Idealklassen quadratischer Zahlkörper

Zusammenfassung

In diesem Paragraphen beschäftigen wir uns näher mit den Idealen im Ring R der ganzen Zahlen eines quadratischen Zahlkörpers K. Wir haben schon an Beispielen gesehen, dass diese Ideale nicht notwendig Hauptideale sind. Man kann auf einfache Weise ein Produkt von Idealen definieren. Verallgemeinert man die Ideale noch zu den sog. gebrochenen Idealen, so erhält man damit eine abelsche Gruppe. Die Hauptideale bilden eine Untergruppe davon. Die Quotientengruppe der Gruppe aller Ideale modulo der Untergruppe der Hauptideale ist die Idealklassen-Gruppe von K und ihre Ordnung (die stets endlich ist) die Klassenzahl. Der Ring R ist also genau dann ein Hauptidealring, wenn die Klassenzahl von K gleich 1 ist. Im Allgemeinen ist die Idealklassen-Gruppe nicht-trivial. Mit ihrer Hilfe lassen sich auch Faktorisierungs-Algorithmen konstruieren.