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Grundlagen der Risikoanalyse mit Value at Risk

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Value at Risk für Kreditinstitute

Part of the book series: Bank- und Finanzwirtschaft ((BAFI))

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Zusammenfassung

Value at Risk ist ein Ansatz zur Messung des Markt- oder Preisrisikos von Positionen34 oder Portfolios.35 Unter dem Preisrisiko wird das Risiko einer Wertveränderung aufgrund von Preisänderungen, also Veränderungen der Zinssätze, Wechselkurse, Aktienkurse, Indexstände, Edelmetall- und Rohstoffpreise usw., verstanden. Risiko wird also als potentielle nachteilige Änderung des ökonomischen Wertes von Vermögenspositionen aufgefaßt.36

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Literatur

  1. Im folgenden werden unter dem Begriff „Position“ beliebige finanzielle Transaktionen, Vermögensgegenstände, Finanzinstrumente oder Gruppen von Finanzinstrumenten, von Einzelgeschäften über Portfolios, Bücher, Warehouses bis hin zum Gesamtunternehmen als Gesamt-portfolio subsumiert.

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  2. Vgl. hierzu und zum folgenden Hendricks, D. (Evaluation, 1995), S. 3.

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  3. Vgl. Parsley, M. (Raroc, 1995), S. 37. Zum Risikobegriff siehe ausführlich Kapitel 2.3.2.1.

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  4. Diese weite Definition des Value at Risk bringt den größtmöglichen Konsens der verschiedenen Begriffsauffassungen in Literatur und Praxis zum Ausdruck. Vgl. stellvertretend für viele Global Derivatives Study Group (Derivatives, 1993), Appendix I, S. 8 ff.; Unp [a-Sternberg, A. v. (Entmystifizierung, 1994), S. 4; BIS (Public Disclosure, 1994), S. 9 und S. 14; BIZ (Offenlegung, 1994), S. 17 u. S. 23 f.; BIZ (Risikomanagement, 1994), S. 198 (V Nr. 9 Satz 1).

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  5. Bspw. bei einem Konfidenzniveau von 99% sollte der Value at Risk nur an einem von Hundert Handelstagen (also zwei bis drei Mal im Jahr) überschritten werden, bei 95% nur an fünf von 100 Handelstagen (einmal alle zwei bis drei Wochen).

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  6. Die Wahrscheinlichkeit ist abhängig von der gewählten Verteilung. Hier wird eine Normalverteilung unterstellt und und das einseitige Konfidenzniveau von 97,5%, das gerundet 1,96 Standardabweichungen entspricht, verwendet

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  7. Vgl. Global Derivatives Study Group (Derivatives, 1993), Appendix I, S. 8.

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  8. Vgl. Sheldon, G. (Capital Adequacy Rule, 1995), S. 776.

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  9. „Der Schluß, daß das Risikomanagement nicht ausreicht, könnte nur dann gezogen werden, wenn die Häufigkeit, mit der Verluste den »Value-at-risk-Wert« überschreiten, signifikant höher wäre als das Konfidenzniveau des »Value-at-risk-Wertes« (unter der Annahme, daß die Verteilung gleichbleibt.“ [Im Originaltext als Fußnote Nr. 3 auf S. 17, A. d. V.]

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  10. BIZ (Offenlegung, 1994), S. 17. Im Original BIS (Public Disclosure, 1994), S. 9 f.

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  11. Das Grundprinzip des Value at Risk ist keineswegs neu oder innovativ. Einen entsprechenden Vorschlag für eine Kennziffer Zinsrisikopotential unterbreitet bspw. Oberman 1990, 1991 und 1992 (wobei sich Oberman auf Arbeiten von Fong und Vasicek bezieht). Siehe hierzu Oberman, R. (Zinsrisikopotential, 1990), S. 1 f. und S. 34 ff.; ders. (Risk-Management, 1991), S. 53 sowie ders. (Zinsrisikopotential, 1992), S. 564. Oberman definiert die Kennziffer Zinsrisikopotential als „der in Währungseinheiten ausgedrückte Wertverlust eines Portefeuilles, der während eines gewählten Betrachtungszeitraums mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird.“ [Oberman, R. (Zinsrisikopotential, 1992), S. 564].

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  12. Viele der großen, international tätigen Banken und Investmenthäuser entwickelten Modelle zur Marktrisiko-Überwachung ihrer großen, komplexen Portfolios. Zu nennen sind bspw.

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  13. J.P. Morgan und Bankers Trust. Bankers Trust hat sein RAROCTM-System ursprünglich 1978 für den Wertpapier-und Devisenhandel entwickelt und implementiert. Das System basiert auf einem sehr konservativen Value-at-Risk-Ansatz: „The definition of risk capital produced by the RAROCTM framework is the amount of funds required 99 percent of the time to cover a potential after-tax loss over a one year holding period. Specifically, if the Corporation main-tamed an absolutely static portfolio for one year, there would be less than a 1 percent chance that the portfolio would decline in value by more than the RAROCTM risk capital amount after adjusting for taxes.“ Bankers Trust (Geschäftsbericht 1995, 1996), S. 46. 1987 gründete Bankers Trust Risikomanagement als Funktion; seit 1988 analysiert und überwacht diese Gruppe die täglich weltweit eingegangenen Risiken für interne Zwecke auch auf der Basis des Value at Risk mit einem Konfidenzniveau von 99%, bei einer eintägigen Halteperiode. Die Risikokennzahl wird als Daily Price Volatility bezeichnet und wird als primäres Marktrisiko-maß eingesetzt. Vgl. Fabozzi, F. J. (Interest Rate Risk, 1996), S. 2. Die Chase Manhattan Bank hat ihren ersten VaR report 1989 erstellt. Vgl. Stambaugh, F. (Value at Risk, 1996), S. 613.

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  14. Siehe hierzu auch Smithson, Ch./Minton, L. (Debate, 1996), S. 38.

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  15. Siehe BIS (Promisel Report, 1992), S. 22: „Intemal capital allocation against market risk is often, but not universally, determined on the basis of the need to cover exposures arising from a two standard deviation movement of prices from their current values.“

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  16. Recomendation 5: Measuring Market Risk: „... Market risk is best measured as »value at risk« using probability analysis upon a common confidence interval (e.g., two standard deviations) and time horizon (e.g., a one-day exposure).“ Global Derivatives Study Group (Derivatives, 1993), S. 10, bzw. ebd. (Appendix I, 1993), S. 8.

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  17. Von den 1993 in die Untersuchung einbezogeben Händlern gaben 30% an, sie verwendeten Risikomaße auf der Basis eines Betrags, der mit Hilfe von Konfidenniveaus ermittelt werde. Vgl. hier Smithson, Ch./Minton, L. (Debate, 1996), S. 38 und Global Derivatives Study Group (Derivatives, 1993). Es sei darauf hingewiesen, daß die Studie der G30 und ihre Empfehlungen nicht interessenneutral sind. Sie stellt keine eine offizielle Stellungnahme der G30 oder ihrer Mitglieder dar, sondern es werden Ansichten und Empfehlungen wichtiger Marktteilnehmer zum Derivategeschäft dargelegt. Mitglieder der Derivatives Study Group sind vor allem Vorsitzende und hochrangige Mitglieder der größten Derivatehändler, wie ein Blick auf die Zusammensetzung des Steering Committee und die Teilnehmer der Working Group zeigt. [Siehe hierzu Global Derivatives Study Group (Derivatives, 1993), S. ii-iv.] Daher überrascht es nicht, daß ein Tenor der Studie ist, daß bspw. Marktrisiken bei richtiger Handhabung kein ernsthaftes Problem darstellen. Wenngleich die Empfehlungen also mit Vorsicht zu betrachten sind, stellt die Studie doch einen wichtigen Beitrag zur Verbreitung des Value at Risk dar, da sie nicht nur den „state of the art“ wichtiger („führender”) Marktteilnehmer Ende 1993 dokumentierte, sondern vielen Marktteilnehmer als Anreiz diente, die propagierten Methoden ebenfalls zu implementieren.

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  18. Vgl. BIZ (Offenlegung, 1994), S. 17 und S. 23–31 (Anhang A). Inzwischen wird die Offenlegung des Marktrisikopotentials im Geschäftsbericht anhand von Value at Risk auch vom Bundesverband deutscher Banken empfohlen. Vgl. Bundesverband deutscher Banken (Marktrisikopublizität, 1996), S. 65 f.

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  19. Siehe hierzu und zum folgenden Group of Thirty (Derivatives, 1994), insbes. S. 28 i. V. m. S. iv. Insgesamt gaben 43% der 125 Befragten an, Ende 1994 VaR zur Messung des Marktrisikos 52 Vgl. Global Derivatives Study Group (Derivatives, 1993), S. 5 ff. insbes. S. 9 ff. und S. 8 ff. Tabelle in Anlehnung an Ungern-Sternberg, v. A. (Entmystifizierung, 1994), S. 4; ebenso Fischer, Th. (Risikomanagement, 1994), S. 639 und Scharpf, P./Luz, G. (Risikomanagement, 1996), S. 61.

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  20. Vgl. BIZ (Risikomanagement, 1994), S. 198 (V Nr. 9 Satz 1).

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  21. Vgl. Bundesverband deutscher Banken (Marktrisikopublizität, 1996), S. 65.

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  22. Das Handbuch zu RiskMetrics ist eine unverzichtbare Quelle für alle, die sich mit Value at Risk beschäftigen. Siehe J. P. Morgan/Reuters (Technical Document, 1996). Eine nicht minder bedeutende Entwicklung auf diesem Gebiet stellt das von Bankers Trust entwickelte RAROCTM dar. Dies ist der breiten Öffentlichkeit allerdings nicht annähernd so konkret vorgestellt worden. Siehe hierzu Glossman, D. B. et al. (Risk Management, 1993), S. 1 ff. und Bankers Trust (RAROC 2020, 1995), S. 1 ff. sowie Bankers Trust (RAROC, 1995), S. 1 ff.

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  23. J. P. Morgan (RiskMetricsTM, 1994), S. 1.

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  24. Vgl. hierzu BIZ (Eigenkapitalvereinbarung, 1996) bzw. BIS (Capital Accord, 1996). Siehe auch o. V. (Marktrisiko-Regeln, 1995), S. 33 und o. V. (Marktrisiken, 1995), S. 3.

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  25. Siehe BAK (Entwurf Grundsatz I, 1997), S. 1 ff., insbes. §§ 32–36, S. 45 ff. und BAK (Erläuterungen Grundsatz I, 1997), insbes. S. 128 ff. Derzeit liegt der neue Grundsatz I nur als Entwurf nebst Erläuterungen vor (Stand November 1997).

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  26. Die deutsche Bankenaufsicht bzw. der deutsche Gesetzgeber wird bei der Umsetzung der Kapitaladäquanzrichtlinie diese Möglichkeit bereits berücksichtigen. Siehe BAK (Entwurf Grundsatz I, 1997), BAK (Erläuterungen Grundsatz I, 1997). Nach Aussage von Vertretern des Bundesaufsichtsamtes für das Kreditwesen kam die Anwendung interner Modelle zur Eigenkapitalbedarfsermittlung Ende 1995 allerdings erst für etwa 20 große deutsche Institute in Frage (Stand 12/1995).Vgl. o. V. (Baseler Modellvariante, 1995), S. 33. Die Auswertung der 171 Antworten einer im Herbst 1996 durchgeführten Umfrage des BAK zum Stand und der Entwicklung von Bewertungs-und Risikosteuerungmodellen deutscher Kreditinstitute ergab, daß

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  27. Institute die Verwendung interner Modelle zur Berechnung der Eigenkapitalanforderungen für das Jahr 1998 mehr oder minder fest planen, ca. 20 weitere ziehen dies auf mittlere Sicht in Betracht. Vgl. BAK (Jahresbericht 1996, 1997), S. 11 f. Vgl. hierzu und zum folgenden o. V. (Marktrisiko-Regeln, 1995), S. 33.

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  28. Gelegentlich versucht die Bankenaufsicht sogar, die Entwicklung und den Einsatz interner Risikomodelle durch die Drohung der obligatorischen Anwendung interner Modelle zu beflügeln. Vgl. hierzu auch Artopoeus, W. (Handelsgeschäfte, 1996), S. 152 f.

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  29. Vgl. hierzu und zum folgenden BAK (Entwurf Grundsatz I, 1997), §§ 32–36, S. 45 ff. und BAK (Erläuterungen Grundsatz I, 1997), insbes. S. 128 ff. (Stand Mai 1997).

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  30. Vgl. hierzu und zum folgenden BAK (Entwurf Grundsatz I, 1997), §§ 32–36, S. 45 ff. und BAK (Erläuterungen Grundsatz I, 1997), S. 128 ff. (Stand Mai 1997).

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  31. Die Preisfunktion darf unter bestimmten - nicht näher spezifizierten - Umständen durch Taylorapproximationen hinlänglich genau angenähert werden.

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  32. Entsprechend beruht der Value at Risk auf dem Quantil der prognostizierten Verteilung der Wertänderungen. Er gibt die Schranke für potentielle Verluste zwischen zwei vorgegebenen Zeitpunkten an, die mit der vorgegebenen Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird.

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  33. Eine genauere Erläuterung der Ablehnung der Methoden der deskriptiven Statistik erscheint dringend geboten, da die zunächst skizzierten Value-at-Risk-Methoden ebenfalls zumindest teilweise auf Methoden der deskriptiven Statistik beruhen! Es wird nicht hinreichend klar, ob die Modellierung der Dynamik durch bedingte Verteilungen zu den Voraussetzungen geeigneter Modelle zählt, oder ob die regelmäßig aktualisierte Schätzung der Parameter einer stationären Verteilung der Wertänderungen ausreicht.

