p. 49–69 und L. Grijns, Nieuw Arch. Wisk. Amsterdam (2) 13 (1919–20), p. 292–294. — F. Tricomi, Palermo Rend. 46 (1922), p. 357–387 (überall endlicher Kern auf geschlossener Fläche als Integrationsbereich).
Ch. Plâtrier 59 ) note II.
L. Silla, Rom Ace. Linc. Rend. (5) 222 (1913), p. 13–20.
Darauf beruht die Behandlung der Integralgleichungen 1. Art bei L.Amoroso 26 *) 201 ) sowie bei Ch. Müntz, Math. Ann. 87 (1922), p. 139–149, § 1, 2.
T. J. Stieltjes, Récherches sur les fractions continues, Paris C. R. 118 (1894), p. 1315 – 1317, 1401 – 1403; Mém. sav. étrang. Paris 32, Nr. 2, 197 S. = Ann. Fac. sciences de Toulouse 8 (1894) J., p. 1–122; 9 (1895) A., p. 5–47. — Über die Bedeutung dieser Untersuchungen für die Theorie der quadratischen Formen unendlichvieler Veränderlicher vgl. Nr. 43 c.
H. Hamburger, Über eine Erweiterung des Stieltjesschen Momentenproblems, Sitzungsber. Bayr. Akad., Math.-phys. Kl. 1919, p. 381–393; Math. Ann. 81 (1920), p. 235–319; 82 (1921), p. 120–164, 168–187.
M. Biesz, Sur le problème des moments, Ark. f. Mat. 16 (1921), Nr. 12, 23 S.; Nr. 19, 21 S.; 17 (1923), Nr. 16, 62 S. — Die dritte Arbeit enthält eine von den ersten beiden im Gedankengang unabhängige Begründung, die von einer begrifflichen Ausdehnung jener Funktionaloperation auf beliebige Funktionen ausgeht.
B. Nevarilinna, Ann. kc. Scient. Fenn. A 18 (1922), Nr. 5, 53 S.
T. Carleman, Paris C. R. 174 (1922), p. 1527–1530, 1680–1682.
F. Biesz, Math. Ann. 69 (1910), p. 449–497. — Den Fall quadratisch integrierbarer <p(t) hat L. Brand, Ann. of Math. (2) 14(1913), p. 101–118 nach dem Muster der Bocher-Brandschen. Darstellung213) des E. Schmidtschen Auflösungs-verfahrens von Nr. 19 behandelt; vorher hatte bereits L. Amoroso, Ann. di mat. (3) 16 (1909), p. 123–140 durch Anwendung des OrthogonalisierungsVerfahrens auf die k n (t) einige Resultate in dieser Richtung gegeben; sachlich identisch damit ist die Methode von Ch. Müntz* 68); vgl. auch J. Tàkendka, Tôhoku math. J. 23 (1923), p. 167–196. Ferner sind hier die Untersuchungen von W. Stekloff, Mem. Ac. Imp. Petersbourg 32 (1915) zu erwähnen. Das Problem (3) mit Nebenbedingungen für (p(s) hat weiter untersucht S. KaJceya, Tôhoku math. J. 4 (1914), p. 186 – 190; 8 (1915), p. 14 – 23; Tokyo Math. Ges. (2) 8 (1916), p. 83 – 102, 408–420; (2) 9 (1918), p. 93–100.
F. Biesz, Paris C. R. 149 (1909), p. 974–977; 150 (1910), p. 674–677; Ann. Êc. Norm. (3) 28 (1911), p. 33–62; es ergeben sich auch Bedingungen für die Existenz monotoner Lösungen. — Vgl. auch & Kakeya, Tôhoku Sc. Rep. 4 (1915), p. 361–372; 52 (1916), p. 127–134.
E. Helly, Wiener Ber. IIa 121 (1912), p. 265–297.
Eine ausführlichere Behandlung dieser Gleichungen findet man in folgenden Lehrbüchern: T. Lalesco, Literatur A 6, p. 5–18, 103–111; V. Volterra, Literatur A 9, p. 34–101; G. Vivantt, Literatur A 10, p. 55–99.
Man kann das zur Reihe (4) führende Verfahren der sukzessiven Approximation auch ohne den Übergang zu (2) direkt auf die durch geeignete andere Kunstgriffe umgeformte Gleichung (1) anwenden; s. P. Burgatti, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 122 (1903), p. 443–452; É. Picard, Paris C. R. 139 (1904), p. 245–248. Andererseits kann man von (1) auch durch partielle Integration zu einer Integralgleichung 2. Art mit dem Kern und dem unbestimmten Integral von φ als unbekannter Funktion übergehen [vgl. V. Volterra 5), 1. Note].
Anwendungen dieser Abschätzung auf die approximative Lösung Yol-terrascher Gleichungen bei Â. Viterbi, Ist. Lomb. Rend. (2) 45 (1912), p. 1027–1060.
Eine mit der JE. Schmidtschen Methode (Nr. 10 a) verwandte Methode zur Untersuchung des Verhaltens in der Nähe anderer Stellen, als der in der unteren Grenze auftretenden, bei L. Orlando, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 24x (1915), p. 1040–1041.
V. Volterra 5 ) 3. und 4. Note.
E. Holmgren, Bihang Sven. Ak. Handl. 25x (1899), I, Nr. 3, 19 S.; Upsala nova acta (3) 20 (1899), 32 S.; Torino Atti 35 (1900), p. 570–580.
T. Lalesco, Thèse17), 1. P., Nr. 5–8.
J. Horn, J. f. Math. 140 (1911), p. 120–158. Vgl. auch M. Watanabe, Tokyo Math. Ges. (2) 8 (1915), p. 212–213; Tôhoku Math. J. 8 (1915), p. 130–174 10 (1916), p. 220–224.
J. Horn, J. f. Math. 146 (1916), p. 95 – 115; Math. Ztschr. 3 (1919), p. 265–313; 8 (1920), p. 100–114.
J. Horn, Jahresb. Deutsch. Math.-Yer. 24 (1915), p. 210–225, 309–329; 25 (1917), p. 74–83, 301–325; zu den Differenzengleichungen vgl. Encykl. II C 7, Nr. 6, p. 701, N E. Nörlund.
G. C. Evans, Bull. Amer. Math. Soc. (2) 16 (1909), p. 130–136
G. C. Evans, Trans. Amer. Math Soc. 11 (1910), p. 393–413; 12 (1911), p. 429–472.
Vgl. audi die Bemerkungen von W. H. Young, Quart. J. 41 (1910), p. 175 – 192 über Kerne, die in Lebesgueschem Sinne integrierbar sind; weitere spezielle Typen singulärer Kerne bei B. d’Adhémar, Atti 4. congr. int. Roma 1909, t. 2, p. 115–121
G. G. Evans, Rom Acc. Linc. Rend. (6) 20t (1911), p. 409 – 415, 656–662 202 (lull), p. 7–11
G. G. Evans, G. E. Love, Trans. Amer. Math. Soc. 15 (1914), p. 467–476 gibt andere Bedingungen für diesen Fall.
T. Lalesco, Thèse17), 1. P., Nr. 13 ; M. Mason, Math. Ann. 65 (1908), p. 670 – 575
T. H. Gronwall, Ann. of. Math. (2) 16 (1915), p. 119–122.
Dieser Sachverhalt kommt in der Mehrzahl der Arbeiten über Probleme dieser Gruppe mehr oder weniger ausdrücklich zar Geltung; ein Beispiel fur die Unbestimmtheit der Lösung ist vollständig durchgerechnet bei P. Nalli, Palermo Rend. 46 (1922), p. 261–264.
V. Volterra, Ann. di mat. 2519), Art. II.
É. Picard, Paris C. R. 144 (1907), p. 1009–1012.
