Zusammenfassung
Die dem 19. Jahrhundert vorausgegangene Entwicklung der Logik hat anscheinend den traditionellen Begriff vom Aufbau der beweisenden Wissenschaft nicht verändert; sie hat ihn nur klarer gemacht wie man am besten bei Pascal sieht. Immerhin macht die der aristotelischen Logik zugrunde liegende Metaphysik einer neuen Art des Denkens Platz. Das von Leibniz aufgestellte Wissenschaftsideal erneuert schon im wesentlichen Plato. Andererseits kommen durch die psychologische Erkenntniskritik die ontologischen Voraussetzungen des antiken Rationalismus weniger zum Vorschein, und so wird sich die Logik ihres formalen Charakters bewußt und reduziert sich auf eine Lehre von den Denkprozessen : in Beziehung hiermit steht die Bedeutung der Wort definitionen, die nunmehr die erleuchtetsten Denker als einzige Art der eigentlichen Definition anerkennen.
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Referenzen
Vgl. Chasles, Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes en géométrie. , Brüssel 1837.
Vgl. R. Bonola, Die Nichteuklidische Geometrie. Historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung. Leipzig, B. G. Teubner. Man vergleiche auch den Artikel desselben Verfassers in den „Fragen der Elementarmathematik“, gesammelt von F.Enriques, 2. Aufl., Bd. I.
In der Tat unabhängig von Leibniz, Segner und Lambert etc.’ denen wir in § 19 begegneten.
„Report on the Recent Progress and Present State of certain Branches of Analysis“ („Report on the third meeting of the British Association for the Advancement of Science held at Cambridge 1833“. London 1834, s. 185–352.
Eine boshafte Reform nennt sie Venn; er erkennt nicht seine Priorität an, die er Ploucquet zuerkennt, und wirft dem Autor die ungenaue Interpretation der Schemata vor, von denen er Gebrauch macht (vgl. a.a.O., S.9). Man vergleiche auch die Polemik mit De Morgan, die von 1846–1873 im „Athenaeum“ und der „Contemporary Review“ erscheint.
Diese Art, die Ordnungsbeziehungen der Begriffe darzustellen, die in den bekannten „Lettres à une princesse d’Allemagne“ auseinandergesetzt ist, findet sich schon bei Joachim Jungius, dem Lehrer von Leibniz wie Itelson und Vailati („Scritti“, S. 621) angeben. Aber sie geht im wesentlichen auf Lodovico Vives („De Censura Verl“, Opera, S. 607) zurück, wie Venn a. a. O., S. 507 angibt.
Vgl. G. Vacca („Rivista di Matern atica“, 1899).
Annales“, Bd. XVII, S. 216–219.
„Annales“, Bd. XVIII, S. 152.
„Baycentrischer Kalkül“, S. 436.
„Analytisch-geometrische Entwicklungen“, II. Teil. Vgl. „Abhandlungen“, Bd. I, S. 619.
a. a. O., S. 187.
„On the Real Nature of Symbolic Algebra“ („Trans. of the Royal Society of Edinburgh“, Bd. XIV).
G. Boole, The Mathematical Analysis of Logic , Cambridge 1847. Introduction S. 3. [Zu der folgenden deutschen Übertragung mußte ich mich an die italienische Übersetzung von Enriques halten. B.].
A. de Morgan (1847), Boole (1854), Peirce (1867). Vgl. P.Me-dolaghi, La logica matematica e il calcolo delle probabilita, („Bolletino dell’Ass. Attuari“. Nov. 1907).
Vgl. die Betrachtung der symbolischen Logik im § 28.
Carls „Repertorium“, Bd. 4, 1868. Vgl. ,.Erhaltung der Arbeit“, 1872; „Die Mechanik in ihrer Entwicklung“, 1. Aufl. 1883. Kap. II, V, (4. Aufl., 1901, S. 183).
„Theory of Heat“, 9. Aufl., London 1888. (1. Aufl. 1871). Vgl. Mach, Die Prinzipien der Wärmelehre, Leipzig 1896, S. 39.