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  34. Vgl. hierzu auch Krumnow, J. (Implikationen, 1994), S. 746 f. Die pauschale Ablehnung von Benchmarkszenarien hat einige nachteilige Konsequenzen, die in Kapitel 5.4 dargelegt werden.

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  35. Hinsichtlich der Komplexität der Zeitreihenmodelle und ihrer Spezifizierung werden zwar einige Varianten genannt, aber keine Festlegungen getroffen. Auch hier wird nicht deutlich, ob der „einfache Random Walk“ als stationäres Modell bereits ausreicht.

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  36. Siehe hierzu Kupiec, P. H./O’Brien, J. M. (Trading Risk Models, 1995), S. 5 ff.; dies. (Market Risks, 1995), S. 19 ff.; Johanning, L. (Value-at-Risk-Modelle, 1996), S. 296 ff.; Bühler, W. et al. (Eigenkapitalanforderungen, 1997), S. 1 ff. und Scheuenstuhl, G./Staas, C. (Aggregate Approach, 1997), S. 1 ff.

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  37. Zum Begriff siehe Hartung, J. et al. (Statistik, 1995), S. 126; zu den Kenngrößen von Zufallsvariablen vgl. Hartung, J. et al. (Statistik, 1995), S. 112 ff.

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  38. Als statistisches Moment k-ter Ordnung einer stetigen Zufallsvariablen X versteht man den Erwartungswert E(Xk). Man erhält das k-te empirische Moment der Stichprobe xl,..., x„ einfach 1 n k durch Mk =n z.

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  39. Neben dem Erwartungswert sind der Median und Modus als Lageparameter bekannt, sie tragen allerdings am wenigsten zur Kennzeichnung einer Renditeverteilung bei und werden daher nicht weiter berücksichtigt.

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  40. Vgl. Franke, G./Hax, H. (Finanzwirtschaft, 1994), S. 260 f.

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  41. Vgl. Sachs, L. (Statistik, 1992), S. 110. Siehe hierzu auch Steiner, M.Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 53 und S. 471.

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  42. Die Schiefe ist ein Maß für die Asymmetrie einer Verteilung. Zur formalen Definition vgl. Hartung, J. et al. (Statistik, 1995), S. 47 f. Vgl. zum folgenden auch Bauer, Ch. (Risikomessung, 1995), Sp. 1661.

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  43. Der Wert der Kurtosis der Normalverteilung beträgt 3. Empirische Befunde für beobachtete Wertpapierrenditen zeigen höhere Werte, also Verteilungen, die stärker um den Mittelwert konzentriert sind und breitere Enden aufweisen. Vgl. Geyer, A. L. J. (Varianz, 1994), S. 204.

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  44. Siehe hierzu Hartung, J. et al. (Statistik, 1995), S. 49 und Sachs, L. (Statistik, 1992), S. 167 ff.

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  45. Die Normalverteilungshypothese für Renditen stellt eine Basisprämisse portfoliotheoretischer Modelle dar. Vgl. Steiner, M./Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 53. Ein alternativer Ansatz, der das Risiko auf der Grundlage der gesamten Wahrscheinlichkeitsverteilung erfaßt ist die stochastische Dominanz. Eine kurze Einführung geben Steiner, M./MeyerBullerdiek, F./Spanderen, D. (Erfolgsmessung, 1996), S. 49 ff.

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  46. Vgl. Sachs, L. (Statistik, 1992), S. 167.

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  47. Vgl. hierzu und zum folgenden Sachs, L. (Statistik, 1992), S. 167 ff.; Hartung, J. et al. (Statistik, 1995), S. 49 und Rönz, B./Strohe, G. (Hrsg.) (Lexikon Statistik, 1994), S. 115.

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  48. Die Kurtosis der Normalverteilung beträgt drei, nicht null. Beim Grad der Steilheit wird jedoch nicht nur das vierte Moment durch die quadrierte Varianz geteilt, sondern der Wert drei, welcher der Kurtosis der Normalverteilung entspricht, subtrahiert. Somit wird die Abweichung von der Normalverteilung betont. Daher wird der Grad der Steilheit (s. Gleichung 2.3–4) auch als Exzeß bezeichnet.

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  49. Vgl. Hartung, J. et al. (Statistik, 1995), S. 49; Loistl. O. (Kapitalmarkttheorie, 1994), S. 104 f.

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  50. Vgl. Sachs, L. (Statistik, 1992), S. 169. Siehe auch Francis, J. C./Archer, St. A. (Portfolio Analysis, 1979), S. 364, Fußnote 5. Die Standardisierung hat den Vorteil, daß sich eine Skalierung der Renditen r mit einer Konstante k oder mit der Zeit t nicht auf den Wert des Schiefekoeffizienten auswirkt - jedoch das Schiefemaß m3 = E[(x — p) 3)] selbst um den Faktor k3 verändert: skewness coeffizient (k r) = skewness coefficient (r); vgl. ebd. S. 367.

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  51. Dies wird allgemein für Wertänderungen von Vermögenspositionen (Renditen) unterstellt.

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  52. Vgl. hierzu und zum folgenden Hartung, J. et al. (Statistik, 1995), S. 114 f. und Sachs, L. (Statistik, 1992), S. 157. fx(x) kennzeichnet die Dichtefunktion, F(x) die Verteilungsfunktion.

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  53. Auf die diskrete Verteilung der Wertänderungen (Renditen), das Histogramm, wird bei der empirischen Ermittlung von Quantilen auf der Grundlage einer Stichprobe zurückgegriffen.

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  54. Vgl. Hartung, J. et al. (Statistik, 1995), S. 114 und Sachs, L. (Statistik, 1992), S. 338.

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  55. Vgl. Sheldon, G. (Capital Adequacy Rule, 1995), S. 776 sowie Schröder, M. (Value at Risk, 1996), S. 2. Grundlegend vgl. Bamberg, G.Baur, F. (Statistik, 1996), S. 109. Die Inverse der Wahrscheinlichkeitsverteilung F basiert hier auf standardisierten Werten der Zufallsvariablen und transformiert die gegebene Wahrscheinlichkeit P in die entsprechende Anzahl von Standardabweichungen z“unterhalb des gegenwärtigen Wertes der Position. Die Multiplikation des negativen Wertes der Anzahl der Standardabweichungen mit der Stannormalverteilt sind. Ferner wird meist unterstellt, daß der Erwartungswert des Value at Risk null ist.Vgl. hierzu Sheldon, G. (Capital Adequacy Rule, 1995), S. 779.

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  56. Vgl. hierzu Hartung, J. et al. (Statistik, 1995), S. 115 f.

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  57. Der gelegentlich in der Literatur zu findende Begriff Perzentil für den Value at Risk bezeichnet mit dem hundersten Teil der Verteilung eine spezielle Form eines Quantils. Da bspw. das in der Praxis gerne gewählte Konfidenzniveau von 97,5% durch kein ganzzahliges Perzentil (weder 97 noch 98) korrekt ausgedrückt werden kann, wird in dieser Arbeit der Oberbegriff Quantil, genauer a-Quantil bevorzugt.

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  58. Vgl. Jorion, P. (Value at Risk, 1997), S. xiii und S. 19 ff. und S. 87 ff.

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  59. Mit dem Value at Risk wird das Preisrisiko einer Position in einer einzigen Zahl zusammengefaßt, die den meisten Investoren und Managern intuitiv einleuchtend erscheinen wird: maximal erwarteter Wertverlust der Position.

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  60. Im allgemeinen kann aber nicht unmittelbar auf eine bekannte Wahrscheinlichkeitsverteilung der Portfoliorenditen zurückgegriffen werden, sondern die Renditeverteilungen der Einzelpositionen müssen zusammengeführt werden. Die theoretische Grundlage liefert beim analytischen Ansatz die klassische Portfoliotheorie von Markowitz (siehe Kapitel 2.3.3).

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  61. Dabei können auch komplexere nichtparametrische Verfahren der Dichteschätzung herangezogen werden. Auf diese wird hier nicht eingegangen. Siehe bspw. Longin, F. M. (Asymptotic Distribution, 1996), S. 383–408 und Longin, F. M. (VaR, 1997), S. 1 ff.

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  62. Vgl. bspw. GroB, H./Knippschild, M. (Risikocontrolling, 1995), S. 90 f. Die Bezeichnung als „z-alpha“ statt „x-alpha” resultiert aus dem Rückgriff auf die Standardnormalverteilung.

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  63. Student-Verteilung, t-Verteilung und Student-t-Verteilung werden synonym verwendet. Student ist das Pseudonym von W. S. Gosset (1876–1937). Vgl. Sachs, L. (Statistik, 1992), S. 208.

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  64. Wilson, Th. (Capital Allocation, 1993), S. 37 ff. und Dockner, E. J./Scheicher, M. (Market Risk 1995), S. 1 ff. schlagen die Verwendung der Student-t-Verteilung bei der Berechnung des Value at Risk vor. Dies wird in Kapitel 3.5.4 näher betrachtet.

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  65. Quantile der Verteilungsfunktion F für die Wahrscheinlichkeit a und n Freiheitsgrade F(t) = P (T 5 t) = 1-a. Vgl. Rönz, B./Strohe, G. (Hrsg.) (Lexikon Statistik, 1994), S. 375 f. und Hartung, J. et al. (Statistik, 1995), Tab. 3, S. 892.

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  66. Allgemein wird der Zusammenhang zwischen einem Vielfachen der Varianz und der Wahrscheinlichkeit mittels der Tschebyscheffschen Ungleichung ausgedrückt (s. Anhang 4). Vgl. Hartung, J.fEpelt, B. (Statistik, 1995), S. 35 f.

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  67. Von der Länge des Zeithorizontes wird hier abgesehen. Standardabweichung und Erwartungswert beziehen sich daher auf die gerade betrachtete Investitionsdauer. Da der Value at Risk als potentieller Verlustbetrag in Geldeinheiten (GE) definiert wurde, ist der ermittelte negative Wert von -z,, entweder mit (-1) zu multiplizieren oder als Betrag anzugeben. Letzteres entspricht dem Sprachgebrauch. Im mathematischen Kontext ist das Beibehalten des negativen Vorzeichens sinnvoll, da es einen Verlust und auch eine Short-Position kennzeichnet.

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  68. Auch der umgekehrte Weg, die Ermittlung der Wahrscheinlichkeit des Verlustes (also des Quantiles) einer beliebigen Normalverteilung ist entsprechend einfach möglich.

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  69. Siehe hierzu Sachs, L. (Statistik, 1992), S. 111. Vgl. auch J.P. Morgan/Reuters (Technical Document, 1996), S. 68 f.

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  70. Die Variablentransformation wird im übrigen zur Normierung eingesetzt, wenn verschiedene Zeitreihen auf ihre Normalverteilungseigenschaft untersucht und miteinander verglichen werden. Siehe hierzu bspw. Finger, Ch. C. (Testing RiskMetrics, 1996), S. 3 ff.

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  71. Vgl. Bitz, M. (Risikomanagement, 1993), S. 642.

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  72. Vgl. hierzu Buschgen, H. E. (Bankbetriebslehre, 1993), S. 735.

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  73. Einen Überblick über Varianten des Risikobegriffs gibt auch Koemer, U. (Organisatorische Ausgestaltung, 1989), S. 493–495.

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  74. Vgl. Buschgen, H. E. (Bankbetriebslehre, 1993), S. 735. Auch Bitz hält diese Risikoauffassung für finanzwirtschaftliche Sachverhalte für zweckmäßig. Vgl. Bitz, M. (Risikomanagement, 1993), S. 642.

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  75. Vgl. Müller, W. (Risiko, 1993), Sp. 3815, Bamberg, G./Coenenberg, A. G. (Entscheidungslehre, 1996), S. 1 ff. sowie Schneeweiß, H. (Entscheidungskriterien, 1967), S. 32 ff.

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  76. Vgl. hierzu und zum folgenden Bamberg, G./Coenenberg, A. G. (Entscheidungslehre, 1996), S. 23; Bamberg, G. (Risiko, 1995), Sp. 1647; Müller, W. (Risiko, 1993), Sp. 3813 ff. sowie Perridon, L./Steiner, M. (Finanzwirtschaft, 1995), S. 95.

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  77. Modifiziert nach Bamberg, G./Coenenberg, A. G. (Entscheidungslehre, 1996), S. 23, Fig. 2.6.

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  78. Vgl. hierzu Jacob, A.-F. et al. (Basiswissen, 1994), S. 107. Historische Preisdaten liegen i. d. R. auch bei Finanzinnovationen vor, da sie auf bekannte Bausteine zurückgeführt werden.

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  79. Vgl. hierzu Bamberg, G./Coenenberg, A. G. (Entscheidungslehre, 1996), S. 66 ff.

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  80. Vgl. Perridon, L./Steiner, M. (Finanzwirtschaft, 1995), S. 96.

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  81. Vgl. hierzu und zum folgenden Bamberg, G./Coenenberg, A. G. (Entscheidungslehre, 1996), S. 70.

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  82. Vgl. hierzu Schneeweiß, H. (Entscheidungskriterien, 1967), S. 46 ff. sowie Bamberg, G. (Risiko, 1995), Sp. 1650 ff. Die Verwendung repräsentativer Parameter statt der vollständigen Wahrscheinlichkeitsverteilung erleichtert zwar die Handhabung, führt aber zwangsläufig zu einem Informationsverlust. Vgl. Bangert, M. (Zinsrisiko-Management, 1987), S. 25.

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  83. Vgl. hierzu und zum folgenden Schneeweiß, H. (Entscheidungskriterien, 1967), S. 55 ff. Entsprechend formulierte bspw. Marschak 1938 das (µ, o, y)-Prinzip, bei dem nicht nur der Mittelwert und die Streuung, sondern auch die Schiefe ‘y der Wahrscheinlichkeitsverteilung zur Beurteilung herangezogen wird; Albach schlägt bereits 1959 die Einbeziehung der Kurtosis vor. Vgl. Marschak, J. (Money, 1938) und Albach, H. (Wirtschaftlichkeitsrechnung, 1959), S. 136, zit. nach Schneeweiß, H. (Entscheidungskriterien, 1967), S. 57.

