Darstellungen

Zusammenfassung

Wir sehen uns nochmals Beispiel 4.1 (4.2.2.1.) zur Drehung um die Eulerschen: Winkel an: Wir hatten dort festgestellt, daß die Drehsymmetriegruppe D ₂ = [E, C ₂ , C ₂ ′, C ₂ ″] (E: Drehung um 0°) isomorph ist zur Matrizengruppe M ⁺ ₃ = [E, D, D′, D″] (E: Einheitsmatrix). Dem liegt die Überlegung zugrunde, daß die Drehungen E, C ₂, C ₂′ C ₂″ bez. der Basis {O; e _v } des E ³ durch die Transformationen x′ = E • x, x′ = x′ = D • x, x′ = D′ • x, x′ = D″ • x, also durch die Matrizen E, D, D′, D″ “dargestellt” werden, m. a. W., wir haben eine eineindeutige Abbildung ℛ: D ₂ → M ⁺ ₃ die durch ℛ(E) = E, ℛ(C ₂ ) = D, ℛ(C″ ₂ ) = D″, ℛ(C″ ₂ ) = D″ definiert und solcherart relationstreu ist:. ℛ (X • Y) = ℛ(X) • ℛ(Y) gilt für alle X, Y ∈ D ₂ Zum Beispiel ist nach Tafel 2.1 C ₂ • C ₂′ = C ₂″ (beachte: C ₂ = S ² ₄). Ferner gilt C • C′ = C″ Also ist ℛ(C ₂ • C′₂) = • ℛ(C ₂) • ℛ(C ₂′).