Zusammenfassung
Geht bei einer Effizienzanalyse das Interesse über eine binäre Klassifikation der Units als „effizient“ oder „ineffizient“ hinaus, so müssen graduelle Unterschiede zwischen den Units quantifiziert werden. Dies ist die Aufgabe von Effizienzmaßen.
When you can measure what you are speaking about and express it in numbers, you know something about it.
William Thomson (Lord Kelvin)
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Literatur
Merger und Humphrey (1997) beziffern in einer Analyse von 78 DEA-Fallstudien aus dem Bereich Banken den Durchschnitt derartiger Performance-Indikatoren mit 72%.
Teilweise wird in der Literatur der Definitionsbereich auf Rm+n und der Wertebereich auf R? {8} erweitert, vgl. Russell (1985). „Unmögliche“ Input-Output-Transformationen werden dann als „unendlich effizient“ aufgefaßt.
Vgl. Tabelle 3.2.
Vgl. Färe und Lovell (1978) sowie Russell (1985, 1988) und Bol (1988).
In der produktionstheoretischen Literatur beginnt die axiomatische Betrachtung von Effizienzmaßen mit Färe und Lovell (1978); vgl. auch Bol (1986) sowie Russell (1985, 1988, 1990). Cooper und Pastor (1995) formulieren ebenfalls ein Axiomensystem und bezeichnen Effizienzmaße, die diese Axiome erfüllen, als „globale Effizienzmaße“.
Vgl. auch Cooper et al. (1999) für weitere z.T. „weiche“ Anforderungen an Effizienzmaße.
Weitere Argumente liefern Fried et al. (1993, S. 13) und Coelli et al. (1998, S. 176).
Cooper et al. (1999).
Vgl. Russell (1988).
Charnes et al. (1994a).
Vgl. Ali und Seiford (1990), Pastor (1996).
Der folgende Monotoniebegriff muß sich aufgrund der hier verwendeten Definition von Effizienzmaßen von klassischen Monotoniebegriffen wie bei Färe und Lovell (1978) unterscheiden. Dort bezieht sich die Monotonie des Effizienzmaßes darauf, daß eine Input-Output-Transformation (x, y) durch eine diese dominierende Transformation (x′,y′) ersetzt wird. Ein derartiger Monotoniebegriff ist inkompatibel mit der Eigenschaft linearer Invarianz, vgl. Russell (1988).
Kerstens und Vanden Eeckaut (1995) untersuchten noch eine weitere Eigenschaft im Zusammenhang mit Monotonie, nämlich „Nicht-Monotonie bezüglich der Dimension“. Diese Eigenschaft ist erfüllt, wenn ein Effizienzmaß bei Erweiterung der Datenmatrix um ein Kriterium keine Monotonieeigenschaft aufweist, d. h. es soll (bei geeigneten Daten) möglich sein, daß sich Units durch Hinzunahme eines neuen Beurteilungskriteriums sowohl verbessern als auch verschlechtern können.
Vgl. S.81.
Die Nachweise können analog zum Nachweis anderer Monotonieeigenschaften erfolgen, vgl. Abschnitt 4.5.1.
Färe und Lovell (1978). Homogene Effizienzmaße werden in Abschnitt 4.4.1 vorgestellt.
Russell (1990) führte Stetigkeit als wünschenswerte Eigenschaft in die Axiomatik von Effizienzmaßen ein. Er verwendet verschiedene Stetigkeitsbegriffe, die Änderungen der Technologie und Datenänderungen der betrachteten Unit separat behandeln. Charnes und Zlobec (1989) untersuchen Stetigkeit (ohne die Lipschitz-Eigenschaft (4.3)) unter speziellen Störungen der Daten, die die Technologiemenge unverändert lassen.
Eine der Bedingung (4.3) genügende Funktion wird auch als „lokal Lipschitz-stetig“ bezeichnet.
Thompson et al. (1993) nennen derartige Nullwerte „strukturelle Nullen“.
Vgl. Robinson (1977).
Siehe hierzu Tabelle 4.5 auf S. 107.
Vgl. auch Russell (1990).
Teilweise werden nicht-orientierte Maße als „Graph-Effizienzmaße“ bezeichnet, da Autoren wie Färe et al. (1985, 1994) die Technologiemenge als „Graph der Technologie“ einführen. Zur Problematik der ausgewogenen Beurteilung von Inputsenkungen und Outputerhöhungen in nicht-orientierten Maßen siehe Allen und Scheel (2000).
Beispielsweise Schaffnit et al. (1997) bezeichnen die Input-Orientierung als „natural choice“ für die Effizienzmessung von Bankfilialen.
In dieser nicht-orientierten Version wurde das Maß von Briec (1997) eingeführt.
Debreu (1951) und Farrell (1957). Shephard (1953) benutzt ein ähnliches Konzept zur Definition von Isoquanten und später „Distanzfunktionen“, vgl. Shephard (1970). Auf den Zusammenhang zwischen beiden Konzepten wurde erst von Färe und Lovell (1978) sowie Charnes et al. (1978) explizit hingewiesen.