Weitere Lösungen dieser Gleichung, die sich aus anderen Lösungen der Ausgangs-Funktionalgleichung ergeben, haben C. Popovici, Paris C. R. 158 (1914), p. 1866–1869 und A. Myller u. V. Valcovici, Bukar. Bull. 3 (1914), p. 165–171 untersucht.
Ein Eigenwertproblem für eine solche Integralgleichung bei P. Nalli, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 292 (1920), p. 23–25, 84–86; 302 (1921), p. 85–90, 122–127,295–300, 405–410, 451–456; 311 (1922), p. 245–248
Palermo Rend. 47 (1923), p. 1–14. Eine weitere Verallgemeinerung, in der φ((h(s)) mit gegebenem h(s) statt φ(αs) auftritt, behandelt A. Myller, Paris C. R. 148 (1909), p. 1090–1091 und Math. Ann. 68 (1909), p. 75–106. Vgl. auch die hierhin gehörige Gleichung bei G. Andreoli, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 251 (1916), p. 79–84.
T. Lalesco, Thèse17), 1. P., Nr. 10; vgl. dazu M. Picone, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 192 (1910), p. 259–265 und C. Popovici, Palermo Rend. 39 (1915), p. 341–344.
P. J. Browne, Paris C. R. 154 (1912), p. 1289–1291, 1402–1404; Thèse (Paris 1913), 146 S. = Ann. Fac. Sc. Toulouse (3) 4 (1912), p. 63–198.
T. Lalesco, Thèse17), 1. P., Nr. 14.
T. Lalesco, Paris C. R. 152 (1911), p. 579–580
T. Lalesco, Darb. Bull. (2) 35 (1911), p. 205–212
M. Picone, Palermo Rend. 31 (1911), p. 133–169; 32 (1911), p. 188 – 190; Batt. Giorn. 49 (1911), p. 173–180
G. Andreoli, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 221 (1913), p. 776–781; 232 (1914), p. 196–201; Palermo Rend. 37 (1914), p. 76–112; Battagl. Giorn. 53360) (auch Gleichungen, in denen nebeneinander Integrale mit konstanten und variablen Grenzen auftreten).
Der dort angegebenen Literatur ist noch hinzuzufügen : C. Cailler, Darb. Bull. (2) 23 (1899), p. 26–48
K. Goursat, Acta math. 27 (1903), p. 129–134
J. G. Rutgers, Amsterd. Ak. Versl. 22 (1913), p. 265–272; 24 (1915), p. 557–568
A. Kienast, Zürich Naturf. Gesellsch. 62 (1917), p. 59–66.
V. Volterra 5) 2. Note; Ann. di mat. 2519), Art. I; É. Picard 268); T. Lalesco, Thèse17), 1. P., Nr. 9. — V. Volterra, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 11842), Chap. VI behandelt analog Kerne, die für s = t logarithmisch unendlich werden.
P. J. Browne, Thèse285) sowie Paris C. R. 155 (1912), p. 129–132, 1136 – 1140; 158 (1914), p. 1562–1565.
E. Holmgren, Ark. for Mat. 16 (1922), Nr. 15, 20 S.
N. Hirakawa, Tôhoku Math. J. 8 (1915), p. 38–41
T. Hayashi, ibid. 10 (1916), p. 56–59
J. Usai, Batt. Giorn. 56 (1918), p. 209–215; Palermo Rend. 45 (1921), p. 271–283
J. Kaucky, Univ. Masaryk public. Nr. 17 (1922), 16 S. [Kerne (s — t) n ]. — St. Mohorovicic, Jugosl. Acad. Bull., Math.-phys. Kl. 6/7 (1916), p. 1–6, 180; Rada jugosl. Acad. 213 (1916), p. 1
H. Bateman, Mess, of Math. 49 (1920), p. 134–137
T. Hayashi, Tôhoku Math. J. 19 (1921), p. 126–135 (Exponentialfunktion von s — t).
— W. Kapteyn, Amsterd. Akad. Versl. 23 (1914), p. 232–245
O. Tedone, Rom. Acc. Linc. Rend. (5) 22x (1913), p. 757–761; 231 (1914), p. 120–126, 473–480; 241 (1915), p. 544–554 (Besselsche Funktionen von s — t). — O. Tedone, ibid., 291 (1920), p. 333–344; F. Sbrana, ibid., 302 (1921), p. 492–494 (Hypergeometrische Funktionen von s — t).
— E. T. Whittàker, Lond. Roy. Soc. Proc. (A) 94 (1918), p. 367 – 383
F. Sbrana, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 311 (1922), p. 454–456; V.FocTc, Math. Ztschr. 21 (1924), p. 161–173, vgl. dazu G. Doetsch, ibid. 24 (1926), p. 785–788 und 345) (Beliebige Funktionen von s — t, bei Whittaker im Hinblick auf numerische Lösung).
G. Herglotz, Math. Ann. 65 (1908), p. 87–106 im Anschluß an die von P Hertz, ibid., p. 1–86 behandelten speziellen Integralgleichungen der Elektronentheorie. Vgl. auch F. Schürer 323), p. 227 ff.
J. Horn, J. f. Math. 140 (1911), p. 159–174
J. Horn, Areh. Math. Phys. (3) 26 1918), p. 132 – 145. Tgl. auch H. v. Koch, Arkiv 15217) und O. Perron, Math Ztschr. 8, Math. Ann. 84217).
Vgl. die Gesamtdarstellung dieses Kalküls Encykl. HAH, S. Pincherle (abgeschlossen 1905; vom Autor erweiterte und bis 1912 fortgeführte Bearbeitung in Encycl. franç. II 26). Vgl. ferner zu a): S. Pincherle und U. Amaldi, Le ope-razioni funzionali distributive, Bologna 1901; zu b): P. Lévy, Leçons d’analyse, fonctionelle, Paris 1922 (Coll. Borel), 442 S.; Analyse fonctionelle, Paris (Gauthier- Villars) 1925, mém. des sciences math., fasc. V, 56 S.
In ähnlicher Weise erscheint übrigens der Kunstgriff des Abspaltungsverfahrens Nr. 10 a, 4, wenn man ihn in die Sprache dieses Operationskalküls überträgt, als durchaus naturgemäß; vgl. Nr. 24b Ende, F. Biesz 304 ).
In Ergänzung der unter 296) aufgeführten zusammenfassenden Darstellungen seien hier nur diejenigen Arbeiten zusammengestellt, in denen S. Pincherle nach der Entstehung der Integralgleichungstheorie deren Beziehungen zu seinem Kalkül erörtert hat: a) Rom Acc. Linc. Rend. (5) 142 (1905), p. 366–374
S. PincherleBoL Mem. (6) 3 (1906), p. 143–171
S. PincherleRom Acc. Linc. Rend. (5) 182 (1909), p. 85–86
S. PincherleBol. Mem. (6) 8 (1911), p. 55–90 (117–152 der anderen Paginierung)
S. Pincherle Rom Acc. Linc. Rend. (5) 20x (1911), p. 487–493
S. Pincherle Batt. Giorn. 50 [(3) 3] (1912), p. 1 – 16
S. Pincherle Bol. Mem. (6) 9 (1912), p. 61 – 70. Vgl. auch jBT.
B. A. Bockwinkel, Amsterd. Akad. Versl. 25 (1916), p. 363–374, 646–660, 805–821, 905–917, 1017–1032, 1351–1365, 1426–1444; 27 (1919), p. 1232 – 1235.