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  84. Vgl. hierzu Schneeweiß, H. (Entscheidungskriterien, 1967), S. 55 ff. und Bamberg, G. (Risiko, 1995), Sp. 1651.

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  85. Vgl. hierzu Bamberg, G. (Risiko, 1995), Sp. 1651. Siehe konkret auch

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  86. Grundlegend zu den Lower Partial Moments siehe bspw. Harlow, W. V./Rao, R. K. S. (Asset Pricing, 1989), S. 285–311; Harlow, W. V. (Downside-Risk, 1991), S. 28–40; Sortino, F. A./van der Meer, R. (Downside risk, 1991), S. 27–31; Albrecht, P. (Shortfall Returns, 1993), S. 1–20; ders. (Konzeptualisierung, 1994), und Albrecht, P. et al. (Shortfall-Risiken, 1994), S. 7 ff.

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  87. Vgl. Jaeger, St. et al. (Efficient Shortfall Frontier, 1995), S. 355.

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  88. Zu beachten ist, daß generell die Ergebnisse oberhalb des Targets keine Rolle spielen und nicht in die Entscheidung einbezogen werden. Lower Partial Moments werden nur anhand des Teiles der Verteilung errechnet, der das Target verfehlt. Dies setzt bestimmte Annahmen über die Risikonutzenfunktion voraus. Darauf wird in Kapitel 4.3 eingegangen.

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  89. „Shortfall-risk (downside-risk) denotes the risk that a specified minimum return (target return, treshold return, minimum acceptable return) may not be earned by a financial investment.“ Albrecht, P. (Shortfall Returns, 1993), S. 1.

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  90. Von Shortfall-Risiken bzw. Shortfall-Wahrscheinlichkeiten wird insbesondere im Kontext der Portfolio-Zusammenstellung gesprochen. Die Minimierung von Shortfall-Risiken bei der Selektion von Portfolios geht auf Andrew D. Roy zurück, der als erster sog. Safety First-Portfolios konstruierte. Siehe Roy, A. D. (Safety First, 1952), S. 431 ff. Es existiert mittlerweile Literatur beachtlichen Umfangs, die im Kontext des Value at Risk nicht unmittelbar relevant ist, sofern nicht versucht werden soll, durch geeignete Portfolio-Zusammenstellung das Risiko eines Unterschreitens des Value at Risk zu minimieren. Grundlegende Darstellungen finden sich u. a. bei Leibowitz, M. L./Henriksson, R. D. (Portfolio Optimization, 1989), S. 34 ff.; Harlow, W. V. (Downside Risk, 1991), S. 28 ff.; Jaeger, St. et al. (Efficient Shortfall Frontier, 1995), S. 355 ff.; Elton, E. J./Gruber, M. J. (Portfolio Theory, 1995), S. 235 ff.; Reichling, P. (Portfolio-Selection, 1996), S. 31 ff.; Kaduff, V. J./Spremann, K. (Shortfall-Risk, 1996), S. 779 ff.; Spremann, K. (Diversifikation, 1997), S. 865 ff. m. w. N.

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  91. Lower Partial Moments können für jede Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet werden. Ihr Einsatz ist bei signifikanten Abweichungen von der Normalverteilung, bspw. bei Portfolios, die Optionen enthalten, besonders sinnvoll, um die bestehende Asymmetrie zu erfassen, sofern nur Verluste erfaßt werden sollen.

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  92. Vgl. hierzu Harlow, W. V./Rao, R. K. S. (Asset Pricing, 1989), S. 288; Albrecht, P. (Shortfall Returns, 1993), S. 8 f. und Albrecht, P. et al. (Shortfall-Risiken, 1994), S. 7.

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  93. Unter einem Moment werden allg. die durchschnittlichen potenzierten Abweichungen der Merkmalswerte von einem Bezugspunkt, hier dem Target, verstanden. Lower Partial Moments (LPM) werden wie die höheren Momente anhand ihrer Exponenten klassifiziert.

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  94. Zur empirischen Ermittlung der Lower Partial Moments LPM„ vgl. Albrecht, P. et al. (Shortfall-Risiken, 1994), S. 8 f. Siehe auch Harlow, W. V. (Downside-Risk, 1991), S. 30 m. w. N. und Matthes, R./Klein, M. (Risikokonzepte, 1996), S. 744 ff.

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  95. Die Semistandardabweichung kann analog zur Standardabweichung annualisiert werden, um die Semivolatilität zu erhalten. Vgl. Bruns, Ch./Meyer-Bullerdiek, F. (Portfoliomanagement, 1996), S. 20. Im folgenden wird nur die Semivarianz betrachtet, Semistandardabweichung und Semivolatilität teilen ihre Eigenschaften in bezug auf die Risikoerfassung.

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  96. Eine ausführliche formale Darstellung und Würdigung des Erwartungswert-SemivarianzModells und des Erwartungswert-Mißerfolgsvarianzmodelles mit weiteren Literaturnachweisen findet sich bei Serf, B. (Portfolio Selection, 1995), S. 114 ff. (Kapitel 3.2 und Kapitel 3.3). Zur entsprechenden Modifikation der Portfolio Selection siehe auch Francis, J. C./Archer, St. A. (Portfolio Analysis, 1979), S. 345–360.

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  97. Vgl. Serf, B. (Portfolio Selection, 1995), S. 114. Zur formalen Definition der Semivarianz vgl. auch Markowitz, H. M. (Portfolio Selection, 1991), S. 188 f.; Francis, J. C./Archer, St. A. (Portfolio Analysis, 1979), S. 346 und S. 350 sowie Bösl, K. (Risikobegrenzung, 1993), S. 60; und auch Franke, G./ Hax, H. (Finanzwirtschaft, 1994), S. 261. Sie ist somit ein LPM2.

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  98. Vgl. hierzu und zum folgenden Francis, J. C./Archer, St. A. (Portfolio Analysis, 1979), S. 346 und Markowitz, H. M. (Portfolio Selection, 1959), S. 193 f. sowie Bauer, Ch. (Risikomessung, 1995), Sp. 1661.

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  99. Die Verwendung der Semivarianz bei der Portfolio Selection wurde in der Literatur ausführlich diskutiert. Vgl. hierzu bspw. Markowitz, H. M. (Portfolio Selection, 1991), S. 193 f. und Francis, J. C./Archer, St. A. (Portfolio Analysis, 1979), S. 351 ff. Bemerkenswert ist der wesentlich größere Rechenaufwand bei der Portfoliooptimierung. Eine Analyse auf der Basis der Semivarianz erfordert die vollständige Verteilung der Renditen. Die Varianz hat demgegenüber Vorteile, da sie einfach und bequem zu berechnen ist, somit geringere Kosten verursacht, und den Entscheidungsträgem vertraut ist. Auch Serf weist darauf hin, daß sich durch die Einbeziehung der kompletten Wahrscheinlichkeitsverteilung in die Berechnung der Effizienzlinie die erforderliche Rechenzeit zwei bis vier Mal so hoch sein kann wie bei der Verwendung des µ a Modells, relativiert diesen Kritikpunkt jedoch ange sichts der steigenden Kapazität moderner Hochleistungsrechner. Vgl. Serf, B. (Portfolio Selection, 1995), S. 151.

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  100. Vgl. hierzu Franke, G./Hax, H. (Finanzwirtschaft, 1994), S. 261; Hansmann, K.-W. (Aktienanlage-Planung, 1980), S. 49 f.; Markowitz, H. M. (Portfolio Selection, 1991), S. 194. Siehe hierzu auch Serf, B. (Portfolio Selection, 1995), S. 114 ff. und S. 151.

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  101. Allerdings könnte bei Verwendung der Semivarianz als Risikomaß zuviel erwartete positive Rendite „geopfert“ werden, da unterschiedlich hohe Chancen gar nicht erst betrachtet werden.

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  102. Siehe hierzu auch Rudolph, B. (Regulierung, 1995), S. 24 f.

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  103. Vgl. Steiner, M./Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 470 f.

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  104. Zur Ablehnung der Semivarianz als Risikomaß vgl. Franke, G./Hax, H. (Finanzwirtschaft, 1994), S. 261 f. Siehe auch Schneeweiß, H. (Entscheidungskriterien, 1967), S. 56.

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  105. Vgl. Matthes, R./Klein, M. (Risikokonzepte, 1996), S. 744.

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  106. Anderer Ansicht Schneeweiß, H. (Entscheidungskriterien, 1967), S. 56. Schneeweiß präferiert letztlich die Ruinwahrscheinlichkeit als Risikomaß. Siehe ebd. S. 57 ff.

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  107. Eine vollständige Erfassung der Risiken und Chancen beliebiger Verteilungen setzt allerdings die Berücksichtung der gesamten Wahrscheinlichkeitsverteilung voraus. Als Kriterium für die Beurteilung des Risikos einer Alternative ist dann die Stochastische Dominanz (siehe Kapitel 2.3.2.2.7) heranzuziehen. Nur die Stochastische Dominanz berücksichtigt den exakten Verlauf der Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ist nicht an einzelne Momente zur Charakterisierung der Renditeverteilungen gebunden.

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  108. Vgl. hierzu, bezogen auf Banken, Rudolph, B. (Regulierung, 1995), S. 25.

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  109. Vgl. hierzu und zum folgenden Jorion, P. (Value at Risk, 1997), S. 64 ff. Jorion argumentiert, daß die symmetrische Behandlung des Risikos bei der Varianz eine logische Konsequenz der Möglichkeit von Long-und Short-Positionen ist.

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  110. Die bei der Risikoquantifizierung mit Hilfe der Volatilität übliche Änderung des Vorzeichens zur Kennzeichnung einer Long-oder Short-Position ist hier nicht sachgerecht, da Gewinn-und Verlustpotential nicht notwendigerweise spiegelbildlich sind.

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  111. Die Behandlung der Asymmetrie ist auch eine Frage der Berechnung des Downside-Risikos. Wird dieses, wie der Value at Risk im Grundmodell, auf der Grundlage der mit dem z-Wert multiplizierten Volatilität ermittelt, so wird genau genommen die Asymmetrie nicht einbezogen. Die direkte Ermittlung des a-Quantiles aus der Downside der Renditeverteilung kann und wird i. a. zu abweichenden Resultaten führen. Parametrische und numerische Verfahren kommen bei identischer nicht-normaler Verteilung zu unterschiedlichen Resultaten.

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  112. Vgl. hierzu ausführlich Francis, J. C./Archer, St. A. (Portfolio Analysis, 1979), S. 350 ff.

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  113. Vgl. hierzu Francis, J. C./Archer, St. A. (Portfolio Analysis, 1979), S. 350 f. Diese gehen ausführlich auf die Berechnung und die mathematischen Eigenschaften der Kosemivarianz ein. Siehe ebd. S. 350 f. und S. 355 ff. m. w. N.

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  114. Vgl. hierzu Schneeweiß, H. (Entscheidungskriterien, 1967), S. 57 ff.; Fishbum, P. C. (Mean-Risk Analysis, 1977), S. 116 ff. sowie Franke, G./Hax, H. (Finanzwirtschaft, 1994), S. 262 f.

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  115. Schneeweiß erläutert ausführlich das entsprechende Entscheidungskriterium für die Verlustwahrscheinlichkeit und die entsprechende Präferenzfunktion. Siehe Schneeweiß, H. (Entscheidungskriterien, 1967), S. 57 ff.

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  116. Die Ruinwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit Pi,, daß ein Verlust eintritt, der einen gewissen, schon als ruinös empfundenen Betrag i, übersteigt. Vgl. Schneeweiß, H. (Entscheidungskriterien, 1967), S. 57 f. Zur Insovenz-bzw. Ruinwahrscheinlichkeit als Risikomaß der Bankenaufsicht und der Verlustwahrscheinlichkeit als einfachstes Downside-Risikomaß siehe auch Rudolph, B. (Regulierung, 1995), S. 24.

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  117. Das Risiko, eine unterhalb der individuellen Mindest-/Zielrendite (Target t) liegende Rendite zu erzielen, wird auch als Ausfallwahrscheinlichkeit bezeichnet. Vgl. hierzu und zum folgenden Steiner, M./Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 57 f.; Zimmermann, H. (Zeithorizont, 1991), S. 164–181; Bruns, Ch. (Aktienanlagen, 1996), S. 38–42 und Matthes, R./ Klein, M. (Risikokonzepte, 1996), S. 744 ff.

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  118. Zur Konkretisierung der Mindestrenditeforderung werden im Wertpapiermanagement nicht nur negative Abweichungen vom Renditeerwartungswert, sondern auch negative Abweichungen von einer geforderten Mindestrendite oder die sog. „Underperformance“ gegenüber einer Benchmark herangezogen. Vgl. hierzu Bauer, Ch. (Risikomessung, 1995), Sp. 1661; Matthes, R./Klein, M. (Risikokonzepte, 1996), S. 744 ff. und Steiner, M./Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 466 und S. 471 f.

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  119. Vgl. auch Spremann, K. (Diversifikation, 1997), S. 878.

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  120. Vgl. hierzu und zum folgenden Zimmermann, H. (Zeithorizont, 1991), S. 171; Steiner, M./Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 57 und Bruns. Ch. (Aktienanlagen, 1996), S. 39.

