Partialbruch- und Produktentwicklungen

Zusammenfassung

Null- und Polstellenmengen meromorpher Funktionen f sind diskrete Teilmengen im Definitionsgebiet von f (falls nicht f gerade die Nullfunktion ist). In diesem und dem nächsten Kapitel wollen wir Null- und Polstellen unter einem neuen Aspekt betrachten: Wir fragen, ob es zu jeder diskreten Teilmenge M einer offenen Menge U ⊂ ℂ eine auf U meromorphe Funktion gibt, die genau auf M Pole hat; analog wollen wir eine auf U holomorphe Funktion finden, die genau in M Nullstellen hat. Die Antwort auf beide Fragen wird positiv ausfallen und sogar noch genauere Aussagen ermöglichen. — Besonders wichtig ist der Fall U = ℂ. Wir werden in diesem Fall durch eine positive Antwort

• 1. neue Klassen von Funktionen einführen, die in Funktionentheorie, Zahlentheorie und Physik oft verwandt werden,

• 2. durch neue Reihen- und Produktdarstellungen eine tiefere Einsicht in das Verhalten der elementaren transzendenten Funktionen gewinnen. -