Komplexe Zahlen und Funktionen

Zusammenfassung

Das Studium algebraischer Gleichungen mit reellen Koeffizienten führt zur Erweiterung des reellen Zahlkörpers zum Körper der komplexen Zahlen (§ 1). Funktionen einer komplexen Veränderlichen werden in § 3 eingeführt, in § 4 erklären wir den zentralen Begriff der Funktionentheorie: komplexe Differenzierbarkeit (Holomorphie). Jede holomorphe Funktion ist reell differenzierbar; die holomorphen Funktionen sind gerade die Lösungen des Systems der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (§ 5). Der komplexe Differentialkalkül wird durch Einführung der Wirtinger-Ableitungen besonders übersichtlich, wir verwenden diese daher von Anfang an. — Aus der reellen Analysis bekannte Funktionen wie die Exponentialfunktion, trigonometrische und hyperbolische Funktionen lassen sich zu holomorphen Funktionen ins Komplexe fortsetzen und zeigen erst dann ihre enge Verwandschaft (§ 8). Wir bedienen uns dabei komplexer Potenzreihen (§ 7); der Nachweis der Holomorphie der Summe einer Potenzreihe wird aber erst in Kap. II erbracht.