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  121. Vgl. Zimmermann, H. (Zeithorizont, 1991), S. 171 und S. 173. Der Unterschied zwischen stetigen und „normalen“ Periodenrenditen wirkt sich bei längerem Zeithorizont gravierend aus. Mittels folgender Formel erfolgt die Transformation einer einfachen Rendite r(At) in eine stetige R(M: R(At) = In [1 + r(&)]. Vgl. ebd. S. 165. Siehe auch Bruns, Ch. (Aktienanlagen, 1996), S. 38. Zur Überlegenheit stetiger (geometrischer) Renditen siehe auch Jorion, P. (Value at Risk, 1997), S. 77 f. Zum einen können bei normalverteilten geometrischen Renditen keine negativen Preise auftreten, zum anderen erlauben stetige Renditen die Skalierbarkeit in der Zeit.

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  122. Der Wert der Inversen der Standardnormalverteilung wurde in Microsoft EXCEL® mit der Funktion: STANDNORMINV(40,13) = -0,25 berechnet.

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  123. Das Konfidenzniveau von 40,13% wurde hier gewählt, um die Inversion der Standardnormalverteilung zu verdeutlichen, ist jedoch sehr niedrig. Bei einem einseitigen Konfidenzniveau von 95% beträgt der Value at Risk c. p. 0,23% oder 0,23 DM pro DM investiertes Kapital: VaR =Ili-Za•6I=0,1–1,65.0,2=0,23.

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  124. Vgl. hierzu und zum folgenden Matthes, R./Klein, M. (Risikokonzepte, 1996), S. 744 ff. Sowie grundlegend zur Statistik der Downside-Risikomaße Albrecht, P. (Shortfall Returns, 1993), S. 1 ff. Albrecht gibt eine gute Einführung in die grundlegende Konzeption der Shortfall-Risikomaße und Lower Partial Moments.

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  125. Siehe hierzu Albrecht, P. et al. (Shortfall-Risiken, 1994), S. 8 f.

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  126. Z Vgl. Albrecht, P. et al. (Shortfall-Risiken, 1994), S. 7 f. analog in bezug auf das e-Perzentil. Vgl. auch Schröder, M. (Value at Risk, 1996), S. 8 f.

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  127. Vgl. Bruns, Ch. (Aktienanlagen, 1996), S. 39. Dies gilt nur unter der Annahme einer gemeinsamen Normalverteilung. Dann wird die Verteilung durch zwei Parameter vollständig beschrieben und es spielt keine Rolle, ob diese Parameter Erwartungswert und Varianz oder Erwartungswert und Downside-Wahrscheinlichkeit sind. Gibt man die Prämisse gemeinsam normalverteilter Renditen auf, und ermittelt die Downside-Wahrscheinlichkeit bspw. durch stochastische Simulation, so wird sich mit dem LPM0 ein anderes Bild der Risikolage ergeben als auf Basis der Standardabweichung. Dies liegt an der unterschiedlichen Behandlung der Asymmetrie.Vgl. Spremann, K. (Diversifikation, 1997), S. 880.

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  128. Vgl. auch Rudolph, B. (Regulierung, 1995), S. 24. Es hängt von der Fragestellung bzw. Risikodefinition ab, ob ein Schwellenwert, bspw. eine Mindestrendite, in die Risikobetrachtung einbezogen werden soll, oder Risiko lediglich durch die Ergebnisschwankung bzw. -streuung ausgedrückt wird. Risiko kann auch als das Überschreiten einer kritischen Verlustschwelle und somit als Value at Risk definiert werden. Die Downside-Wahrscheinlichkeit ist im Zusammenhang mit dem Value at Risk deswegen interessant, weil auch hier die Verbindung zwischen der Volatilität, der erwarteten Rendite und der Wahrscheinlichkeit hergestellt wird: Als Risiko wird die Gefahr, das Target zu verfehlen, angesehen, wobei Volatilität und Erwartungswert der Rendite bekannt sein müssen. Beim Value at Risk wird dagegen die Downside-Wahrscheinlichkeit als Konfidenzniveau exogen vorgegeben und der Schwellenwert, ermittelt, der mit der vorgegebenen Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird. Dabei wird i. d. R. ebenfalls auf die Volatilität und den Renditeerwartungswert zurückgegriffen. Als Risikomaß ergibt sich mit dem Value at Risk ein absoluter Wert als Geldbetrag, der Vorteile hinsichtlich der Vergleichbarkeit verschiedener Risiken haben mag. Der Risikobegriff ist demnach bei unterstellter Normalverteilung derselbe, lediglich die Fragestellung ist eine andere. Statt der positiven Mindestrendite kann eine negative Rendite als Target gewählt und entsprechend der Value at Risk als tolerierbarer Maximalverlust ermittelt werden.

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  129. Vgl. Bruns, Ch. (Aktienanlagen, 1996), S. 39 und Schröder, M. (Value at Risk, 1996), S. 12.bereiche bzw. des Randbereiches der Verteilung wiegt schwer und ist Gegenstand scharfer Kritik.176 Dies soll zunächst nicht zu sehr vertieft werden. Siehe auch Boudoukh, J. et al. (Market Risk, 1995), S. 100 f. Denn nach Ansicht von Boudouk, Richardson und Whitelaw sollte im Risikomanagement eher die Höhe der Verluste in den Randbereichen interessieren als die Anzahl der Fälle, in denen Verluste auftreten bzw. eine bestimmte Verlustgrenze überschritten wird. Denn auch ein Worst-Case wird mit hoher Wahrscheinlichkeit irgendwann eintreten. Wenn bspw. ein den Value at Risk übertreffender Verlust mit 95% Wahrscheinlichkeit an einem von zwanzig und fünf von hundert Handelstagen zu erwarten ist, so sollte nicht nur dieser Tatsache, sondern auch der Höhe dieses Verlustes größere Beachtung geschenkt werden. Mit anderen Worten, Value at Risk bei einem Konfidenzniveau von 95% beinhaltet ggf. eine Ruinwahrscheinlichkeit von 5% aufgrund vorhersehbar unvorhergesehen großer Verluste - sofern kein Deckungspotential über die auf Basis des Value at Risk ermittelte Größenordnung vorhanden ist, was nicht anzuraten ist. Der während einer WorstCase-Periode auftretende bzw. zu erwartende Verlust wird in der Regel höher sein, als der aufgrund des Value at Risk geschätzte und bewußt in Kauf genommene, er kann sogar um ein Vielfaches höher sein. Daher wird von Boudouk Richardson und Whitelaw als alternatives Risikomaß des „worst-case scenario risk“ vorgeschlagen, das ist der größte innerhalb einer vorgegebenen Periode (bspw. 20 Handelstage) zu erwartende Verlust. Das Worst-Case-Szenario-Risiko (WCS) ist demnach stark an Streßtests und Szenarioanalysen angelehnt und analysiert die Verteilung der Verluste, um Verlusterwartungswerte zu schätzen. Der grundlegenden Kritik von Boudouk, Richardson und Whitelaw ist insofern zuzustimmen, daß der Value at Risk nur „normale” Marktsituationen und nicht den Worst-Case abbildet. Es ist jedoch eine Frage der Risikosteuerung, wie mit der Value-at-Risk-Information umgegangen wird. Sicherlich bedeutet eine Risikoposition, die bei einem Überschreiten des Value at Risk gleich zum Ruin führt, unvertretbar hohe Risiken. Doch der Value at Risk darf eben nicht als Maß für die Extrembereiche der Marktrisiken herangezogen werden. Das ist weder Sinn des Value at Risk noch von ihm zu leisten. Unter Beachtung der bekannten Schwächen des Value at Risk wird jedes verantwortungsvolle Risikomanagement ergänzende Worst-Case-Szenarien und Streßtests durchführen, um die von der Risikokennzahl Value at Risk bewußt nicht abgedeckten Verlustpotentiale zu berücksichtigen und entsprechende Vorkehrungen zu treffen. Dies wird von Seiten der Bankenaufsicht seit jeher gefordert und ist allgemeiner Konsens. Unklar bleibt aber, wie das für extreme Marktsituationen vorzuhaltende Risikodeckungspotential konkret zu quantifizieren ist. Vgl. bspw. BIZ (Risikomanagement, 1994), Abschnitt III Nr. 6 und 7 auf S. 191; Global Derivatives Study Group (Derivatives, 1993), S. 11 f. und Appendix I, S. 10 f. sowie BIZ (Eigenkapitalvereinbarung, 1996), S. 47 f. bzw. BIS (Capital Accord, 1996), S. 46 f. und BAK (Mindestanforderungen, 1995), S. 5.

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  130. Durch Kauf von Optionen wird Schiefe erzielt. Die resultierenden Verteilungen sind entweder rechtsschief/linkssteil bei Puts oder linksschief/rechtssteil bei Calls.

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  131. Ein Beispiel gibt Schröder, M. (Value at Risk, 1996), S. 4 ff. Siehe auch weiterführend Guthoff, A./Pfingsten, A./Wolf, A. (Value at Risk, 1997), S. 9 ff.

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  132. Vgl. hierzu Guthoff, A./Pfingsten, A./Wolf, A. (Value at Risk, 1997), S. 11.

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  133. „Investment decisions based on the expected return and the value at risk would not necessarily maximize expected utility and are thus not rational.“ Guthoff, A./Pfingsten, A./Wolf, J. (Value at Risk, 1997), S. 11.

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  134. Vgl. auch Matthes, R./Klein, M. (Risikokonzepte, 1996), S. 746.

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  135. Vgl. hierzu und zum folgenden Franke, G.fHax, H. (Finanzwirtschaft, 1994), S. 263; Bauer, Ch. (Risikomessung, 1995), Sp. 1661; sowie Albrecht, P. (Shortfall Returns, 1993), S. 1 ff.

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  136. Hierzu ausführlich Schröder, M. (Value at Risk, 1996), S. 15 ff.

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  137. Vgl. hierzu und zum folgenden Matthes, R./Klein, M. (Risikokonzepte, 1996), S. 746 f.

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  138. Prinzipiell kann jede andere, höhere Gewichtung der Abweichungen vom Target herangezogen werden. Die entsprechende Verlustfunktion wird durch den Exponenten n determiniert. Üblich ist die Verwendung von n = 2, da das resultierende Risikomaß analog zur Varianz die Streuung der Zielverfehlungen betrachtet und daher leichter vermittelbar ist.

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  139. Vgl. Sharpe, W. F. (Performance, 1966), S. 119–138 und ders. (Sharpe Ratio, 1994), S. 49–58. Nur in der ursprünglichen Fassung wurde als Benchmark „der risikolose Zinssatz“ verwendet. Später wurde das Konzept der Überschußrendite auf beliebige Benchmark-Portfolios erweitert. Neben dem Sharpe-Ratio sind das Treynor-Maß und Jensen-Maß verbreitet. Siehe hierzu Steiner, M./Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 473 ff. und ausführlich Elton, E. J./ Gruber, M. J. (Portfolio Theory, 1995), S. 630 ff. Entsprechend modifizierte Performance-Maße unter Verwendung des Value at Risk zeigt Jorion, Ph. (Value at Risk, 1997), S. 287 ff.

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  140. Vgl. hierzu Steiner, M./Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 473 ff.

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  141. Vgl. Zimmermann, H. (Aktienkursrisiken, 1996), S. 70 ff. und Albrecht, P. et al. (Risiko-Ertrags-Profil, 1994), S. 7 m. w. N.

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  142. Zur Stochastischen Dominanz liegt eine beachtliche Literaturvielfalt vor. Stellvertretend für viele seien einige Arbeiten Fishbums herausgestellt: Fishbum, P. C. (Mean-Risk Analysis, 1977), S. 116 ff.; Fishbum, P. C./Vickson, R. G. (Stochastic Dominance, 1978), S. 39 ff.; Fishbum, P. C. (Stochastic Dominance, 1982), S. 89 ff. Vgl. hierzu und zum folgenden Bruns, Ch./Meyer-Bullerdiek, F. (Portfoliomanagement, 1996), S. 29 ff. und Steiner, M./MeyerBullerdiek, F./Spanderen, D. (Erfolgsmessung, 1996), S. 49 ff. m. w. N.

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  143. Zur Anwendung der Stochastischen Dominanz ist allerdings keine Annahme über die mathematische Form der Nutzenfunktion des Entscheiders (z. B. Polynom zweiter oder dritter Ordnung) notwendig.

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  144. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x;) wird nach der stochastischen Dominanz ersten Grades von der Wahrscheinlichkeitsverteilung g(x,) dominiert, wenn für alle x; die kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung F(x;) gröBer oder gleich der kumulierten Wahrscheinlichkeitsverteilung G(x;) ist und F(x;) dabei nicht mit G(x;) identisch ist.

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  145. Vgl. Steiner, M./Meyer-Bullerdiek, F./Spanderen, D. (Erfolgsmessung, 1996), S. 50 m. w. N. Trägt man auf der Abszisse die Rendite und auf der Ordinate die kumulierte Wahrscheinlichkeit an, so verläuft die Kurve der kumulierten Wahrscheinlichkeitsverteilung der dominanten Alternative in wenigstens einem Teilstück unterhalb und niemals oberhalb derjenigen der Kurve der dominierten Alternative. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen dürfen sich hier allerdings nicht schneiden, was die Anwendbarkeit einschränkt.

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  146. Im Gegensatz zur Stochastische Dominanz ersten Grades dürfen sich die Kurven der kumulierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen hierbei schneiden.

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  147. Durch die Betrachtung der Gesamtrendite des Portfolios und nicht der einzelnen Renditen der im Portfolio enthaltenen Positionen gehen allerdings Informationen verloren.

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  148. Die Stochastische Dominanz erfordert einen paarweisen Altemativenvergleich. Sofern keine endliche Zahl von Alternativen vorgegeben werden kann, kann das Entscheidungsproblem rechnerisch unmöglich gelöst werden. Vgl. auch Bawa, V. S. (Safety First, 1978), S. 255 und zur Lösung des Problems bei Safety-First-Portfolios S. 259 ff.

