Eigenwertaufgaben

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir uns mit Eigenwertaufgaben, genauer mit Matrizeneigenwertaufgaben, und ihrer numerischen Behandlung beschäftigen. Es handelt sich hier darum, einen bestimmten Eigenwert, etwa einen betragsgrößten, gewisse oder alle Eigenwerte einer Matrix A ∈ ℂ^{n ×n} und eventuell die zugehörigen Eigenvektoren zu bestimmen. Allerdings werden wir uns bei den Verfahren i. allg. auf den Fall reeller Matrizen A ∈ ℝ^{n ×n} zurückziehen, auch wenn die notwendigen Modifikationen für komplexe Matrizen meistens nur gering sind. Auch bei Eigenwertaufgaben kann man kaum hoffen, ein „optimales Superverfahren“ angeben zu können, in das man lediglich als Input die gegebene Matrix hineinsteckt, und welches einem als Output die gewünschten Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren ausgibt. Neben der Aufgabenstellung (sind nur gewisse oder alle Eigenwerte zu berechnen?, sollen auch zugehörige Eigenvektoren ausgegeben werden?) wird die Struktur der gegebenen Matrix (Symmetrie, Dünnbesetztheit) bei der Auswahl eines Verfahrens eine Rolle spielen.