Bestimmte Integrale

Zusammenfassung

Wir müssen zuerst uns über einige Grundbegriffe verständigen. Dahin gehört vor allem der Begriff der Stetigkeit. Eine Grösse y, die von x abhängt, ist eine stetige Function von x, wenn y mit x, sich nur allmählich ändert, d. h. wenn die Aenderung von x sich immer so klein annehmen lässt, dass die zugehörige Aenderung von y kleiner ist als eine willkürlich gegebene Grösse ε. Diesen Charakter setzen wir vorläufig für die Functionen als Bedingung voraus. Ueber die Art der Abhängigkeit wollen wir nichts voraussetzen, auch nicht einmal, dass man aus dem x immer das y finden könne, sondern nur, dass zu jedem x ein y gehöre, und dass sich y mit x allmählich ändere. Diese Abhängigkeit wird am besten durch geometrische Curven repräsentirt, für welche x und y die rechtwinkligen Coordinaten bilden. Es braucht dabei nicht einmal ein festes Gesetz für die Curven bekannt zu sein, sondern die Curven, die wir behandeln, sind oft sehr unregelmässig. Die Stetigkeit drückt sich dann dadurch aus, dass die Curve in einem ununterbrochenen Zuge fortgeht.