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  149. Der Value at Risk als LPM0 ist dagegen nur mit der Stochastischen Dominanz ersten Grades kompatibel und somit für risikoaverse Entscheider ungeeignet. Im Gegenteil, Value at Risk unterstellt Risikoneutralität, eine für Kreditinstitute sehr fragwürdige Annahme! Aus diesem Grund wäre LPM1 als Risikomaß heranzuziehen, da es mit der Stochastischen Dominanz zweiten Grades und somit Risikoaversion kompatibel ist. Siehe hierzu ausführlich Fishbum, P. C. (Mean-Risk Analysis, 1977), S. 119 ff.; Bawa, V. S. (Safety First, 1978), S. 258 f. und Gut-hoff, A./Pfingsten, A./Wolf, J. (Value at Risk, 1997), S. 9 ff. und zusammengefaßt ebd. S. 22.

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  150. Dies gilt in besonderem Maße für die Konstruktion effizienter Portfolios und die Optimierung.

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  151. Vgl. J.P. Morgan/Reuters (Technical Document, 1996), S. 6 ff.

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  152. Siehe hierzu Markowitz, H. M. (Portfolio Selection, 1952), ders. (Portfolio Selection, 1959) und ders. (Portfolio Selection, 1991). Deutschsprachige Aufarbeitungen der Portfolio Selection bieten bspw. Schmidt, R. H. (Grundzüge, 1986), S. 153–166; Steiner, M.Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 1–10; Uhlir, H./Steiner, P. (Wertpapieranalyse, 1994), S. 134–156.

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  153. Damit Erwartungswert und Varianz hinreichend zur Risikoerfassung sind, ist entweder die Annahme quadratischer Risikonutzenfunktionen oder die Normalverteilung notwendig. Vgl. hierzu und zum folgenden Schneeweiß, H. (Entscheidungskriterien, 1967), S. 113 ff. und S. 129 ff.; Rudolph, B. (Theorie, 1979), S. 1039 f. und S. 1061 sowie Beckström, R. A./Campbell, A. R. (Value-at-Risk, 1995), S. 34–38. Auch wenn die Nutzenfunktion nicht quadratisch ist, die Renditen jedoch normalverteilt, genügen risikoaversen Investoren als Entscheidungsvariablen der Erwartungswert und die Standardabweichung, da die Verteilung durch diese beiden Parameter vollständig charakterisiert wird. Der einperiodige, statische Ansatz der Portfolio Selection baut auf der Prämisse auf, daß die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Anleger-Endvermögens bekannt ist und durch zwei Parameter vollständig charakterisiert wird, durch den Erwartungswert µ und die Standardabweichung a. Die Anleger entscheiden über ihre individuelle Portfoliozusammenstellung anhand der von ihnen als möglich erachteten Realisationen des Anleger-Endvermögens, die durch ihren Mittelwert und die Streuung dieser Realisationen um den Mittelwert gekennzeichnet werden. Die Beschränkung der Betrachtung bzw. der Beurteilung von Alternativen auf den Erwartungswert und die Standardabweichung als einzige Parameter der Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Anlegerendvermögens am Periodenende bedeutet entweder die Annahme einer quadratischen Risiko-Nutzenfunktion der Anleger oder die Unterstellung einer Normalverteilung. Maximieren die Anleger den Wert einer quadratischen Risiko-Nutzenfunktion als Ausdruck ihrer Präferenzen, so ist der Erwartungswert des Risikonutzens unabhängig vom Typ der Wahrscheinlichkeitsverteilung nur vom Erwartungswert und der Standardabweichung abhängig. Sofern kein spezieller Typ einer Nutzenfunktion angenommen oder spezifiziert wird, ist die Verwendung der Parameter Erwartungswert und Standardabweichung gleichzusetzen mit der Annahme einer Normalverteilung, da nur die Normalverteilung durch diese beiden Parameter vollständig charakterisiert werden kann.

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  154. Vgl. hierzu und zum folgenden Schmidt, R. H. (Grundzüge, 1986), S. 143 ff. Und Uhlir, H./Steiner, P. (Wertpapieranalyse, 1994), S. 127 ff.

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  155. Vgl. Markowitz, H. M. (Portfolio Selection, 1952), S. 77 ff.; Markowitz, H. M. (Mean-Variance Analysis, 1990), S. 18 und Schmidt, R. H. (Grundzüge, 1986), S. 148 f.

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  156. Vgl. hierzu und zum folgenden Sachs, L. (Statistik, 1992), S. 489 ff. Die Untersuchung der Abhängigkeit zweier Variablen erfolgt praktisch mit der Regressionsanalyse. Die Parameter werden dabei i. a. mit der Methode der kleinsten Quadrate oder nach der Maximum-LikelihoodMethode bestimmt. Siehe hierzu ebd. S. 495.

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  157. Der Korrelationskoeffizient ist als standardisierte Kovarianz eine relative Größe und somit leichter zu interpretieren als die Kovarianz als absolute Größe. Das Diversifikationspotential läßt sich so intuitiv besser abschätzen.

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  158. gestattet es, die Stärke der Abhängigkeit als denjenigen Teil der Gesamtvarianz zu interpretieren, der durch die Regressionsgerade erklärt wird. Darauf basiert das Bestimmtheitsmaß R2: je näher R2 bei eins liegt, desto besser läßt sich die Abhängigkeit durch eine Regressionsgerade beschreiben; je näher R2 bei null liegt, desto schlechter ist dies der Fall.

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  159. Vgl. hierzu Alexander, C. (Forecasting, 1996), S. 233 f. Zur Stationariät siehe Kapitel 5.3.1.

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  160. Vgl. Sachs, L. (Statistik, 1992), S. 495 m. w. N.

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  161. Vgl. Markowitz, H. M. (Portfolio Selection, 1952), S. 80 f. und hier Schmidt, R. H. (Grundzüge, 1986), S. 150. Die Varianz eines Portfolios wird anhand der Formel für die Varianz einer Summe von Zufallsvariablen ermittelt: die Varianz einer Summe aus zwei Zufallsvariablen ist die Summe aus der Varianz der ersten, der Kovarianz der ersten mit der zweiten, der Varianz der zweiten und der Kovarianz der zweiten mit der ersten, wobei als Gewichte w die Portfolioanteile dienen, die quadriert, bzw. miteinander multipliziert werden. Es handelt sich um eine Linearkombination von Zufallsvariablen, so daß die Portfoliorendite wiederum eine Zufallsvariable ist. Vgl. Bleymüller, J. et al. (Statistik, 1991), S. 49 f.

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  162. Vgl. Markowitz, H. M. (Portfolio Selection, 1952), S. 81 und auch Elton, E. J./Gruber, M. J. (Portfolio Theory, 1995), S. 60.

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  163. Vgl. Markowitz, H. M. (Mean-Variance Analysis, 1990), S. 18.

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  164. Vgl. hierzu auch Steiner, M./Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 63 f. Sowie Elton, E. J./Gruber, M. J. (Portfolio Theory, 1995), S. 56 f.

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  165. Unabhängigkeit impliziert eine Kovarianz von null, der Umkehrschluß ist allerdings nicht notwendigerweise erlaubt. Von einer Kovarianz von null darf nicht auf Unabhängigkeit geschlossen werden! Vgl. Fama, E. F. (Foundations, 1976), S. 50 und S. 65. Im Portfoliokontext interessiert vor allem das Zusammenspiel der Renditeverteilungen. Es gilt, daß jede lineare Funktion zweier normalverteilter Zufallsvariablen - als solche werden Renditen zunächst betrachtet - selbst normalverteilt ist, unabhängig davon, ob die Zufallsvariablen unabhängig oder korreliert sind. Vgl. Maddala, G. S. (Econometrics, 1992), S. 20. Dies garantiert allerdings noch nicht, daß jedes Portfolio approximativ normalverteilter Positionen wiederum zwangsläufig approximativ normalverteilt ist.

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  166. Vgl. Schmidt, R. H. (Grundzüge, 1986), S. 150.

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  167. Unter der Prämisse der Portfoliobetrachtung des Gesamtunternehmens und somit einer Marktbewertung des Gesamtunternehmens bei der letztlich Erwartungswerte, Standardabweichungen und Korrelationen sämtlicher Einzelpositionen verfügbar sind, können erwarteter Gesamtunternehmensertrag und erwartetes Gesamtuntemehmensrisiko analog berechnet werden.

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  168. Vgl. Uhlir, H./Steiner, P. (Wertpapieranalyse, 1994), S. 134 ff., hier S. 144; Markowitz, H. M. (Mean-Variance Analysis, 1990), S. 17 ff. Zur formalen Darstellung siehe auch Rudolph, B. (Theorie, 1979), S. 1054 f.

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  169. Unter Risikoverbundeffekten wird Risikoneutralität, Risikoreduktion und Risikokumulation verstanden. Siehe hierzu Bösl, K. (Risikobegrenzung, 1993), S. 56 ff. Zu Risikoverbundeffekten siehe auch Döhring, J. (Gesamtrisiko-Management, 1996), S. 210 ff. Döhring unterscheidet zwischen materiellen und formalen Risikoverbundeffeken. In diesem Sinne werden im folgenden formale Risikoverbundeffekte betrachtet, die auf den Korrelationszusammenhängen beruhen. Materielle Risikoverbundeffekte beschreiben dagegen wirkungsbezogen Diversifikations-oder Kumulationseffekte.

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  170. Vgl. Steiner, M./Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 65.

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  171. Vgl. hierzu und zum folgenden Bitz, M. (Risikomanagement, 1993), S. 647 ff.

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  172. Vgl. Allen, M. (Role Model, 1994), S. 73; Beckström, R. A./Campbell, A. R. (Value-at-Risk, 1995), S. 46; Jorion, P. (Value at Risk, 1997), S. 149 ff. Konfidenzniveau, Zeithorizont und das Verfahren der Varianz-Kovarianz-Ermittlung müssen hierbei identisch sein, damit der PortfolioValue-at-Risk konsistent ermittelt werden kann.

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  173. Beispielsweise eine Fremdwährungsposition wie eine Währungsanleihe, die dem Zinsänderungsrisiko und den Wechselkursrisiko unterliegt.

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  174. Vgl. J.P. Morgan (Introduction, 1995), S. 7.

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  175. Die gezeigte Vorgehensweise bei der Aggregation erfordert für eine hinreichend genaue Schätzung des Portfolio-Value-at-Risk eine Normalverteilung, da aus einer Linearkombination normalverteilter Renditen wiederum eine Normalverteilung resultiert. Typische Abweichungen von der Normalverteilung, insbesondere Schiefe und Kurtosis (breite Verteilungsenden) und auch fehlende Unabhängigkeit der Renditen im zeitlichen Ablauf stellen somit ein gravierendes Problem dar. Weitere Probleme entstehen aus Nichtlinearitäten der Preisfunktionen. Nur bei einer linearen Beziehung zwischen der Änderung der preisbeeinflussenden Faktoren und dem Positionswert ist der Erhalt der Normalverteilung gewährleistet. Dies wird später ausführlich diskutiert.

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  176. In Anlehnung an J.P. Morgan/Reuters (Technical Document, 1996), S. 6 f. Die nicht nachvollziehbaren Rundungsfehler des Originalbeispiels wurden korrigiert.

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  177. In der Literatur gibt es zahlreiche Systematisierungen bankbetrieblicher Risiken. Vgl. zum folgenden Schierenbeck, H. (Bankmanagement, 1994), S. 523; Rudolph, B. (Regulierung, 1995), S. 25 ff.; Moser, H./Quast, W. (Organisation, 1994), S. 665 ff.

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  178. Der Begriff „Marktpreisrisiko“ wird vom Bundesaufsichtsamt für das Kreditwesen im Rahmen der Verlautbarung über Mindestanforderungen an das Betreiben von Handelsgeschäften der Kreditinstitute verwendet. Vgl. BAK (Mindestanforderungen, 1995), S. 5 und S. 7.

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  179. BIZ (Eigenkapitalvereinbarung, 1996), I.1. S. 1; im Original BIS (Capital Accord, 1996), S. 1. Festzuhalten gilt, daß Marktrisiken hier als Wirkung der Veränderung der 233 Der Begriff „Verlust“ ist dabei ggf. aufgrund seiner Belegung in der externen Rechnungslegung irreführend, da es auf eine Realisierung der Reinvermögensminderung hier nicht ankommt. Verluste i. S. v. potentiellen oder tatsächlichen Wertminderungen werden also bereits zum Zeitpunkt ihrer Entstehung berücksichtigt, unabhängig davon, ob und ggf. wann sie realisiert werden.

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  180. Es wird nicht nach den Ursachen gefragt, die zu einer Veränderung der preisbestimmenden Parameter geführt haben (bspw. bekanntgewordene oder erwartete Änderungen der Ertragslage von Unternehmen, des Konjunkturzyklus, der Handels-und Leistungsbilanz), sondern die Veränderung der Preise, allgemein der preisbestimmenden Parameter selbst wird als ursächliche Einflußgröße für Marktrisiken angesehen. Insofern werden keine Ursache-Wirkungszusammenhänge etwa zu volkswirtschaftlichen Rahmenbedingungen herangezogen, wie sie im Rahmen der sog. Fundamentalanalyse bspw. bei Zins-, Wechselkurs-oder Aktienkursprognosen üblich sind. Siehe hierzu stellvertretend für viele Steiner, M./Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 181 ff. und Loistl, O. (Wertpapiermanagement, 1996), S. 185 ff.

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  181. Marktliquidität wird auch durch das Ausmaß operationalisert, in dem Marktpreise aufgrund eigener Transaktionen verändert werden. Bei ausreichender Markttiefe verursacht das unverzügliche Schließen einer Position keine zusätzlichen über die Transaktionskosten hinausgehenden Verluste. Vgl. hierzu und zur Definition des Marktliquiditätsrisikos BIS (Promisel Report, 1992), S. 16 f. und S. 61.