Vgl. seine Kritik der Grundlagen der Geometrie in den „Wissenschaftlichen Abhandlungen“, Bd. II, 1866, 68, 78, S. 610–660, „Zählen und Messen, erkenntnistheoretisch betrachtet“, ebenda, Bd. III, 1887, s. 356.
a. a. O., Bd. II, S. 648. 5) a. a. O., Bd. III, S. 375ff
„Die lineale Ausdehnungslehre“, 1844. 2. Aufl. 1878. Vgl. R. Grass-mann, Die Formenlehre oder Mathematik, 1872.
„On the Symbols of Logic“ („Transactions of the Cambridge Philosophical Society“, 1856, S. 104, vgl. X, S. 345).
Vgl. z. B. Vailati, „Scritti“, S. 219. Burali-Forti, „Logica matematica“, 1. Aufl. 1894, S. 140.
Die Vertreter der symbolischen Logik ziehen oft vor, der Gleichheit die absolute Bedeutung der Identität zu erhalten, und schreiben infolge-dessen ψ (a) — ψ (b) = ψ (c) an Stelle von a = b = c Aber die Funktion ψ muß dann wieder als primitiver logischer Begriff angesehen werden, der durch Verstandesoperationen definiert ist — statt der Vereinigung von a, b, c in ein- und derselben Klasse — ein Begriff, durch den man von der Klasse zu einem beliebigen ihrer Elemente übergeht. Auf anderem Wege kann diese Funktion nicht definiert werden. Durch diesen Umstand sind die Schwierigkeiten bedingt, welche einige Vertreter der symbolischen Logik in der Definition durch Abstraktion gefunden haben. Vgl. Peano, Formulaire de mathématiques, 1901, S. 8; Russell, The Principles of Mathematics, 1903, S. 219; Burali-Forti (Rend. Ace. Lincei 1912) und Logica-Matematica, 2. Aufl. 1912. Enriques-Burali-Forti, Polemica logico matematica in „Periodico die matematiche“, Nr. 4, 5, 1921.
1781–1848. Österreichischer Priester und Philosoph; lehrte an der Universität Prag, daß die katholische Theologie voll mit der Vernunft harmoniert, bis seine Lehre von der Kirche 1820 verdammt wurde.
„Wissenschaftslehre oder Versuch einer neuen Darstellung der Logik“ in 4 Bänden, Sulzbach 1837 (2. Aufl., Leiprig 1914). Wegen des Einflusses, der den Logizismus Balzanos auf neuere Denker hat, vgl. Th. Ziehen, Lehrbuch der Logik, Bonn 1920, S. 173ff.
Leipzig 1851.
Ed. Dutens, II, S. 243.
Vgl. z. B. „Crelles Journal“ Bd. 84, „Acta mathematica“ Bd. 2 und „Mathematische Annalen“ Bd. 46, 49, 1895/97.
„Die allgemeine Funktionenlehre“, Tübingen 1882.
B. G. Teubner, Leipzig 1907.
Vgl. B. Russell, On some Difficulties , („Proc. of the London Math. Soc.“ 1906); Les paradoxes de la logique („Revue de met.“ 1906, vgl. ebenda 1910, 1911). H. Poincaré, Science et méthode Kap. IV, V. L. Brunschvicg, Les étapes de la philosophie mathématique, Paris 1912. Kap. XVII. F. Enriques, Sur quelques difficultés soulevées par l’infini mathé-
Weitere Hinweise über diesen Gegenstand finden sich im Art. III, A. 1 von F. Enriques, Prinzipien der Geometrie in der „Enzyklopädie der math. Wissensch.“ 1907 (franz. Übers. 1911).
„Des méthodes dans les sciences de raisonnement“, 2. Auf. 1875.
„Essai critique sur les principes fondamentaux de la géometrie“ 1867.
In der Tat führte die Theorie der Ordinalzahlen hier drei undefi-nierte primitive Begriffe neben denjenigen ein, die logische Beziehungen bedeuten und gibt in dieser Hinsicht zu mehr als einem Bedenken Anlaß.