Das so definierte Maß wird auch als „Debreu-Farrell-Maß“ bezeichnet.
Charnes et al. (1978).
Die explizite Formulierung des Effizienzmaßes als Performance-Indikator greifen allerdings erst Thompson et al. (1994) und Cooper et al. (1996) auf.
Banker et al. (1984).
Banker et al. (1984).
Färe et al. (1985, Satz 6.1.1) zeigen, daß konstante Skalenerträge in der Tat eine notwendige und hinreichende Bedingung für einen derartigen inversen Zusammenhang sind.
In empirischen Anwendungen wiegt dieser Mangel allerdings nicht sehr schwer, weil solche Fälle generisch nicht vorkommen, vgl. die Ausführungen um Eigenschaft (P) auf S. 69f.
Allerdings erfüllt das Komplement (math) die auf S. 86 erwähnte Homogenitätseigenschaft, d.h. mit Yl = Yk und Xk = ?Xl gilt auch (math). Vgl. Färe und Lovell (1978).
Scheel (2000).
Ein ähnliches Maß bezeichnen Bardhan et al. (1996) als „Maß der Effizienz-Dominanz“ (MED-Maß).
Färe und Lovell (1978) führten das Komplement (math) für den Fall eindimensionaler Outputs unter der Bezeichnung „Russell-Maß“ ein; Färe et al. (1983) erweiterten das Maß auf multidimensionale Outputs. Russell (1985) selbst nennt das Maß allerdings „Färe-Lovell-Maß“.
Ihr Komplement erfüllt allerdings im Gegensatz zum äquiproportionalen Maß nicht die Homogenitätseigenschaft, vgl. Fußnote 34.
Vgl. hierzu die Untersuchungen von Kerstens und Vanden Eeckaut (1995).
Vgl. Charnes et al. (1996) und Briec (1999) für ähnlich strukturierte Probleme; in allgemeinerem Kontext auch Mangasarian (1997).
Vgl. Färe und Lovell (1978).
Vgl. Färe et al. (1985).
Vgl. auch Problem (8.1.21) und S. 205 in Färe et al. (1994).
Färe et al. (1985, S. 154).
Pastor et al. (1999).
Charnes und Cooper (1961, S.296ff.). Das additive Maß wurde später von Charnes et al. (1985) vorgeschlagen.
Es läßt sich auch ein additives Maß definieren, das die mindestens erforderliche Summe aller Verbesserungen quantifiziert; vgl. Briec (1999).
Vgl. Pastor (1994).
Vgl. Lovell und Pastor (1995).
Vgl. S.81.
Eine einfache Modifikation des Dmax-Maßes erlaubt es, auch mit diesem Maß total ineffiziente Units zu identifizieren. Dazu wird künstlich eine total ineffiziente Unit (math) eingefügt und alle Effizienzwerte durch den Effizienzwert dieser Unit dividiert. Ek/En+1 liefert Effizienzwerte zwischen 0 und 100%, wobei der Maximalwert nur von total ineffizienten Units erreicht wird.
Vgl. Lovell und Pastor (1995).
Der Nachweis kann analog zu Abschnitt 4.5.1.3 geführt werden. Eine Ausnahme ist die Translationsinvarianz, die bei der Standardabweichung gewahrt bleibt, beim Mittelwert jedoch nicht.
Vgl. Cooper und Tone (1997).
Charnes und Cooper (1984) beklagen „editorial fictions of non-existence of non-Archimedian linear programming“.
Bessent et al. (1982) setzten z.B. in ihrem Code e auf 10–6.
Vgl. hierzu die Beispiele in Ali und Seiford (1990).
Zieschang (1984).
Tone (1993).
Ali und Lerme (1991).
Andersen und Petersen (1993) führten das erste Supereffizienzmaß als äquipropor-tionales Input-orientiertes Maß ein. Die Autoren gaben keine zu (4.29) analoge explizite Definition an, sondern beschränkten sich auf die Formulierung eines linearen Programms zur Berechnung des Maßes. Wilson (1995) und Zhu (1996) kritisierten, daß dieses Programm nicht für alle Datenmatrizen lösbar ist; diese Kritik bezieht sich jedoch nicht auf das Maß selbst, das durch (4.29) bzw. orientierte Varianten wohldefiniert ist.
Robinson (1977), Lemma 2 und Theorem 1; vgl. auch Bank et al. (1982, Satz 3.1.6 u. 4.2.2).
Zur Verletzung der Translationsinvarianz in den übrigen Fällen vgl. z. B. Thrall (1996).
Scheel und Scholtes (1998) und Scheel (1999) weisen dies für Input-orientierte Maße nach; Nachweise für die Output-orientierten Maße ergeben sich analog.
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Scheel, H. (2000). Effizienzmaße. In: Effizienzmaße der Data Envelopment Analysis. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-08017-6_4
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