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  182. Zu Begriff und Formen der Margins siehe Steiner, M.Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 362–364 sowie Dubowski, D. A. (Valuation, 1992), S. 37 f. und S. 302–305.

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  183. Vgl. auch BIS (Promisel Report, 1992), S. 17 und S. 23.

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  184. Vgl. hierzu Eller, R./Spindler, Ch. (Zins-und Währungsrisiken, 1994), S. 26 sowie Scharpf, P./Epperlein, J. K. (Risikomanagement, 1995), S. 211 ff.

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  185. Vgl. hierzu Eller, R./Spindler, Ch. (Zins-und Währungsrisiken, 1994), S. 26. Der Begriff Marktrisikofaktoren“ wurde inzwischen auch von der BIZ übernommen und ist somit quasi „amtlich” definiert: „Wesentlicher Bestandteil des internen Messsystems einer Bank für das Marktrisiko ist die Festlegung einer entsprechenden Reihe von Marktrisikofaktoren, d.h. der Marktsätze, -kurse und -preise, die den Wert der Handelspositionen der Bank beeinflussen.“ BIZ (Eigenkapitalanforderungen, 1996), B.3, S. 43 [BIS (Capital Accord, 1996), B.3, S. 42].

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  186. Vgl. hierzu und zum folgenden Eller, R./Spindler, Ch. (Zins-und Währungsrisiken, 1994), S. 36 f.

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  187. Vgl. Schierenbeck, H. (Bankmanagement, 1994), S. 523.

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  188. Vgl. hierzu und zum folgenden Parsley, M. (Rorac, 1995), S. 39 in Adaption auf Value at Risk.

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  189. Dieses Prinzip liegt bspw. auch der Abbildung der Risiken derivativer Instrumente in den Marktrisikoregeln der BIZ zugrunde. Siehe hierzu BIZ (Eigenkapitalanforderungen, 1996), A.1 III. 1. S. 15: „Die Derivate sind in Positionen in dem jeweiligen Basisinstrument umzurechnen,“ Im Original BIS (Capital Accord, 1996), S. 14.

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  190. Vgl. hierzu, stellvertretend für viele, Bürger, P. (Risikocontrolling, 1995), S. 245; Eller, R./Spindler, Ch. (Zins-und Währungsrisiken, 1994), S. 38 f.; Scharpf, P./Epperlein, J. K. (Risikomanagement, 1995), S. 213–216; Rudolph, B. (Regulierung, 1995), S. 17–19.

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  191. Das für Kreditinstitute bedeutsame Zinsspannenrisiko wird demnach hier nicht betrachtet. Eine Einführung gibt Schierenbeck, H. (Bankmanagement, 1994), S. 529–566.

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  192. Zum Begriff Zinsänderungsrisiko existiert eine Vielzahl, teilweise kontextbezogener Definitionen. Siehe bspw. für das Zinsänderungsrisiko von Kreditinstituten: Schierenbeck, H. (Bankmanagement, 1994), S. 516–518. Für Anleihen findet sich eine Definition bspw. Bei Uhlir, H./Steiner, P. (Wertpapieranalyse, 1994), S. 16 f. und S. 70–74.

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  193. Vgl. Rudolph, B. (Regulierung, 1995), S. 19. Dieses Risiko wird (meist bei Optionen) auch mit der Kennzahl Rho erfaßt: „Discount Rate (Rho) Risk The change in the value of the portfolio arising from changes in the interest rates used to discount future cash flows.“ Global Derivatives Study Group (Derivatives, 1993), Appendix I, S. 9.

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  194. Vgl. Rudolph, B. (Regulierung, 1995), S. 19 und Scharpf, P./Epperlein, J. K. (Risikomanagement, 1995), S. 213–216.

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  195. Vgl. Rudolph, B. (Regulierung, 1995), S. 19.

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  196. Vgl. hierzu und zum folgenden BIZ (Eigenkapitalvereinbarung, 1996), S. 28.

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  197. Siehe hierzu auch Eller, R./Spindler, Ch. (Zins-und Währungsrisiken, 1994), S. 127.

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  198. So wird unter Spreadrisiko auch die unterschiedliche Entwicklung der Preise von Titeln gleicher Art von verschiedenen Emittenten aufgrund von Änderungen der Bonität verstanden. Bspw. entsteht ein Spreadrisiko daraus, daß die Änderungen der Zinssätze von defaultfreien und anderen festverzinslichen Instrumenten nicht perfekt korreliert sind. Vgl. hierzu BIZ (Eigenkapitalvereinbarung, 1996), B.3 a), S. 43 bzw. BIS (Capital Accord, 1996), S. 42. Ein weiteres Beispiel ist die unterschiedliche Entwicklung der Zinsrisikofaktoren von Anleihen und Swaps. Siehe hierzu auch Gottschalk, H. D./Renner, M. (Risikosteuerung, 1992), S. 524–527.

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  199. Vgl. Global Derivatives Study Group (Derivatives, 1993), Appendix I, S. 8 f.

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  200. Siehe hierzu BIZ (Eigenkapitalvereinbarung, 1996), B.3, S. 43 f. bzw. BIS (Capital Accord, 1996), B.3, S. 42 f.

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  201. Vgl. hierzu Eller, R./Spindler, Ch. (Zins-und Währungsrisiken, 1994), S. 26 ff.

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  202. Der Begriff Zinsposition umfaßt sämtliche Formen von Eigen-und Kundengeschäften mit Ausnahme unverzinslicher Geldbestände bzw. Guthaben. Subsumiert werden sowohl bilanzielle als auch außerbilanzielle Aktiv-und Passivpositionen, unabhängig von ihrer Verbriefung. gen und Tilgungen. Das Wiederanlagerisiko ist ein zeitraumbezogenes Risiko, da die Wiederanlage von Zins-und Tilgungszahlungen den erzielbaren Endwert determiniert. Für die Value-at-Risk-Analyse ist es nicht relevant.

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  203. Siehe hierzu grundlegend Scholz, W. (Zinsänderungsrisiken, 1979), S. 517 ff. Zur Diskussion verschiedener Begriffsauffassungen des Zinsänderungsrisikos siehe auch Stenke, K. (Einsatz, 1993), S. 37–39 und S. 60–67.

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  204. Die Wirkung von Zinsänderungen hängt auch davon ab, inwiefern offene Positionen vorliegen bzw. inwieweit gegenläufige Hedge-Positionen vorhanden sind, die verhindern, daß die Risiken schlagend werden. Risiken bestehen unter Zugrundelegung des banktypischen Risikobegriffes insofern nicht, als die Gefahr eines Verlustes durch die Chance eines Gewinnes kompensiert wird. Problematisch dabei ist, daß je nach Point of View, Periodenüberschuß-oder Marktwertbetrachtung, unterschiedliche Risikowirkungen entstehen können und somit abweichende Risikobewertungen vorliegen. Eine im Hinblick auf die Zinsbindungsfrist geschlossene Position kann bspw. einem erheblichen Marktwertänderungsrisiko und somit Abschreibungsrisiko unterliegen. Eine strukturkongruent refinanzierte und insofern geschlossene Position kann im Hinblick auf den zeitlichen Ablauf der Erfolgsrealisierung problematisch werden. Daraus ergibt sich das Periodenüberschuß und Zinsspannenrisiko. Die Wirkungen auf den Periodenüberschuß sind in gesonderten Risikoanalysen zu erfassen.

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  205. Vgl. hierzu auch Brammertz, W./Burger, W. (Duration, 1990), S. 325, die bezüglich der Duration Marktwert-und Buchwertprinzip abgrenzen. Die Frage der handels-und steuerrechtliche Gewinn-und Verlustrealisierung spielt demnach im folgenden keine Rolle, sollte aber unbedingt in die Risikoanalyse einbezogen werden. Zur Diskussion der unterschiedlichen Betrachtungsweisen siehe stellvertretend für viele Walter, R. (Portfolio-Bewertung, 1995), S. 89 ff. m. w. N.

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  206. Vgl. hierzu und zum folgenden Rudolph, B. (Zinsänderungsrisiken, 1979), S. 184 f.

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  207. Vgl. Scharpf, P./Epperlein, J. K. (Risikomanagement, 1995), S. 213 f.; Eller, R./Spindler, Ch. (Zins-und Währungsrisiken, 1994), S. 26 ff. und Fabozzi, F. J. (Bond Markets, 1996), S. 389 f. Von Risiken aufgrund von Bonitäts-oder Spreadänderungen wird zunächst abgesehen.

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  208. Bei ursachenbezogener Betrachtung wäre nach den eigentlichen Gründen für eine Änderung des Marktzinses zu forschen. Entsprechend sind die Determinanten von Zinsstruktur und Zinsniveau zu bestimmen und Ursache-Wirkungs-Hypothesen aufzustellen, die eine Prognose der Zins-und Zinsstrukturentwicklung gestatten. Dieser Ansatz wird im folgenden nicht betrachtet.

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  209. Siehe hierzu Doerks, W. (Zinsstrukturkurven, 1991), S. 275–280 und Steiner, M./Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 236 ff.

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  210. Vgl. hierzu und zum folgenden Uhlir, H./Steiner, P. (Wertpapieranalyse, 1994), S. 11 ff.; Fabozzi, F. J./Fong, G. (Portfolio Management, 1994), S. 37 ff. sowie Mattoo, M. (Hedge, 1991), S. 73 ff.

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  211. Zum Kuponeffekt siehe auch Mattoo, M. (Hedge, 1991), S. 76–78; Abbildung 4–3, S. 78. Der Kuponeffekt wird in der Praxis durch Stripping umgangen, indem sämtliche Zinspositionen in äquivalente Zerobonds zerlegt werden.

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  212. Vgl. auch Kruschwitz, L./Wolke, Th. (Convexity, 1994), S. 382.

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  213. Bei Zinsoptionen tritt u. a. die Renditevolatilität selbst als Risikofaktor hinzu.

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  214. Vgl. hierzu Hull, J. C. (Options, 1993), S. 380; Eller, R./Spindler, Ch. (Zins-und Währungsrisiken, 1994), S. 30 f.; Kruschwitz, L./Zabel, D. (Rentenoptionen, 1996), S. 510 f. und J. P. Morgan (Technical Document, 1996), S. 51 und S. 127 f.; sowie die vertiefende Abhandlung von Finger, Ch. C. (Pull to par, 1996), S. 4–11, der eine Methode zur Adjustierung zeigt. Zu möglichen aktiven Strategien des Anleihenportfoliomanagements siehe Hockmann, H. J. et al. (Anleihenportfolios, 1991), S. 149.

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  215. Die Restlaufzeitverkürzung wirkt sich über die Diskontierung auf die Barwertänderung aus. Bei einem langen Zeithorizont, etwa einem halben Jahr, wird der Cash-flow einer exakt einjährigen Zinsposition mit dem einem halben Jahr entsprechenden Zinsfaktor korrekt diskontiert, statt mit dem einjährigen Zinsfaktor. Dadurch wird der Rutsch auf der Zinsstrukturkurve oder „roll down effect“ berücksichtigt. Unter dem „roll down effect” versteht man die Veränderung des spezifischen, zur Diskontierung eines zukünftigen Cash-flow herangezogenen Zinssatzes im Zeitablauf. Siehe hierzu Finger, Ch. C. (Pull to par, 1996), S. 4–11.

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  216. Vgl. Fabozzi, F. J./Fong, G. (Portfolio Management, 1994), S. 153 f. und Brennan, M. J./Schwartz, E. S. (Duration, 1983), S. 3 ff.

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  217. Zeitablaufeffekte sind darüber hinaus bei Optionen und Futures in die Risikoanalyse einzubeziehen. Bspw. kann bei Optionen mittels der Sensitivitätskennzahl Theta der Einfluß der abnehmenden Restlaufzeit auf den c. p. mit abnehmender Restlaufzeit geringeren Wert sowohl von Calls als auch von Puts ausgedrückt werden (siehe hierzu Kapitel 2.3.4.5). Bei Zinsfutures ist die sog. Basiskonvergenz zu beachten: Da zum Zeitpunkt der Fälligkeit der (arbitragefreie) Futurepreis stets dem Kassakurs entspricht, nähert sich der Futurepreis mit abnehmender Restlaufzeit diesem Wert an. Die Basis als Differenz zwischen Futurepreis und Kassapreis konvergiert daher gegen null. Siehe hierzu Steiner, M.Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 365 ff.

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  218. Vgl. J.P. Morgan/Reuters (Technical Document, 1996), S. 51. Im folgenden wird stets von Zinsstrukturkurven ausgegangen. Zinsstrukturkurven sind stetige Durchschnittskurven, die mit Hilfe ökonometrischer Modelle (bspw. gemischt-logarithmischen Regressionsansätzen) aus der Renditestruktur errechnet werden. Renditestrukturkurven zeigen dagegen die effektiven Renditen für konkrete, am Markt beobachtete Zinstitel entsprechend ihrer Restlaufzeiten. Siehe hierzu Loistl, O. (Wertpapiermanagement, 1996), S. 252–255 und S. 267–270 sowie zum Schätzverfahren der Deutschen Bundesbank o. V. (Zinsentwicklung, 1983), S. 24 f.; o. V. (Zinsentwicklung, 1991), S. 40–42 und o. V. (Kapitalmarktstatistik, 1996), S. 61 f. sowie o. V. (Kapitalmarktzinsen, 1996), S. 17–32.

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  219. Vgl. hierzu und zum folgenden Scharpf, P./Epperlein, J. K. (Risikomanagement, 1995), S. 213 f. und Eller, R./Spindler, Ch. (Zins-und Währungsrisiken, 1994), S. 28 f.