„I principi di Geometria logicamente esposti“ Torino, 1889, Bocca.
Deutsch, Leipzig, B. G. Teubner.
„Rend. ist. Lomb.“ 1894.
„Rivista di matematiche“ 1895.
„Atti dell Acc. di Torino“ 30, 1895, S. 607.
5. Aufl. Leipzig, B. G. Teubner.
Um eine Vorstellung von der möglichen Willkür einer solchen Einteilung zu geben, bemerken wir: man wird zwei Teile der Ebene in bezug auf eine Gerade haben, wenn man die Punkte voneinander unterscheidet, je nachdem sie von der Geraden mehr oder weniger als einer gegebenen Länge entfernt sind oder wenn man weniger anschaulich die Punkte danach einteilt, ob ihre Entfernung von der Geraden mit einer gegebenen Einheit kommensurabel ist oder nicht usw.
Eine elementare Darstellung dieser Dinge findet man in den „Con-ferenze di geometria non Euclidea“ von F. Enriques, die O. Fernandez ausgearbeitet hat (Bologna 1917). Vgl. auch den Art. 4 von A. Guarducci in den schon zitierten „Fragen“.
In Kürze einige bibliographische Angaben: A. de Morgan, Formal Logic or the Calculus of Inference Necessary and Probable, 1847. Artikel „Logik“ in der „Enciclopedia Brittanica“ 1860. „Cambr. Phil. Trans.“ Bd. VII, VIII, IX, X, vgl. insbesondere im letztgenannten Band „On the Syllogism and on the Logic of Relations“ 1860. G. Boole, The Mathematical Analysis of Logic, 1847. An Investigation of the laws of Thought, 1854. W. S. Jevons, Pure Logic, 1864. On the mechanical Performance of logical Inference („ Phil Trans.“ 1870). The Pricinples of Science, a Treatise. 2. Aufl. 1877. S. Peirce, Three Papers of Logic („Proc of the Am. Ac. of Sc.“ 1860/70). Vgl. insbesondere das dritte „Notations for the Logic of Relatives “ H., Mac Coll, The Calculus of equivalent Statements, 1878. J. Venn, Symbolic Logic, 1881. — 2. Aufl. 1894 mit vielen historisch bibliographischen Angaben. E. Schröder, Operationskreis des Logikkalküls, 1877. Vorlesungen über die Algebra der Logik 1890, 1891, 1895.
Vgl. Venn, a. a. O. Kap. XX.
Ed. Erdmann, Specimen demonstrandi, S. 94.
„Laws of Thought“ 1854.
Vgl- Jourdain, Quarterly Journal Bd. 43, S. 238.
„Was sind und was sollen die Zahlen“ 1888.
„American Journal“ 1878.
Die wichtigsten Darstellungen, auf die wir uns bezogen haben, finden sich in der „Revista di Maternatica“, Bd. I, Torino 1891 (nach dem Bd. VI wird der Titel „Revue de Mathématiques“ und von Bd. VIII an „Revista de Mathematica“ und in den Einführungen zum „Formulaire de Mathématiques“, in 5. Aufl. 1894, 1897, 1899, 1902, 1905, die letzte Ausgabe mit dem Titel „Formulario mathematico“). An Arbeiten aus der Schule Peanos erwähne ich die folgenden : G. Vailati, Scritti, Firenze 1911. Die Artikel über die mathematische Logik und ihre Geschichte tragen die Nummern 1, 2, 4, 5 (1891–94) 27, 39 (1898–99), 88 (1901), 102 (1903), 136, 137 (1905), 197 (1908). C Burali-Forti, Logica matematica, Hoepli, Mailand 1894. 2. um-gearb. Auflage 1919. A. Padoa, Essai d’une théorie algébrique des nombres entiers précédée d’une indroduction logique à une théorie deductive quelconque („Atti del Congr. int. di Filosofia, Paris 1900“). La logique déductive dans sa dernière phase de développement („Revue de metaphysique“ 1912).