G. Kowalewski, Paris C. R. 153 (1911), p. 931–933 (die aus den Vol-terraschen Integralgleichungen entspringende Transformationsgruppe), ebenda p. 1452–1454 (projektive Gruppe im Funktionenraum), Wien. Ber. 120 (1911) IIa, p. 77–109, 1435–1472 (die aus den Fredholmschen Integralgleichungen entspringende Gruppe, insbesondere die orthogonalen Transformationen in ihr und deren Cayleysche Parameterdarstellung; Liesche Klammerausdrücke), ebenda 121 (1912) IIa, p. 941–947 (Verwendung der Volterragruppe für lineare homogeue Differentialgleichungen). Fernere. Vessiot, Paris C. R. 154 (1912), p. 571–573 und 347)
L. L. Dines, Amer. Math. Soc. Trans. 20 (1919), p. 45–65 und anschließend daran T.
H. Hildebrandt, Amer. Math. Soc. Bull. 26 (1920), p. 400–405 (die projektive Gruppe), endlich J. A. Barnett, Amer. Nat. Ac. Proc. 6 (1920), p. 200–204 und A. D. Michal, Amer. Math. Soc. Bull. 30 (1924), p. 338–344. — Wegen der Einordnung dieser Untersuchungen in den Komplex der Integrodifferentialglei-chungen vgl. Nr. 24d, 2819) und 27 a862).
J. Hadamard, Paris C. R. 136 (1903), p. 351–354; vgl. hierfür und für das folgende Encykl. IIA 11, Pincherle, Nr. 13, und Eneyel. franç. II 26, Nr. 19. Anderer Beweis bei M. Fréchet, Amer. Math. Soc. Trans. 5 (1904), p. 493–499.
M. Fréchet, Amer. Math. Soc. Trans. 6 (1905), p. 134–140; 8 (1907), p. 433–446 (Raum der im Lebesgueschen Sinne integrierbaren Funktionen; statt gleichmäßiger Konvergenz tritt Konvergenz bis auf eine Nullmenge). F. Biesz, Paris C. R. 144(1907), p. 1409–1411 und M. Fréchet, ebenda p. 1414–1416 (summierbare Funktionen, für die (math) beschränkt, Entfernungsbegriff (math). M. Fréchet, Paris C. R. 148 (1909), p. 279 – 281 und Ann. Éc. Norm. (3) 27 (1910), p. 193 – 216 (Ausdehnung auf mehrfache Integrale).
H. Steinhaus, Math. Ztschr. 5 (1919), p. 186–221 (summierbare Funktionen, Entfernungsbegriff (math). Die mit dem Hadamardschen Satz eng zusammenhängende und seit Fréchet gelegentlich aufgeworfene Frage, wie die k n (s) beschaffen sein müssen, damit (math) für jedes φ eines gegebenen Funktionenraumes konvergiert oder beschränkt ist, behandelt systematisch für zahlreiche Funktionenräume JET. Hahn 223); vgl. auch E. W. Chittenden, Palermo Rend. 45 (1921), p. 265–270 und 47 (1923), p. 336; T. H. Hildebrandt, Amer. Math. Soc. Bull. 28 (1922), p. 53–58; S. Banach, Fundam. math. 3 (1922), p. 133–181. — Zu dem gesamten Gegenstande vgl. übrigens A. Schoenflies, Literatur B 1.
F. Biesz, Paris C. R. 149 (1909), p. 974–977 und Ann. Éc. Norm. (3) 28 (1911), p. 33–62. Eine ähnliche Formulierung für summierbare Funktionen vorher bei M.Fréchet, Amer. Math. Soc. Trans. 8 300). Andere Beweise von F. Helly 266), § 8 und F. Riesz, Ann. Éc. Norm. (3) 31 (1914), p. 9–14. Umsetzung in Lebesgue-sehe Integrale bei H. Lebesgue, Paris C. R. 150 (1910), p. 86–88; eine andere Umsetzung bei M.Fréchet, Paris C. R. 150 (1910), p. 1231–1233; C. R. du congrès des soc. savantes en 1913, sciences (1914), p. 45–54; Amer. Math. Soc. Trans. 15 (1914), p. 135–161, insbes. p. 152;
Ch. A. Fischer, Amer. Nat. Ac. Proc. 8 (1922), p. 26–29. Übertragung auf bilineare Funktionaloperationen mit Stieltjesschen Doppelintegralen bei M. Fréchet, Amer. Math. Soc. Trans. 16 (1915), p. 215–234.
Für den Raum der nebst ihrem Quadrat im Lebesgueschen Sinne integrieibaren Funktionen erlaubt der Fischer-Rieszsche Satz (Nr. 15 d) jede lineare Funktionaloperation im Raume der unendlich vielen Veränderlichen von konvergenter Quadratsumme zu deuten. Bei sinngemäßer Definition der Stetigkeit von 𝔍 wird dann das Hadamardsche Theorem zu der leicht beweisbaren Tatsache, daß jede lineare homogene Funktion als Linearform (math) darstellbar ist (vgl. M. Fréchet 194 )). Analog führt die lineare Funktionalgleichung auf ein unendliches lineares Gleichungssystem.
F. Riesz 264), §§ 12,13. J. Radon, Wien. Ber. 122 (1913) IIa, p. 1295–1438 hat diese Betrachtungen auf Funktionaltransformationen von Funktionenklassen übertragen, deren Elemente gewisse Funktionen von Punktmengen (additive Mengenfunktionen) sind. Ähnliche Übertragungen bei A. I. Pell, Amer. Math. Soc. Trans. 20 (1919), p. 343–355.
F. Riesz, Acta math. 41 (1916), p. 71–98. Hierzu entsprechende Übertragungen von J. Radon, Wien. Anz. 56 (1919), p. 189 und Wien. Ber. 128 (1919) IIa, p. 1083–1121. — Vgl. dazu auch Ch. A. Fischer, Amer. Math. Soc. Bull. 27 (1920), p. 10–17.
E. H. Moore: a) Introduction to a form of general analysis, New Haven Colloquium 1910, p. 1–150, hervorgegangen aus Vorlesungen im September 1906
E. H. MooreAmer. Math. Soc. Bull. 12 (1906), p. 280, 283–284
E. H. MooreRom 4. intern. Math. Kongr. 2 (1909), p. 98–114
E. H. MooreAmer. Math. Soc. Bull. 18 (1912), p. 334–362
E. H. MooreCambr. S. intern. Math. Kongr. 1 (1913), p. 230–255. Wegen der abstrakten, reichlich Symbole und z. T. sogar Begriffsschrift verwendenden Schreibweise Moores ist die ausführliche Einführung von O. Bolza, Jahresb. Deutsch. Math.-Ver. 23 (1914), p. 248–303 besonders hervorzuheben.
Wiedergegeben bei A. Kneser 98), p. 191 ff.; vgl. Nr. 13b99).
Vgl. E. H. Moore 305) a), p. 38.
Man beweist dies entweder leicht direkt oder folgert es aus der ebenfalls unmittelbar ersichtlichen Tatsache, daß jede relativ-gleichmäßig konvergierende Folge stark konvergiert, mit Hilfe des Satzes von E. Schmidt 196 ). Übrigens braucht nicht umgekehrt jede stark konvergente Folge relativ-gleichmäßig zu konvergieren, wie man an der Hand des Beispiels feststellen kann.
Die in 306) und 99) erwähnten Axiome unterscheiden sich von den hier aufgeführten — abgesehen davon, daß sie nicht für ein allgemeines B, sondern für „belastete Integralgleichungen’1, d. h. in Moores Sprache für ein aus einem stetigen Intervall und außerdem n Dingen bestehendes B formuliert sind — nur in dem einen Punkte, daß die Vertauschbarkeit der Integrationsfolge noch außerdem postuliert wird, während Moore dies unterlassen kann, weil er hernach den Stellenbereich, auf den er die Operation J anwendet, so einschränkt, daß er für ihn die Vertauschbarkeit mehrfacher Anwendungen der Operation J beweisen kann.
