Einschrittverfahren für Anfangswertaufgaben

Zusammenfassung

Bei der Lösung von Anfangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen prüft man zunächst mit Hilfe geeigneter Nachschlagewerke (z. B. Kamke), ob die gegebene Differentialgleichung in hinreichend einfacher Form geschlossen lösbar ist. Im allgemeinen wird dies jedoch nicht der Fall sein, so daß man in der Praxis auf numerische Methoden zur Bestimmung von Näherungslösungen für Anfangswertaufgaben angewiesen ist. In diesem Paragraphen beschäftigen wir uns mit einer Klasse von Näherungsverfahren, die unter dem Namen Einschrittverfahren zusammengefaßt werden. Hierzu gehören die Methode der Taylor-Entwicklung, die Polygon-zugverfahren von Euler-Cauchy und das Runge-Kutta-Verfahren, welches für die Praxis besonders wichtig ist. Im nächsten Paragraphen werden dann die sogenannten Mehrschrittverfahren zur numerischen Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen behandelt. Sie unterscheiden sich von den Einschrittverfahren wesentlich dadurch, daß bei ihnen zur Berechnung eines Näherungswertes für die gesuchte Lösung nicht nur die Kenntnis der bereits berechneten Näherung im vorangehenden Punkt, sondern in mehreren äquidistanten vorangehenden Punkten benötigt wird.