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Studium einiger spezieller Funktionen

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Zusammenfassung

Ganze lineare Funktionen werden durch einen Ausdruck der Form w = az +b dargestellt. Dabei bedeuten a und b von z unabhängige Zahlen. Als spezielle Fälle sind darunter die folgenden drei Typen enthalten: w = Rz mit positiv reellem R, ferner w = αz mit |α| = 1, endlich w = z + b. Die erste führt jeden Punkt in einen anderen vom gleichen Argument in der R-fachen Entfernung vom Nullpunkt über. Deuten wir also w und z in derselben Ebene oder, anders ausgedrückt, legen wir die w-Ebene so auf die z-Ebene, daß Punkte mit gleichen w und z aufeinander zu liegen kommen, so führt diese Abbildung jede Figur in eine ähnliche zu ihr ähnlich gelegene über. Die Winkeltreue dieser Abbildung, die man auch Streckung nennt, springt in die Augen.

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Notes

Literatur

  1. 1).
    Auch geometrisch ist der Beweis leicht zu erbringen. Siehe z. B. M. Großmann: Darstellende Geometrie, Leipzig 1915, S. 47/48.Google Scholar
  2. 1).
    In der Tat kann man ja jede komplexe Zahl vom Betrag Eins als Quotient zweier konjugiert komplexer Zahlen darstellen. Ist nämlichGoogle Scholar
  3. 1).
    Bei der ersten Lektüre kann auch § 8 überschlagen werden. In diesem § 8 ist nur von schlichten, d. h. einblättrigen Bereichen die Rede.Google Scholar
  4. 2).
    Wir nehmen fortan stets an, daß sie durch den Punkt z = oo erweitert ist.Google Scholar
  5. 3).
    D. h. Teilmengen ohne gemeinsamen Punkt.Google Scholar
  6. 4).
    Denn seien Q,und Q2 zwei Punkte der Strecke, deren einer zu M l,deren anderer zu M,gehört. Dann betrachte ich die zu M l gehörigen Punkte der Strecke Q, Q,. Unter diesen gibt es einen, P,dessen Entfernung von Q,ein Minimum ist. Somit können nicht alle ihm in J benachbarten Punkte zu M,gehören.Google Scholar
  7. 1).
    tinter dem Abstand zweier Mengen M 1 und M 2 versteht man die untere Grenze (bei abgeschlossenen Mengen das Minimum) der Abstände PQ für irgendein Punktepaar (P aus M 1, Q aus]M 2 ). Vgl. auch S. 21, wo wir schon einmal in einen speziellen Fall den Begriff des Abstandes verwendet haben.Google Scholar
  8. 1).
    Darunter verstehe ich zwei je in sich zusammenhängende Mengen von Randpunkten, die aber nicht ein und derselben zusammenhängenden Menge von Randpunkten angehören.Google Scholar
  9. 1).
    Denn sonst gehörte das Polygoninnere oder das PolygonituBere ganz zu Bx,also auch ganz zu B im Gegensatz zu der Definition des Polygones.Google Scholar
  10. 2).
    Der Einheitlichkeit wegen mögen die dabei vorkommenden Abstände im stereographischen Kugelbild des Bereiches gemessen werden.Google Scholar
  11. Vgl. Fig. 37. Daher ist die Abbildung durchweg gebietstreu. Eine Ausnahme machen nicht einmal die bei den Nullstellen von cos z gelegenen Pole. Pole sind das deshalb, weil dort stetig und analytisch ist. (Vgl. S. 49.)Google Scholar

Copyright information

© Springer Fachmedien Wiesbaden 1921

Authors and Affiliations

  1. 1.Friedrich-Wilhelms-UniversitätBerlinDeutschland

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