In dieser Form ist die Behauptung zuerst in 305) d) ausgesprochen, und in 305) e) sind die wichtigsten zu ihrer Durchführung nötigen Hilfssätze zusammengestellt; 305) a) hatte die „Basis“ der Betrachtung, d. h. die Bereiche R, N weiter angelegt, hatte dafür aber eine größere Zahl von Postulaten über sie einführen müssen. Die Darstellung in 305) d) und 305) e) vollzieht zugleich eine andere Verallgemeinerung: anstatt die für den Bereich N erklärte Operation J auf K(s,t)x(t) anzuwenden, das in Rücksicht auf das Argument t dem Bereich N angehört, wendet sie eine für den Bereich R definierte, wiederum mit den Eigenschaften L, M ausgestattete Operation J auf K(s,t)x(u) an, das in bezug auf die beiden Argumente t, u dem Bereich R (demselben also, wie der Kern K) angehört. Ein Beispiel einer solchen zweiargumentigen Operation J wäre die aus zwei sukzessiven einargumentigen Operationen J und einer Funktion (math) aufgebaute Operation (math) (Doppelintegral, Doppelsumme). — Solche Erweiterungen der Integralgleichungstheorie, wie sie in Nr. 13 in einzelnen Richtungen erörtert wurden, insbesondere die Theorie der gemischten Integralgleichungen, sind in der general analysis in einheitlicher Weise geleistet. Außer den aufgeführten sind noch folgende weitere Arbeiten von E. H. Moore und seinen Schülern zu nennen: E.H.Moore, Brit. Ass. Rep. 79 (1910), p. 387 – 388; Amer. Nat. Ac. Proc. 1 (1915), p. 628–632 (der generalisierte Grenzwertbegriff, mit Anwendung auf die Definition des Prozesses J, der „in der früheren Theorie undefiniert geblieben war“); Math. Ann. 86 (1922), p. 30–39 (Andeutungen über die Unifizierung der Hilbertschen Theorie der beschränkten quadratischen und Hermiteschen Formen, Nr. 43); E. H Moore und H. L. Smith, Amer. J. 44 (1922), p. 102–121 (insbesondere auf p. 113 f. die Analyse des Integralbegriffs); M. E. Wells, Amer. J. 39 (1917), p. 163–184 (Verallgemeinerungen der Schwarzschen Ungleichung); T. H. Hildebrandt, Ann. of Math. (2) 21 (1920), p. 323–330 (die Pseudoresolvente51) in der Redeweise der general analysis); Amer. Math. Soc. Bull. 29 (1923), p. 309–315 (beschränkte Formen, insbesondere der Konvergenzsatz203)); A.D. Pitcher, Kansas Univ. Bull. 7 (1913), p. 1–67 und E. W. Chittenden, Amer. J. 44 (1922), p. 153–162 (die logische Abhängigkeit von acht grundlegenden Axiomen aus Moores Theorie).
Die klassische Lehre von den Randwertaufgaben bei gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen, die begrifflich hierhin gehört, würde, insofern sie eine Anwendung der Integralgleichungstheorie ist, den Rahmen dieses Artikels überschreiten. (Vgl. die Vorbemerkung.)
H. v. Koch, Stockholm Öfvers. 56 (1899), p. 395–411. — Den gleichen Existenzsatz beweist P. Flamant, Darboux Bull. (2) 45 (1921), p. 81–87.
H. v. Koch, Acta math. 24 (1900), p. 89–122. — Im wesentlichen die gleichen Sätze bei W. Sternberg, Heidelberger Akad. Sitzungsber. 1920, Nr. 10, 21 S.
spezielle Fälle bei W. G. Simon, Amer. J. 42 (1920), p. 27–46, berichtigt von O. Perron in Fortschr. d. Math. 47 (1924), p. 376 f.
W. L. Hart, Amer. Math. Soc. Bull. 23 (1917), p. 268–270; Amer. J. 39 (1917), p. 407–424.
H. v. Koch 312); F. B. Moulton, Nat. Ac. Proc. 1 (1915), p. 350–354
W. L. Hart 336) und Amer. J. 43 (1921), p. 226–231. Verschärfungen der Koch-schen Sätze gibt A. Wintner, Math. Ann. 95 (1926), p. 544–556 mit seiner in. 216) angewandten Methode.
V. Volterra, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 19t (1910), p. 107–114; 23, (1914), p. 393–399.
Vgl. auch M. Gramegna, Torino Atti 45 (1910), p. 469–491 (bzw. math.-phys. Kl., p. 291–313)
J. A. Barnett, Amer. Math. Soc. Bull. 26 (1919), p. 193–203. Weitere Verallgemeinerungen s. Nr. 28 s75).
L. Schlesinger, Paris C. R. 158 (1914), p. 1872–1875; Jahresb. Deutsch. Math.-Ver. 24 (1915), p. 84–123. Vgl. auch A. Saßmannshausen, Diss. Gießen 1916, 52 S.; Jahresb. Deutsch. Math-Ver. 25 (1916), p. 145–156.
E. Hilb, Math. Ann. 77 (1916), p. 514–535. Seine Behandlung kommt darauf hinaus, daß (2) nach t integriert und dann als eine gewöhnliche Integralgleichung 2. Art in zwei Dimensionen angesehen wird.
L. Amoroso, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 212 (1912), p. 41–47, 141–146, 257–263, 400–404; Atti soc. ital. del science, 6. reun. 1912, p. 743–746 (ähnliche Integrodifferentialgleichungen 1. u. 2. Ordn.)
T. H. Hildebrandt, Amer. Math. Soc. Trans. 18 (1917), p. 73–96 (Verallgemeinerung im Mooreschen Sinne, Nr. 24c); M. Tah Hu, ibid. 19 (1918), p. 363–407 (verschiedene Randbedingungen im Reellen); A. Vergerio, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 281 (1919), p. 274–276, 297–300 (analoge Gleichungen n ter Ordnung)
J. A. Barnett, Amer. J. 44 (1922), p. 172–190 (nichtlineare Gleichung, auch für Volterrasche Linienfunktionen (s. Nr. 28) statt der Integrale); ibid. 45 (1923), p. 42–53 (analoge Gleichungen mit partiellen funktionalen Ableitungen, vgl. Nr. 28375)). — Hierhin gehören auch die in Nr. 24 a298) erwähnten Untersuchungen.
C. Bourlet, Ann. Éc. Norm. (3) 14 (1897), p. 133–190.
S. Pincherle, Palermo Rend. 18 (1904), p. 273–293
S. Pincherle, Soc. It. Mem. (3) 15 (1908), p. 3–43.
Vgl. J. F. Ritt, Amer. Math. Soc. Bull. 22 (1916), p. 484; Amer. Math. Soc. Trans. 18 (1917), p. 27–49.
T. Lalesco 17), 2ième partie; weitere mehr formale Beziehungen in Paris C. R. 147 (1908), p. 1042–1043, Bucarest Bul. 19 (1910), p. 319–330 und Rom. Acc. Linc. Rend. (5) 271 (1918), p. 432–434.
F. Hüb 183). Für konstante Koeffizienten hat bereits F. Schürer, Leipz. Ber. 70 (1918), p. 185–240 das entsprechende spezielle Resultat auf einem anderen, funktionentheoretischen Wege erhalten; bei ihm erscheinen die Gleichungen (3) mit konstanten Koeffizienten als Spezialfall allgemeiner Funktionalgleichungen, die aus ihnen durch Ersetzung des Differentiationsprozesses durch die Iterationen einer bestimmten Postulaten genügenden allgemeinen linearen Funktionaloperation entstehen. — Eine spezielle Gleichung (3) mit konstanten Koeffizienten hat F. B. Berwald, Ark. f. mat. 9 (1913), Nr. 14, 17 S. auf ein unendliches Gleichungssystem zurückgeführt, das er im Anschluß an P. Appell 147) löst.