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  220. Vgl. auch BIZ (Eigenkapitalvereinbarung, 1996), B.3 a), S. 43 bzw. BIS (Capital Accord, 1996), S. 42.

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  221. Zudem kommt es bei den Renditespreads auf die subjektiv wahrgenommene Bonität des Schuldners an. Änderungen in der Einschätzung von Schuldnern können empfindliche Preisreaktionen zur Folge haben. Vgl. hierzu Dattatreya, R. E. et al. (Risks, 1991), S. 33. Die Trennung bonitätsbedingter Preisänderungen von rein zinsinduzierten Marktpreisänderungen ist ohne weiteres nicht möglich, da sich beide Effekte überlagern. Dies erschwert die zutreffende Bestimmung bspw. der Zinsvolatilität nicht-defaultfreier Anleihen, da bspw. durch die auf der Basis historischer Zeitreihen ermittelte Preisvolatilität als annualisierte Standardabweichung die Gesamtvarianz erfaßt wird. Anhand von Regressionsanalysen könnte statistisch eine Trennung des Marktrisikos als allg. Zinsänderungsrisiko und des individuellen Defaultrisikos vorgenommen werden, analog zur Trennung von systematischem und unsystematischem Risiko im Capital Asset Pricing Model

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  222. Entsprechend sieht die BIZ vor, bei großen Engagements gegenüber Zinsänderungen die Renditenstruktur in mindestens sechs Laufzeitsegmente zu unterteilen - jedem Laufzeitsegment entspricht i. d. R. ein Risikofaktor. Allerdings wird diese Einteilung auf die wichtigsten Märkte und Währungen beschränkt. Die Zahl der verwendeten Risikofaktoren wird letztlich von der Art der Handelsstrategien der Bank abhängig gemacht: Im Rahmen komplexer Arbitragestrategien mit verschiedenartigen, auf viele Punkte der Renditenstrukturkurve verteilten Wertpapieren wird eine größere Anzahl von Risikofaktoren für notwendig erachtet, um das Zinsänderungsrisiko genau zu erfassen. Vgl. BIZ (Eigenkapitalvereinbarung, 1996), B.3 a), S. 43 bzw. BIS (Capital Accord, 1996), S. 42 f.

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  223. Beispielsweise wird bei der Analyse des Zinsänderungsrisikos nicht die Modified Duration bzw. der Price Value of a Basis Point bei einer definitionsgemäß vorgegebenen Renditeveränderung von einem Prozent bzw. einem Basispunkt berechnet, sondern der potentielle Verlust bei einer Renditeveränderung um bspw. 1,65 Standardabweichungen, entsprechend einem einseitigen Konfidenzniveau von 95%. Erst durch diese Verbindung zwischen Exposure, Sensitivität und Wahrscheinlichkeit der Änderung preisbestimmender Faktoren erhält der Value at Risk seinen Charakter als stochastische Größe.

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  224. Modifiziert nach Moser, H./Quast, W. (Organisation, 1994), S. 676.

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  225. Vgl. BIZ (Offenlegung, 1994), S. 24, im Original BIS (Public Disclosure, 1994), S. 14 und auch Jorion, P. (Value at Risk, 1997), S. 86 f.

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  226. Vgl. hierzu und zum folgenden BIS (Public Disclosure, 1994), S. 14.

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  227. Vgl. BIZ (Eigenkapitalvereinbarung, 1996), Teil B, Nr. B.4d) und B.4e), S. 45. Analog BAK (Entwurf Grundsatz I, 1997), § 36 Abs. 7, S. 50. Die hier erfolgende Festlegung des effektiven Beobachtungszeitraumes stellt ein gewisses Problem dar, da bei verschiedenen Verfahren, bspw. expontentieller Glättung oder unterschiedlicher Gewichtung der Daten, der Beobachtungszeitraum nur schwer festzustellen ist. Dieser ist theoretisch nicht endlich, i. d. R. aber effektiv kürzer als ein Jahr. Die genannten Verfahren führen nach h. M. zu besseren Ergebnissen, dürften hier aber nicht herangezogen werden. Vgl. J.P. Morgan/Reuters (Technical Document, 1996), S. 100.

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  228. Neben der Länge und Lage der Beobachtungsperiode können weitere Parameter und statistische Prinzipen geändert werden, deren Auswirkung auf die Ergebnisse erheblich sein kann. Zu nennen sind bspw. die Länge gleitender Durchschnitte, Glättungsfaktoren bei exponentieller Glättung, vorgenommene oder unterlassene zeitliche Skalierungen (z. B. bei Tages-, Wochen- oder Monatsrenditen), die Berücksichtigung oder Vernachlässigung von Mittelwerten des Samples usw. Ebenfalls von Bedeutung ist die Sychronisation der Daten verschiedener nationaler und internationaler Märkte und die Handhabung von unterschiedlichen Börsen-und Bankfeiertagen, sowie allg. fehlender Daten.

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  229. Siehe BAK (Mindestanforderungen, 1995). Entsprechend streng sind die Vorschriften für die Anerkennung interner Modelle seitens der Bankenaufsicht. Siehe hierzu BAK (Entwurf Grundsatz I, 1997), § 36 und BAK (Erläuterungen Grundsatz I, 1997), S. 128 ff.

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  230. Sofern die Verfahren unterstellen, daß die jüngste Vergangenheit als repräsentativ für das Preisverhalten des betrachteten Zeithorizontes ist. Dies ist in der Regel der Fall.

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  231. Hier spielt neben der Modellierung der Dynamik von Preisprozessen auch der Aspekt der Wahl des Zeithorizontes eine bedeutende Rolle. Für eine eintägige Haltedauer (overnight) können zahlreiche mögliche systematische Veränderungen als marginal betrachtet und außer acht gelassen werden. Dies betrifft bpsw. das Vorhandensein von Trends, sichere Ertrags-bzw. Renditekomponenten oder Zeitwertverluste und dergleichen. Diese können bei längeren Zeitperioden bedeutenden Einfluß auf das Risikopotential einer Position besitzen.

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  232. Vgl. BIS (Public Disclosure, 1994), S. 14, Fußnote 4 bzw. BIZ (Offenlegung, 1994), S. 24, Fußnote 4 sowie Chew, L. (Shock Treatment, 1994), S. 65; Chew, L. (Derivative Risks, 1996), S. 204 f. Dies ergibt sich analytisch aus der Prämisse der Normalverteilung der Renditen.

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  233. Dieser Pauschalisierung lassen sich bspw. beobachtete Trends oder technische Reaktionen im Kursverlauf entgegenhalten. Es ist keinesfalls zwangsläufig richtig, daß eine längere Haltedauer größere Risiken in sich birgt, oftmals ist genau das Gegenteil der Fall. Auf dieser Beobachtung beruht beispielsweise die in zahlreichen empirischen Untersuchungen gestützte Erkenntnis, daß Aktien langfristig höhere Renditen erwirtschaften als Renten. Dies setzt jedoch voraus, daß zwischenzeitlich eingetretene Verluste nicht realisiert werden und ohne Konsequenzen bleiben! Ein allgemeingültiger Nachweis dürfte, wenn überhaupt, nur schwer zu erbringen sein.

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  234. Vgl. Chew, L. (Derivative Risks, 1996), S. 205. Sofern die Standardabweichung bzw. Volatilität bei parametrischen Verfahren zeitskaliert, d. h. mit der Quadratwurzel der Zeit multipliziert wird, ist dies „automatisch“ der Fall.

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  235. Zu den notwendigen Prämissen für den PreisprozeB siehe ausführlich Kapitel 5.2.2.

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  236. Vgl. hierzu und zum folgenden BIS (Public Disclosure, 1994), S. 14 und Linsmeier, Th. J./Pearson, N. D. (Risk Measurement, 1996), S. 4.

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  237. Eine Möglichkeit besteht darin, aus Optionspreisen, analog zur impliziten Volatilität, implizite Wahrscheinlichkeiten und somit marktübliche Konfidenzniveaus abzuleiten. Siehe hierzu Neuhaus, H. (Informationsgehalt, 1995), S. 36 ff. Dies ist allerdings nicht unproblematisch und soll hier nicht empfohlen werden.

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  238. Vgl. Martin, J. (Managing risk, 1995), S. 67 f.

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  239. Vgl. auch Smithson, Ch./Minton, L. (Debate, 1996), S. 39 und Wilson, D. (Value-at-Risk, 1995), S. 25 sowie Jorion, P. (Value at Risk, 1997), S. 86 f.

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  240. Siehe hierzu auch Kupiec, P. H. (Verifying, 1995) und Jorion, Ph. (Risk2, 1996), S. 47 ff.

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  241. Die Anzahl der benötigten Szenarios läßt sich statistisch auf Basis der Fehlerwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit vom Konfidenzniveau eruieren. Siehe hierzu ausführlich Duffie, D./Pan, J. (Value at Risk, 1997), Appendix B, S. 38 f.

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  242. Vgl. auch die Studie von Gamrowski, B./Rachev, S. (Value-at-Risk, 1996), S. 316. Dies liegt i. d. R. an der Leptokurtosis, da breite Enden, die mit einer Normalverteilung nicht zutreffend approximiert werden, vor allem bei hohen Konfidenzniveaus ein Problem darstellen.

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  243. Bei parametrischen Verfahren, bei denen der Value at Risk durch Multiplikation der Standardabweichung mit dem entsprechenden z-Wert ermittelt wird, ergibt sich eine eindeutige, funktionale Beziehung zwischen der Höhe des Konfidenzniveaus und dem Value at Risk. Diese funktionale Beziehung kann zur Umrechnung des Value at Risk verschiedener Konfidenzniveaus genutzt werden, wenn eine Normalverteilung der Marktrisikofaktor-bzw. Wertänderungen unterstellt wird. Beim Zeithorizont wird die Skalierung mit der Quadratwurzel der Zeit vorgenommen. Dies wird später genauer fundiert.

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  244. Vgl. Chew, L. (Derivative Risks, 1996), S. 203.

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  245. Siehe hierzu BIZ (Eigenkapitalvereinbarung, 1996), Teil B B.4, S. 45. Abweichend von den Vorgaben der BIZ wurde von der Deutschen Bank in der Tabelle eine Beobachtungsperiode von 90 Handelstagen zugrundegelegt, die BIZ-Regeln sehen als Mindestdauer für den historischen Beobachtungszeitraum, der bei Value-at-Risk-Berechnungen zugrunde gelegt wird, ein Jahr (etwa 250 Tage) vor. Der Effekt einer abweichenden Beobachtungsperiode ist ohne einzelf allbezogene Vergleichsrechnung nicht quantifizierbar. Dies steht somit auch einer Vergleichbarkeit der publizierten Zahlen mit denen anderer Geschäftsberichte entgegen. In den allgemeinen Angaben zur Berechnung des Value at Risk der Deutschen Bank wird allerdings angeführt, daß bei der Berechnung der historischen Volatilitäten und Korrelationen in der Regel ein Zeitraum von einem Jahr (ohne unterschiedliche Gewichtung der Tage) zugrunde gelegt wird. Vgl. Deutsche Bank (Geschäftsbericht 1995, 1996), S. 32.

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  246. Dies ist nicht unumstritten. Zur Diskussion siehe bspw.: Keppler, M. (Risiko, 1990), S. 610–614; ders. (Portfolio-Theorie, 1991), S. 382–385; ders. (CAPM, 1992), S. 268 f. und Bauer, Ch. (Risikomaße, 1991), S. 172–175 und ders. (Risikomessung, 1995), Sp. 1657–1666.

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  247. Vgl. Black, F./Scholes, M. (Options, 1973), S. 640; Zimmermann, H. (Zeithorizont, 1991), S. 164 ff und Steiner, M./Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 55. Kritisch zu den Prämissen siehe Black, F. (Living, 1990), S. 11 ff.

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  248. Stellvertretend für viele: Cox, J. C./Rubinstein, M. (Options Markets, 1985), S. 276 ff.; Figlewski, St. (Volatility, 1996), S. 1 ff.; Alexander, C. (Forecasting, 1996), S. 233–260; J.P. Morgan/Reuters (Technical Document, 1996), S. 77 ff. Einen guten Überblick gibt auch Engle, R. F. (Financial Volatility, 1993), S. 72–78. Speziell in bezug auf Value at Risk siehe Alexander, C./Leigh, C. T. (Covariance Matrices, 1997), S. 50 ff.

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  249. Diese Aufzählung ist unvollständig, da eine Vielzahl anderer Wege und Varianten, etwa das Heranziehen von Hoch-/Tief-Kursen und Intraday-Volatilitäten, untersucht und diskutiert wurde. Zu Begriffsauffassungen und Varianten der Volatilitätsmessung vgl. Geyer, A. (Information, 1992), S. 127 ff.

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  250. Vgl. J.P. Morgan/Reuters (Technical Document, 1996), S. 77 f. Zur Ableitung der impliziten Volatilität siehe bspw. Cox, J. C./Rubinstein, M. (Options Markets, 1985), S. 278 f.; und zu verschiedenen Berechnungsverfahren Hauck, W. (Optionspreise, 1991), S. 282 ff.; Chance, D. (Implied volatility, 1993), S. 60 ff.; Corrado, C. J./Miller, T. W. (Implied standard deviations, 1996), S. 595 ff. m. w. N.

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  251. Das Black-Scholes-Modell ist inkonsistent mit der Annahme veränderlicher Volatilität. Die Ableitung derselben aus Optionspreisen mittels dieses Optionspreismodelles ist daher streng genommen ein Widerspruch zur Theorie. Vgl. Jorion, P. (Volatility, 1995), S. 509/513. Ferner ist die Rationalität der Erwartungsbildung über die zukünftige Volatilität fraglich.