Dieselbe Reihenfolge benutzt Padoa in seiner Darstellung von 1912; sie drängt sich jedem auf, der die Logik wirklich nach einer extensiven Auffassung betrachten will.
Mit großer Schärfe sieht Jourdain (a. a. O. „Quarterly“ Bd. 43, S. 299), daß jener praktische Erfolg (der Systeme von Peano und von Frege) wesentlich der Einführung von Aussagen in die Logik entspricht, welche Variable enthalten.
Z. B. das Sophisma der Apostel, das Peano in „Aritmetica generale“ (S. 3) erwähnt: Peter und Paul sind Apostel. Die Apostel sind zu zwölft. Also sind Peter und Paul zu zwölft. Peano erklärt dieses Sophisma, indem er bemerkt, daß die Kopula „sind“ in den beiden Prämissen den senso divisi hat, und daß sie daher von der Kopula unterschieden werden muß, die z. B. im Syllogismus Barbara auftritt und dort das Symbol des Eingeschlossenseins bedeutet. Aber es leuchtet jedem auch ein, daß in Wahrheit der Fehler an der Doppelsinnigkeit des terminus medius liegt, der einmal als abstrakter Begriff, das andere Mal als Klasse genommen wird. Erinnern wir uns, daß der Begriff der Sophismen im sensus divisi (πάϱα τήv διαίϱεσιv) und compositi (πάϱα σύυϑεσιυ) auf Aristoteles zurückgeht („Elenchi Sophistici“ Kap. IV., Kap. XX), obwohl die einzelnen Stufen nicht ganz deutlich sind.
B. Russell, Sur la théorie des relations („Revue de Math.“ de Peano 1902), The Principles of Mathematics, Band I, Cambridge 1903. Band II zusammen mit Whiteheade. Man vgl. zahlreiche referierende Aufsätze in „Mind“, „Proc. of the Lond, Math. Soc“, „Amerc. Journal of Math.“, „Revue de metaphysique“. Vgl. L. Couturat, Les principes des mathématiques, Paris 1905.
„Les principes des mathématiques“, Paris 1905, S. 27. Deutsche Übers, von C. Siegel, 1908.
Juli 1904, S. 812.
„A Critical Exposition of the Philosophy of Leibniz —“ Cambridge 1900. Vgl. „The Problems of Philosophy“ London, Williams and Norgate.
Unter den bemerkenswerten Folgerungen der antikritischen Position Russells erwähnen wir nur seine Rechtfertigung der absoluten Bewegung als Bewegung in bezug auf den Raum. „Principles“ Kap. LVIII.
„Probleme der Wissenschaft“ 1906, Kap. III. „Die Probleme der Logik“ in „Enzyklopädie der philosophischen Wissenschaften“ von Windelband und Ruge, Bd. I, 1912, S. 219.
„Anlage zur Architektonik oder Theorie des Einfachen und des Ersten in der philosophischen und mathematischen Erkenntnis“, Riga, 1779, S. 19.
„Rivista di matematiche“ Torino, Bd. 5, 1895, S. 123. Vgl. auch die Erwiderung von Frege am 29. 9. 1896 („ Revue de Mathématique“, Bd. 3, S. 53).
Eine einfache Darlegung dieser Unabhängigkeit findet man in den schon erwähnten Vorträgen über nichteuklidische Geometrie von F. Enriques, die O. Fernandez redigiert hat.
Vgl. Enriques, Probleme der Wissenschaft, Kap. IV.
„Probleme der Wissenschaft“, Kap. III.
„The Principles of Science“ „A Treatise on Logic and Scientific Methods“, Macmillan 1873. 2. Auf. 1877.
„Memorie dell’Accademia di Torino“, 1904.
Vgl. Padoa, Essai d’une théorie algébrique „ 1900 (a. a. O. Nr. 16).
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Enriques, F. (1927). Die Moderne Reform der Logik. In: Zur Geschichte der Logik. Wissenschaft und Hypothese. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-15731-1_3
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