E. Hilb, Math. Ann. 84 (1921), p. 16–30, 43–52.
O. Perron, Math. Ann. 84 (1921), p. 31–42.
JET. v. Koch, Ark. f. mat. 16 (1921), Nr. 6, 12 S.
E. Hilb, Math. Ann. 85 (1922), p. 89–98
E. Hilb, Math. Ztschr. 14 (1922), p. 211–229; 15 (1922), p. 280–285; 19 (1924), p. 136–144. — Über die in diesem Rahmen nicht weiter zu erörternde Theorie der Differenzengleiehungen s. Encykl. II C 7, N. E. Nörlund und den Bericht von A. Walther, Jahresb. Deutsch. Math.-Ver. 34 (1926), p. 118–131.
E. Schmidt, Math. Ann. 70 (1911), p. 499–524. O. Polossuchin, Diss. Zürich 1910, 52 S., hatte auf seine Anregung einige spezielle Typen verwandter funktionaler Differentialgleichungen durch Anwendung der Auflösungstheorie der Integralgleichungen behandelt.
F. Schürer, Leipz. Ber. 64 (1912), p. 167–236; 65 (1913), p. 139–143, 239–246, 247–263; 66 (1914), p. 137–159; 67 (1915), p. 356–363 (Verschärfung der Schmidtschen Resultate in Spezialfällen mit anderen Methoden); ibid. 70 (1918)82S) (allgemeinere Funktionalgleichungen analoger Art; Zurückführung auf Differentialgleichungen unendlichhoher Ordnung); Preisschrift Jablonowskische Ges. 46 (1919), 69 S. (ein Fall nichtkonstanter Koeffizienten und Integral-Differenzengleichungen).
E. Hilb, Math. Ann. 78 (1918), p. 137–170 (Allgemeinere Typen, bei denen die Schmidtsche Randbedingung unendlichviele Lösungen zuläßt und Festlegung der Lösung durch Werte in einem endlichen Intervall).
G. Hoheisel, Math. Ztschr. 14 (1922), p. 34–98 (nichtkonstante Koeffizienten).
Nur einzelne Beispiele spezieller, meist quadratischer Integralgleichungen sind gelegentlich nach besonderen Methoden ohne solche Einschränkungen gelöst worden: G. Fubini, Ann. di mat. (3) 20 (1913), p. 217–244 (Anwendung eines Verfahrens der Variationsrechnung), verallgemeinert von C. Poli, Torino Atti 51 (1916), p. 912–922; C. Runge 255) (formale Reihenentwicklung; vgl. auch L. Crijns 255)); G.Polya, Math. Ann. 75 (1914), p. 376–379 (Übertragung des Rungeschen Problems auf unendliche Gleichungssysteme und Konvergenzuntersuchung).
H. v. Koch, Soc. math. Fr. Bull. 27 (1899), p. 215–227. — Ein etwas schärferer Existenzsatz für speziellere Systeme (1) bei A. Wintrier 216 ).
G. Fubini, Torino Atti 40 (1904), p. 616–631
V. Volterra, Paris C.R. 142 (1906), p. 691–695
H. Block, Ark. f. mat. 3 (1907), Nr. 22, 18 S.
L. Orlando, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 16, (1907), p. 601–604
B. d’Adhémar, Bull. Soc. Math. Fr. 36 (1908), p. 195–204
G. Bratu, Paris C. R. 150 (1910), p. 896–899; 152 (1911), p. 1048–1050
A. Pellet, Bull. Soc. Math. Fr. 41 (1913), p. 119–126. Ein anderes Verfahren zur Bestimmung benachbarter Lösungen bei A. Collet, Toul. Ann. (3) 4 (1912), p. 199–249. — Vgl. auch die in Nr. 26 b, 2 und 3 behandelten nichtlinearen Integralgleichungen.
T. Lalesco 17), 1. P., Nr. 12; M. Picone, Palermo Rend. 30 (1910), p. 349 – 376
E. Cotton, Bull. Soc. Math. Fr. 38 (1910), p. 144–154; Paris C. R. 150 (1910), p. 511–513; Ann. Éc. Norm. (3) 28 (1911), p. 473–521
J. Horn, J. f. Math. 141 (1912), p. 182–216; Jahresb. Deutsch. Math.-Ver. 23 (1914), p. 85–90
H. Galajikian, Amer. Math. Soc. Bull. 19 (1913), p. 342–346; Ann. of Math. (2) 16 (1915), p. 172–192; M. Nanni, Battagl. Giorn. 58 (1920), p. 125–160; A, Vergerio, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 311 (1922), p. 15–17, 49–51; vgl. auch A. Viterbi 269). Allgemeinere verwandte funktionale Integralgleichungen bei C. Severini, Atti Acc. Gioen. (5) 4 (1911), Nr. 15, 16; 5 (1912), Nr. 20. — Vgl. auch die in Nr. 26a, 2 erwähnten weiteren Typen Volterrascher Integralgleichungen.
W. L. Hart, Amer. Math. Soc. Bull. 22 (1916), p. 292–293; Amer. Math. Soc. Trans. 18 (1917), p. 125–160; Nat. Ac. Proc. 2 (1916), p. 309–313; Amer. Math. Soc. Trans. 23 (1922), p. 30–50.
E. Sehmidt, Über die Auflösung der nichtlinearen Integralgleichung und die Verzweigung ihrer Lösungen, Math. Ann. 65 (1908), p. 370–399.
Dieser Begriff ist analog dem der analytischen Funktionen unend-lichvieler Veränderlicher von H. v. Koch (s. Nr. 25 a), und zwar entspricht die Integralpotenzreihe einem System von unendlichvielen analytischen Funktionen f p (x 1,x 2 ...) (Funktionaltransformation), wobei die Variable s dem Index p entspricht. Die Analogie tritt noch klarer hervor, wenn man in die Integralpotenzreihe nur eine Argumentfunktion anstatt der oben in Rücksicht auf das folgende verwendeten zwei einführt; dann ist das oben hingeschriebene allgemeine Glied genau so gebaut, wie das allgemeine Glied der Reihe (1 a) für die p te Funktion fp(x 1 , x 2, . . .).
H. Falkenberg, Diss. Erlangen 1912, 32 S. betrachtet in einem besonderen Falle die aus der Yerzweigungsgleichung entstehende Entwicklung der Lösung nach gebrochenen Potenzen eines in v(s) als Faktor auftretenden Parameters. Weitere Beispiele bei L. Orlando, Atti 4. congr. int. Borna 2 (1909), p. 122–128; P. Levy, Paris C. R. 150 (1910), p. 899–901; G. Bucht, Axk. f. mat. 8 (1912), Nr. 8, 20 S.; G.Bratu, Bull. Soc. Math. Fr. 41 (1913), p. 346–350; 42 (1914), p. 113–142; St. Mohorovicic, Jugoslav. Ak. Bull. math.-phys. Kl. 6/7 (1916), p. 7–18 ; Rada jugosl. Akad. 213 (1916), p. 12 ff.
Erste Veröffentlichung: V. Volterra, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 191 (1910), p. 169–180. Zusammenfassende Darstellungen bei V. Volterra, Literatur A 9, Chap. IV, insbes. p. 147ff.; Literatur B 6, Chap. IX—XIV; Proc. 5. intern, congr. Cambridge (1912) I, p. 403–406; V. Volterra, The theory of permutable functions (Princeton Univ. press 1915); V. Volterra u. J. Pérès, Leçons sur la composition et les fonctions permutables, Paris (Coll. Borel) 1924, VIII u. 184 S.; Formales über die Operationsgesetze bei G. C. Evans, Rom Acc. Linc. Mem. (5) 8 (1911), p. 695–710.