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  252. Siehe Jorion, P. (Volatility, 1995), S. 507–528. Vor allem Jorion vertritt die These der Überlegenheit der impliziten Volatilität, trotz theoretischer Bedenken und trotz nachgewiesener Verzerrungen des Schätzers: „Whenever possible, value at risk should use implied parameters.“ Jorion, P. (Value at Risk, 1997), S. 182. Kritisch dagegen J.P. Morgan/Reuters (Technical Document, 1996), S. 77 f. und Figlewski, St. (Volatility, 1996), S. 71 ff.

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  253. Mit der impliziten Volatilität sind eine Vielzahl von Detailproblemen verbunden, bspw. daß die impliziten Volatilitäten von Optionen verschiedener Fälligkeit und unterschiedlicher Basis derselben Underlyings i. a. abweichen. Die Volatilität des Underlyings ist daher nicht eindeutig, sondern mehrfach determiniert. Weitere Problemfelder sind Volatilitätsstruktur und Volatility Smile; nichtsimultane Handelszeiten an Options-und Kassamärkten, Bid-Ask-Spreads, Gebühren, mangelnde Markttiefe u. a. Vgl. Cox, J. C./Rubinstein, M. (Options Markets, 1985), S. 285. Siehe auch Beckers, St. (Standard Deviations, 1981), S. 363 ff.

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  254. Zum VDAX und seiner Berechnung siehe Werner, E. (Implizite Volatilitäten, 1997), S. 342 ff. und auch Wittrock, C./Beer, V. (Optionsindices, 1994), S. 518 ff.

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  255. Stochastische Volatilität läßt sich auf das Modell von Clark zurückführen: Clark, P. K. (Subordinated stochastic process model, 1973), S. 135 ff. Siehe auch Lütkepohl, H. (Volatilitäten, 1997), S. 79 ff. m. w. N. Zu Details siehe Ruiz, E. (Stochastic volatility models, 1994), S. 289 ff. und Harvey, A. C. et al. (Variance Models, 1994), S. 247 ff. Letztere implementieren das Modell für vier tägliche Wechselkurszeitreihen. Ein Optionsbewertungsmodell für stochastische Volatilität zeigen Hull, J./White, A. (Stochastic Volatilities, 1987), S. 281–300.

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  256. Vgl. J.P. Morgan (Five questions, 1995), S. 12 ff.; kritisch auch Jorion, P. (Volatility, 1995), S. 509. Grundsätzlich läßt sich die stochastische Volatilität im Rahmen von Monte-Carlo-Simulationen durchaus einsetzten, da hier keine analytische Dichteschätzung zur Bestimmung des Value at Risk erforderlich ist - diese ist bei stochastischer Volatilität kritisch. Die Anpassung der Parameter an die geg. Marktsituation ist im multivariaten Fall zwar rechenaufwendig, aber durchaus möglich, wie Harvey, Ruiz und Shepard zeigen. Auch die Modellierung von Leptokurtosis ist unter Verwendung Student-t-verteilter Störvariablen leicht möglich. Vgl. Harvey, A. C. et al. (Variance Models, 1994), S. 261. Dennoch wird sich die Anwendung auf wenige Zeitreihen ausgewählter Teilportfolios beschränken müssen.

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  257. Vgl. Cox, J. C./Rubinstein, M. (Options Markets, 1985), S. 276 ff.

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  258. Vgl. J.P. Morgan/Reuters (Technical Document, 1996), S. 78 ff.

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  259. Die Alternativen gewichtetes oder geometrisches Mittel werden hier außer acht gelassen. Diese einfache Variante der Volatilitätsschätzung wird von der Bankenaufsicht präferiert.

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  260. Die Länge des Berechnungszeitraumes wird als Ordnung des gleitenden Durchschnitts bezeichnet. Je höher die Ordnung des gleitenden Durchschnitts ist, desto stärker ist seine Glättung. Die exponentielle Glättung wird als besondere Form eines gleitenden Durchschnitts betrachtet. Ein exponentieller gleitender Durchschnitt höherer Ordnung hat einen niedrigen Glättungsfaktor. Vgl. hierzu grundlegend Loistl, O. (Wertpapiermanagement, 1996), S. 71 ff.

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  261. Zur Berechnung siehe Loistl, O. (Wertpapiermanagement, 1996), S. 74 ff. und Perridon, L./Steiner, M. (Finanzwirtschaft, 1995), S. 579 ff.

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  262. Vgl. Taylor, S. J. (Modelling, 1986), S. 103 f. und S. 110 f. Die Bedingtheit oder Zeitvariabilität entsteht dabei durch die rekursive Berechnung der Volatilität. Siehe hierzu Anhang 6–2.

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  263. Siehe hierzu J.P. Morgan/Reuters (Technical Document, 1996), S. 97 ff. und Taylor, S. J. (Modelling, 1986), S. 103 f. und S. 110 ff.

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  264. Vgl. J.P. Morgan/Reuters (Technical Document, 1996), S. 88 ff. und Meegan, C. (Value-at-risk, 1995), S. 19 ff.

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  265. Einen Überblick geben bspw. Bollerslev, T./Chou, R. Y./Kroner, K. F. (ARCH modelling, 1992), S. 5 ff. und Pagan, A. (Econometrics, 1996), S. 15 ff.

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  266. Die Parameter (1, 1), allg. (p, q), geben die Ordnung des Prozesses an, d. h. es werdenp vergangene Werte von o und q frühere Werte von t verwendet. Bei GARCH(1,1) wird also nur auf die zuletzt beobachteten Werte zurückgegriffen. In der einschlägigen ökonometrischen Literatur werden dagegen oft komplexere Varianten als notwendig erachtet, die jedoch ein hohes Risiko der Mißspezifikation in sich bergen. Vgl. Bollerslev, T./Chou, R. Y./Kroner, K. F. (ARCH modelling, 1992), S. 10 ff. m. w. N.; Diebold, F. X./Lopez, J. A. (Volatility Dynamics, 1995), hier S. 33 f. und auch o. V. (Finanzmarktvolatilität, 1996), S. 68 ff.

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  267. Vgl. Geyer, A. L. J. (Varianz, 1994), S. 202 ff.; Geyer, A. L. J./Schwaiger W. S. A. (Volatilität, 1994), S. 242 ff. sowie Steiner, M./Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1996), S. 60 ff.; Pagan, A. (Econometrics, 1996), S. 39 ff. und Jorion, P. (Value at Risk, 1997), S. 169 ff. Folgender Hinweis zur Notation erleichert das Verständnis der vertiefend angegebenen Literatur: Die bedingte Varianz a,2 wird meist mit h, bezeichnet. Für die Parameter sind auch ao = w; a1 = a und (31 = (3 gebräuchlich. Die unbedingte Varianz ist dann h = a2.

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  268. Damit die Residuenvarianz stationär ist mußg < 1 gelten. Nur dann existiert die unbedingte Varianz, sie beträgt 62 = a0 (1 a _ß). Der Residuenprozeß ist dann trotz zeitabhängiger bedingter Varianz „weißes Rauschen“. Vgl. o. V. (Finanzmarktvolatilität, 1996), S. 68.

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  269. Zu Parameterschätzung und Testverfahren siehe Diebold, F. X./Lopez, J. A. (Forecast Evaluation, 1995), S. 1 ff. und dies. (Volatility Dynamics, 1995), S. 14 ff. Empirische Befunde über GARCH(1, 1) liegen mittlerweile für alle bedeutenden Märkte vor. Für den deutschen Markt bspw. Funke, M. (GARCH, 1994), S. 348–362; 0. V. (Finanzmarktvolatilität, 1996), S. 68 ff. und Dankenbring, H./Missong, M. (GARCH-Effekte, 1997), S. 311 ff. Dankenbring und Missong zeigen ML-Schätzungen eines GARCH(1, 1)- und eines EGARCH(1, 1)-Modelles.

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  270. Vgl. Diebold, F. X./Lopez, J. A. (Volatility Dynamics, 1995), S. 10 ff. Diese gehen auf weitere statistische Eigenschaften ein.

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  271. Vgl. Jorion, P. (Value at Risk, 1997), S. 173 ff.; Alexander, C./Leigh, C. T. (Covariance Matrices, 1997), S. 50 ff. und ausführlich J.P. Morgan/Reuters (Technical Document, 1996), S. 77 ff. Die Ergebnisse einiger demonstrierter Schätzungen liegen sehr nahe bei denen eines simplen GARCH-Modelles.

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  272. Dies ist u. a. auch erforderlich, um eine positiv definite Kovarianz-Matrix zu gewährleisten, vgl. Alexander, C./Leigh, C. T. (Covariance Matrices, 1997), S. 52 f.

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  273. Zu beachten ist insbesondere, daß das Schätzverfahren impliziert, daß die Korrelationsprognosen unabhängig vom Prognosehorizont gleich sind, sich die Korrelationen also im Zeitablauf nicht ändern (s. a. S. 434). Zur formalen Herleitung siehe Anhang 6–2.

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  274. IGARCH geht auf Nelson, D. B. (Stationarity, 1990), S. 318–334 zurück. Vgl. auch Lopez, J. A. (Volatility Models, 1995), S. 16; J.P. Morgan/Reuters (Technical Document, 1996), S. 87 und Lütkepohl, H. (Volatilitäten, 1997), S. 77. Kovarianz-Stationarität ist nur bei g < 1 gewährleistet. IGARCH(1, 1) ist daher strikt stationär, aber nicht Kovarianz-stationär. Vgl. Bollerslev, T./Chou, R. Y./Kroner, K. F. (ARCH modelling, 1992), S. 9 f. und tiefergehend Pagan, A. (Econometrics, 1996), S. 58 f.

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  275. Die Möglichkeit kombinierter Schätzverfahren diskutieren ausführlich Diebold, F. X./Lopez, J. A. (Forecast Evaluation, 1995), S. 1 ff.

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  276. Vgl. J.P. Morgan/Reuters (Technical Document, 1996), S. 90; Lütkepohl, H. (Volatilitäten, 1997), S. 79 ff.; Jorion, P. (Value at Risk, 1997), S. 177 f. und Alexander, C./Leigh, C. T. (Covariance Matrices, 1997), S. 52.

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  277. Der Betafaktor basiert auf der Trennung von systematischem und unsystematischem Risiko im Capital Asset Pricing Model (CAPM). Je höher der Betafaktor ist, desto stärker reagiert das betrachtete Wertpapier auf die allgemeine Markttendenz; Aktien mit einem (3 > 1 steigen also tendenziell überproportional, Aktien, deren (3 < 1 ist, steigen unterproportional bei einem allg. Aktienkursanstieg (positiver Markttendenz bzw. Hausse). Der Betafaktor des Marktportfolios ist definitionsgemäß 1. Insofern ist der Betafaktor ein Sensitivitätsmaß, das die Preisempfindlichkeit eines Wertpapiers oder eines Portfolios gegenüber Marktpreisschwankungen angibt. Vgl. hierzu stellvertretend für viele Schmidt, R. H. (Grundzüge, 1986), S. 165 und S. 247 ff.; Steiner, M.Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 58 ff. sowie ausführlich Elton, E. J./Gruber, M. J. (Portfolio Theory, 1995), S. 294 ff. Das CAPM wurde als Gleichgewichtsmodell entwickelt von Sharpe, W. F. (Capital Asset Prices, 1964), S. 425–442; Lintner, J. (Valuation, 1965), S. 13–37 und Mossin, J. (Equilibrium, 1966), S. 768–783.

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  278. Der Value at Risk wird dann durch Delta-Gamma-Approximation bestimmt. In der Neufassung von Grundsatz I wird ebenfalls die angemessene Berücksichtigung des Vega-Risikos verlangt. Siehe hierzu BAK (Entwurf Grundsatz I, 1997), § 28, S. 39 ff.

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  279. Siehe Dubowski, D. A. (Valuation, 1992), S. 220 ff.; Hull, J. C. (Options, 1993), S. 294 ff.; Loistl, O. (Wertpapiermanagement, 1996), S. 380 ff.; Steiner, M./Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 175 ff. und auch Jorion, P. (Value at Risk, 1997), S. 137 ff.

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  280. Vgl. hierzu und zum folgenden BAK (Entwurf Grundsatz I, 1997), § 28, S. 39 f. und Schulte-Mattler, H. (Delta-plus-Ansatz, 1996), S. 500–505.

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  281. Vgl. hierzu und zum folgenden Jorion, P. (Value at Risk, 1997), S. 127 ff.

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  282. Siehe hierzu Jorion, P. (Value at Risk, 1997), S. 128 ff.; Steiner, M./Bruns, Ch. (Wertpapiermanagement, 1995), S. 365 ff.; Scharpf, P./Epperlein, J. K. (Risikomanagement, 1995), S. 214 und ausführlich Dubowski, D. A. (Valuation, 1992), S. 297 ff.

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  283. Siehe bspw. Jorion, P. (Value at Risk, 1997), S. 129 f.

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  284. Unter der Basis versteht man die Differenz zwischen Futurepreis und Kassapreis. Sie wird zum einen im Rahmen der Bewertung als theoretisch zu erwartende rechnerische Differenz bestimmt (Carry Basis) und ergibt sich zum anderen aus der Marktsituation (Value Basis). Je geringer die Restlaufzeit ist, desto mehr gleichen sich Future-Kurs und der Kurs des Underlying an. Dies wird als Basiskonvergenz bezeichnet. Die Abweichung des Future Preises von seinem rechnerischen Fair Value ist schwer zu prognostizieren. Daher ergibt sich hier ein nur schwer quantifizierbares Risiko.

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  285. Vgl. hierzu und zum folgenden Jorion, P. (Value at Risk, 1997), S. 134 f.

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Meyer, C. (1999). Grundlagen der Risikoanalyse mit Value at Risk. In: Value at Risk für Kreditinstitute. Bank- und Finanzwirtschaft. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-08173-9_2

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