V. Volterra 340). Erweiterung für gewisse nicht konvergente Potenzreihen bei J. Pérès, J. de Math. (7) 1 (1915), p. 1–97, insbes. chap. I. — Wegen der Beziehungen zum Summationsverfahren divergenter Potenzreihen vgl. V. Volterra, Literatur B 6, p. 159 f. und P Nalli, Palermo Rend. 42 (1917), p. 206–226.
V. Volterra hat darauf hingewiesen (vgl. z. B. Literatur B 6, p. 138), daß man diese Betrachtungen auch auf Potenzreihen mit nicht verschwindendem konstanten Glied ausdehnen kann. Das kommt darauf hinaus, daß der „Einheitskern“ E, für den EK=RE=K ist, der aber freilich durch keine stetige Funktion von s, t dargestellt werden kann, rein formal zu jedem System vertauschbarer Kerne hinzugenommen wird; dann ist cE + K 1 mit K 2 vertauschbar und ihr Produkt ist der eigentliche Kern (math). Weitere formale Ausdehnungen des Kalkuls in ähnlicher Richtung geben G. C. Evans, Palermo Rend. 34 (1912), p. 1–28; 35 (1912), p. 394; V Volterra, Rom Acc. Linc. Mem. (5) 11 (1916), p. 167–249; J. Pérès, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 261 (1917), p. 45–49, 104–109.
V, Volterra 340). Der einfachste Fall hiervon ist die Lösung der linearen Integralgleichung K — KK = K durch die Potenzreihe (math), d. h. die Bestimmung der Resolvente eines Volterraschen Kernes durch Reihenentwicklung nach Iterierten, deren Beziehung zur geometrischen Reihe (math) als Lösung von (math) hier klar zutage tritt (vgl. Nr. 24 a). Hiermit verwandte Beispiele gibt G. C. Evans, Rom Acc. Linc. Rend. 202 (1911), p. 453–460, 688–694. Vgl. weiter eine Anwendung auf die Bestimmung von Kernen K(s — t) linearer Volterrascher Integralgleichungen, deren Resolvente sich durch Integrationen und Differentiationen aus K ergibt, bei V. Volterra, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 231 (1914), p. 266–269. — Auf nicht vertauschbare Kerne wird der obige Satz in gewissem Umfang ausgedehnt von V Volterra 365) und J.Pérès, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 221 (1913), p. 66–70.
J. Horn, J. f. Math. 144 (1914), p. 167–189; 146 (1915), p, 95–115; 151 (1921), p. 167 – 199; Jahresb. Deutsch. Math.-Ver. 23 (1914), p. 303 – 313; 25 (1915), p. 301–325; 27 (1918), p. 48–53; Math. Ztschr. 1 (1918), p. 80–114. Die IntegralgleichuDgeD gehen durch eine Laplacesche Transformation aus nichtlinearen Differential- und Funktionalgleichungen hervor.
F. Bernstein, Sitzungsber. Preuß. Akad. d. Wiss. 1920, p. 735 – 747; Amst. Ak. Yersl. 29 (1920), p. 759–765 = Amst. Ac. Proc. 23 (1920), p. 817–823; F. Bernstein und G. Doetsch, Gött. Nachr. 1922, p. 32–46, 47–52; Jahresb. Deutsch. Math.-Ver. 31 (1922), p. 148 – 153; G. Doetsch, Math. Ann. 90 (1923), p. 19–25. Hier werden zunächst eine quadratische Integralgleichung jener Art für die elliptische Thetanullfunktion und weiterhin analoge Gleichungen aufgestellt und durch funktionentheoretische Methoden oder mit Hilfe der Laplaceschen Integraltransformation untersucht. G. Doetsch, Math. Ann. 89 (1923), p. 192–207 behandelt im Anschluß an diese Untersuchungen Integralgleichungen derselben Art, die sich durch eine Modifikation des oben geschilderten Volterraschen Prozesses aus algebraischen Gleichungen ergeben und durch eine Laplacesche Transformation mit Differentialgleichungen zusammenhängen.
V. Volterra, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 191 (1910), p. 425 – 437; 201 (1911), p. 296–304; vgl. dazu E. Bompiani, ibid. 198 (1910), p. 101–104. — Etwas modifizierte Darstellungen gibt J. Pérès, Paris C. R. 166 (1918), p. 939 – 941; Ann. Éc. Norm. (3) 36 (1919), p. 37–50; Bull. Soc. Math. Fr. 47 (1919), p. 16–37; Rom Acc. Linc. Rend. (5) 30t (1921), p. 318–322 ; 344–348. Er gibt ferner hier sowie in Paris C. R. 166 (1918), p. 723–726, 806–808 und Rom Acc. Linc. Rend. (5) 272 (1918), p. 27–29, 374–378, 400–402 Anwendungen auf Entwicklungen nach Funktionssystemen, die durch eine Volterra-Transformation aus den sukzessiven Potenzen entstehen (Besselsche Funktionen u. dgl.).
E. Vessiot, Paris C. R. 154 (1912), p. 682–684.
J. Pérès, Paris C. R. 156 (1913), p. 378–381 und 341), chap. II.
J. Pérès, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 222 (1913), p. 649–654; 231 (1914), p. 870–873; 341), Chap. IV.
Vgl. dazu die in 340) zitierte Literatur sowie G. G. Evans 342). Spezielle Kerne bei G. Giorgi, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 211 (1912), p. 748–754; G. Andreoli, ibid. 252 (1916), p. 252–257, 299–305.
V. Volterra 340) und Rom Acc. Linc. Rend. (5) 202 (1911), p. 79–88. — Über die Beziehung zur Funktionentheorie vgl. H, Lebesgue, Bull. Soc. Math. Fr. 40 (1912), p. 238–244.
V. Volterra 351) und Literatur B 6, Chap. XIII.
L. Sinigallia, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 201 (1911), p. 563–569 ; 202 (1911), p. 460–465; 212 (1912), p. 831–837 ; 221 (1913), p. 70–76. — Einige mehr formale Bemerkungen früher bei H. Bateman, Cambr. Phil. Trans. 20 (1908), p. 233–252.
V. Volterra, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 201 (1911), p. 521–527.
Die Beziehungen zwischen den Eigenfunktionen bzw. den Hauptfunktionen (s. Nr. 39 a) vertauschbarer Kerne behandelt J. Soula, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 212 (1912), p. 425–431; 22x (1913), p. 222–225.
— G. Lauricella, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 221 (1913), p. 331–346 hat für alle mit einem beliebigen K(s, t) vertauschbaren Kerne konvergente Darstellungsformeln angegeben, indem er die Kenntnis der Schmidtschen adjungierten Eigenfunktionen (Nr. 86 c) voraussetzt und die Theorie der Orthogonalfunktionen benutzt. Vgl. auch C. Severini, Atti Acc. Gioen. (5) 7 (1914), mem. 20, 22 S. — Vgl. auch S. Pincherle 297g ).
T. Lalesco 492 ); G. Lauricella, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 201 (1911). p. 885–896; Ann. di mat. (3) 21 (1913), p. 317 – 351
E. Daniele, Palermo Rend. 37 (1914), p. 262–266
J. Soula, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 231 (1914), p. 132–137
A. Vergerio, Torino Atti 51 (1916), p. 227–237 (bzw. math.-nat. Kl., p. 199–209); G. Andreoli, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 252 (1916), p. 360–366, 427–433; 261 (1917), p. 234–239; M. Precchia, Atti Acc. Gioen. (5) 10 (1917), mem. 25, 41 S.
Zusammenfassende Darstellungen findet man bei V. Volterra, Literatur A 9, Chap. IV; B 6, Chap. V—X, XIII, XIV.
Es handelt sich hier insbesondere um Probleme der Nachwirkung und Fernwirkung, bei denen der momentane Zustand an einer Stelle des Systems jeweils auch von allen vor diesem Moment durchlaufenen Zuständen an dieser und allen anderen Stellen des Systems abhängt, und die man jetzt vielfach nach E. Picard als hereditäre Mechanik bezeichnet (vgl. Encykl. IV 30, Nr. 6, p. 640 f., E. Hellinger). Ein Teil der weiterhin zu nennenden Arbeiten knüpft direkt an solche Probleme an.
P. Burgatti, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 122 (1903), p. 596–601; G.Fu-bini, Rend. Napoli (3) 10 (1904), p. 61–64; T. Lalesco 17), 1. P., Nr. 11; L.Sini-gallia, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 172 (1908), p. 106–112.
N. Praporgesco, Bucarest Soc. Bulet. 20 (1911), p. 6–9
V. Volterra, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 212 (1912), p. 1–12
G. Andreoli, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 222 (1913), p. 409 – 414; 232 (1914), p. 196 – 201; Battagl. Giorn. 53 (1915), p. 97–135; Torino Atti 50 (1915), p. 1036–1052; St. Mohorovicic 292)239). Vgl. auch W. Sternberg, Math. Ann. 81 (1920), p. 119–186.
G. Fubini, Boll. Acc. Gioen. 83 (1904), p. 3–7
G. Lauricella, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 171 (1908), p. 775–786
E. Bounitzky, Darboux Bull. (2) 32 (1908), p. 14–31; Ü. Crudéli, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 181 (1909), p. 493–496; S. Pincherle, ibid. 182 (1909), p. 85–86; G Bratii, Paris C. R. 148 (1909), p. 1370 – 1373; N. Praporgesco 360 ); Ch. Piatrier, Nouv. Ann. (4) 11 (1911), p, 508–513; Ch. Piatrier 53) note I. Übertragung der Eigenwerttheorie auf gewisse Gleichungs-typen bei A. Vergerio, Ann. di mat. (3) 31 (1922), p. 81–119.
L. Sinigallia 100); M. Gevrey, Paris C. R. 152 (1911), p. 428–431; J. de Math. (6) 9 (1914), p. 305–471, insbes. § 19, § 22; G. Andreoli, Venet. Ist. Atti 74 (1915), p. 1265–1274. Weitere Verallgemeinerungen im Sinne der general analysis (Nr. 24 c) bei T. H. Hildebrandt, Amer. Math. Soc. Trans. 19 (1918), p. 97–108. — Hierhin gehören ferner noch die in Nr. 24 d, 2 und Nr. 24a298) erörterten besonderen linearen Integrodifferentialgleichungen.
L. Lichtenstein, Festschr. f. H. A. Schwarz (Berlin 1914), p. 274–285. — Hierhin gehören auch die von B. v. Mises, Jahresb. Deutsch. Math.-Ver. 21 (1913), p. 241–248 und Festschr. f. H. Weber (Leipzig 1912), p. 252–282 behandelten Randwertaufgaben mit Integralnebenbedingung sowie die nach A. KneserBchen Methoden (s. Nr. 33 c, 34 c) von L. Koschmieder, J. f. Math. 143 (1913), p 285–293, JET. Laudien, ibid. 148 (1917), p. 79–87 und Diss. (Breslau 1914), 90 S., W. Jaro-scheh, Diss. (Breslau 1918), 103 S. behandelten Integrodifferentialgleichungen der Thermomechanik und die umfassenderen Problemstellungen bei B. Courant, Acta math. 49 (1926), p. 1–68 (vgl. Nr. 45 c).
J. Horn, Jahresb. Deutsch. Math.-Ver. 23 (1914), p. 303–313
L. Baeri, Palermo Rend. 44 (1920), p. 103–138.
L. Lichtenstein, Math. Ztschr. 1 (1918), p. 229–284; 3 (1919), p. 172–174; 7 (1920), p. 126–231; 10 (1921), p. 130–159; 12 (1922), p. 201–218; 13 (1922), p. 82–118; 17 (1923), p. 62–110. — Diese Integrodifferentialgleichungen treten in speziellerer Gestalt bereits in den Untersuchungen yon A. Liaponoff [Mém. Ac. imp. St. Pétersbourg (8) 17 (1905), Nr. 3, p. 1–31; Mém. pre’s. à l’Ac. imp. des sciences 1906, p. 1–225; 1914, p. 1–112] auf; vgl. den historischen Bericht bei L. Lichtenstein, Math. Ztschr. 1.
F. Volterra, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 191 (1910), p. 361 – 363 (mit einer Bemerkung über Ausdehnung auf nicht vertauschbare Kv.
V. Volterra, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 181 (1909), p. 167–174; Acta math. 35 (1912), p. 295–356. — Die gleichen Entwicklungen für den zweidimensionalen Fall bei L. Sinigallia, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 241 (1915), p. 326–330.
V Volterra, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 191 (1910), p. 239 – 243; G. G. Evans 842); G. C. Evans, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 212 (1912), p. 25–31; ibid. 221 (1913), p. 855–860; Amer. Math. Soc. Trans. 15 (1914), p. 477–496.
J. Pérès, Paris C. R. 156 (1913), p. 378–381
G. C. Evans, Amer. Math. Soc. Trans. 15 (1914), p. 216–226; N. Zeilon, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 24t (1915), p. 584–587, 801–806. — Integrodifferentialgleichungen höherer Ordnung werden auch in den in 346) aufgeführten Untersuchungen von V. Volterra angewendet.
G. Giorgi, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 212 (1912), p. 683 – 688; G. C. Evans 342)365d ); E. Daniele, Rom. Acc. Linc. Rend. (5) 261 (1917), p. 302 – 308; G. Doetsch, Math. Ann. 89 (1923), vgl. 345).
V. Volterra 351). Vgl. auch die Darstellung bei V. Volterra, Literatur B 6, Chap. XIII, wo zunächst die entsprechenden Sätze für endliche Matrizen entwickelt und die Integrodifferentialgleichungen durch Grenzübergang gewonnen werden.
V. Volterra, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 201 (1911), p. 95–99; 222 (1913), p. 43–49.
Die von G. C. Evans in den beiden letzten in 365c) genannten Arbeiten, in 369), Lect. IV sowie Rom Acc. Linc. Rend. (5) 281 (1919), p. 262–265 und Rendic. semin. matem. Roma 5 (1919), p. 29–48 behandelten „Integrodifferentialgleichungen von; Bôcherschem Typus“ stehen zu dem hier behandelten Gegenstand nur in loser Beziehung; sie bestehen im wesentlichen in der Umsetzung einer partiellen Differentialgleichung in eine Identität — im Falle zweier Unabhängiger — zwischen einem Integral über eine beliebige geschlossene Kurve und einem über das von dieser umschlossene Flächenstück, wie sie durch die Greenschen Sätze geliefert wird.
Vgl. außer den beiden in 295) genannten Encyklopädiereferaten die zusammenfassenden Darstellungen von G. C. Evans, Functional and their applications (Cambridge Colloqu. 1916, New York 1918, 136 S.; s. auch Amer. Math. Soc. Bull. 25 (1919), p. 461–463), P. Lévy 295) sowie G. Doetsch. Jahresb. Deutsch. Math.-Ver. 36 (1927), p. 1–30.
D. Hilbert, Palermo Rend. 27 (1909), p. 59–74. Vgl. dazu auch W. D. A. Westfall, Amer. Math. Soc. Bull. (2) 16 (1910), p. 230; Palermo Rend. 39 (1915), p. 74–80 (Polynome von unendlichvielen Variablen); H. Bohr, Gött. Nachr. 1913, p. 441–488 (Anwendung auf Dirichletsche Reihen unter Benutzung eines Resultates von O. Toeplitz 134)); B. Gâteaux, Bull. Soc. Math. Fr. 47 (1919), p. 70–96 (anderer Bereich der Veränderlichen); E. H. Moore, Math. Ann. 86 (1922), p. 30–39 (Einreihung in die general analysis).
J. LeBoux, Trav. Univ. Rennes 1 (1902), p. 237–250; 2 (1903), p. 23–29, 293–303; J. de Math. (5) 9 (1903), p. 403–455; Nouv. Ann. (4) 4 (1904), p. 448 – 458; Paris C. R. 150 (1910), p. 88–91, 202–204, 377–378.
M. Fréchet, Paris C. R. 139 (1904), p. 848–850; 140 (1905), p. 27–29, 567–568, 873–875; 148 (1909), p. 155–156; 150 (1910), p. 1231–1233; Ann. Éc. Norm. (3) 27 (1910), p. 193–216. Diese Untersuchungen wurden weiter ausgedehnt von B. Gâteaux, Paris C. R. 157 (1913), p. 325–327; Rom Acc. Linc. Rend. (5) 22, (1913), p. 646–648; 231 (1914), p. 310–315, 406–408, 481–486; Bull. Soc. Math. Fr. 47 (1919), p. 47–70; 50 (1922), p. 1–37; vgl. auch P. Lévy. Paris C. R. 168 (1919), p. 752–755; 169 (1919), p. 375–377.
V. Volterra hat selbst zusammenfassende Darstellungen seiner Entwicklungen (Erste Veröffentlichungen: Rom Acc. Linc. Rend. (4) 32 (1887), p. 97 – 105, 141–146, 153–158, 226–230, 274–281, 281–287; 41 (1888), p. 107–115, 196–202) in seinen Leçons sur les équations aux dérivées partielles, Stockholm (Upsala 1906 und Paris 1912, 82 S.), Leç. I, V, VI, VII sowie in Literatur A 9, Chap. I und Literatur B 6, Chap. I—IV gegeben. Über den Begriff des Differentials vgl. auch M. Fréchet, Amer. Math. Soc. Trans. 15 (1914), p. 135–161. — Beispiele für den Zusammenhang mit Integralgleichungen bei E. Daniele, Atti Acc. Gioen. (5) 8 (1915), mem. 13, 9 S. und E. Le Stourgeon, Amer. Math. Soc. Trans. 21 (1920), p. 357–383.
G. G. Evans, Proc. 5. Congr. of Math. Cambridge 1912, I, p. 387–396; A. A. Bennett, Nat. Ac. Proc. 2 (1916), p. 592–598; Amer. Math. Soc. Bull. 23 (1916), p. 209; P. Lévy, Paris C. R. 168 (1919), p. 149–152; Bull. Soc. Math. Fr. 48 (1920), p. 13–27; J. A. Barnett 319). — G. B. Birkhoff u. O. Kellogg, Amer. Math. Soc. Trans. 23 (1922), p. 96–115, haben durch Anwendung topologischer Gesichtspunkte (Existenz eines Fixpunktes bei stetiger Deformation) ein allgemeines Existenztheorem für nichtlineare Funktionalgleichungen der Form (math) gegeben.
V. Volterra, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 23t (1914), p. 393–399, 551–657 behandelt lineare Gleichungen dieser Art durch Zurückführung auf Integrodiffe-rentialgleichungen 1. Ordn. vom Typus Nr. 24 d, (2) (oder allgemeiner auf solche, in denen an Stelle der Integrale allgemeine Funktionaltransformationen der unbekannten Funktionen auftreten), genau wie man lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordn. auf Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen zurückführt; E. Freda, ibid. 241 (1915), p. 1035 – 1039; J. A. Barnett 319). — Weitere Klassen hierher gehöriger funktionaler Differentialgleichungen, die in gewissem Sinne totalen Differentialgleichungen analog sind, gehen auf das Vorbild der Relationen für die Variation Greenscher Funktionen zurück, die J. Hadamard aufgestellt und untersucht hatte (Paris C. R. 136 (1903), p. 351–354; Memoir. Sav. étrang. Paris 33 (1908), Nr. 4, 128 S.; Leçons sur le calcul des variations, I (Paris 1910), p. 303–312); sie hat P. Lévy eingehend behandelt: Paris C. R. 151 (1910), p. 373–375, 977–979; 152 (1911), p. 178–180; 154 (1912), p. 56–58, 1405–1407; 156 (1913), p. 1515–1517, 1658–1660; J. Éc. Polyt. (2) 17 (1913), p. 1–120 (= thèse, Paris); Palermo Rend. 33 (1912), p. 281–312; 34 (1912), p. 187–219; 37 (1914), p. 113–168. Vgl. auch J. Hadamard, Paris C. R. 170 (1920), p. 355–359; G. Julia, ibid. 172 (1921), p. 568–570, 738–741, 831–833.
Man vgl. hierüber etwa L. Tonelli, Fondamenti di calcolo delle varia-zioni, T. I (Bologna 1921), T. II (1923), insbes. Cap. V—XII von T. I und Cap.I, V von T. II sowie R. Courant, Jahresb. Deutsch. Math.-Ver. 34 (1925), p. 90–117.
Die numerische Behandlung der Eigenwertprobleme ist hier alsbald mit einbezogen.
Die Annäherung einer Kurve durch Treppenfiguren ist ein numerisch recht ungünstiges Verfahren. Wenn also L. Ballif, Ens. math. 18 (1916), p. 111–116 einen aus n kommunizierenden Eöhren bestehenden mechanischen Apparat zur Auflösung von n linearen Gleichungen beschreibt, um damit durch den eben genannten Grenzübergang lineare Integralgleichungen aufzulösen, so wirkt die Ungünstigkeit dieser Approximation dem Vorteil seiner Apparatur entgegen.
Vgl. die Artikel von C. Bunge, Encykl. I B 3a, Nr. 15, p. 448 und von J. Bauschinger, I D 2, Nr. 11, p. 791. Die dort allein in Betracht gezogene sukzessive Approximation ist auf Integralgleichungen ebensogut direkt anwendbar (Entwicklung nach Iterierten, vgl. Nr. 3, 10a, 2 und 11a).
Eine Modifikation bei H. Bateman, London Roy. Soc. Proc. A 100 (1922), p. 441–449. — F. Tricomi, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 331 (1924), p. 483–486; 332 (1924), p. 26–30 schätzt die durch den Kern endlichen Ranges geleistete Annäherung mit den Mitteln des Hadamardschen Determinantensatzes ab.
Volterrasche Kerne von dem besonderen Typus K(s, t) = k(t — s) behandelt E. T. Whittaker 292) numerisch nach verschiedenen, auf den speziellen Fall zugeschnittenen Methoden.
Ph. L. Seidel, Münch. Akad. Abh. 11 (1874), 3. Abt., p. 81 – 108. — Aus einem Brief von Gauß an Gerling vom 26. 12. 1823 (C. F. Gauß, Werke IX, p. 279f.; vgl. auch Ch. L. Gerling, Die Ausgleichungsrechnungen der praktischen Geometrie, Hamburg und Gotha 1843, p. 386–393), ergibt sich, daß Gauß bereits damals im Besitze der Seideischen Methode gewesen ist.
C. G. J. Jacobi, Astron. Nachr. 22 (1844), Nr. 523 = Werke, Bd. 3, p. 467–478; J. f. Math. 30 (1846), p. 51–94 = Werke, Bd. 7, p. 97–144.
Auch die Rechnungen von G. W. Hill 12) gehören eigentlich hierher, da es sich bei ihnen in Wahrheit nicht um ein Auflösungsproblem, sondern um ein Eigenwertproblem gehandelt hat, das dann in den daran anschließenden Arbeiten von H. v. Koch ganz in den Hintergrund getreten ist.
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Hellinger, E., Toeplitz, O. (1928). Auflösungstheorie. In: Integralgleichungen und Gleichungen mit Unendlichvielen Unbekannten. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-15917-9_2
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