Theoretischer Ansatz zur Beschreibung von Alkalien

Zusammenfassung

Im folgenden wird versucht, zu einer über das Schalenmodell hinausgehenden Beschreibung von Alkalien zu gelangen. Hierzu benützen wir ein zunächst allgemein gültiges Verfahren, das N + 1-Körperproblem mit Hilfe der als bekannt vorausgesetzen Wellenfunktionen des N-Körperproblems in einen Satz von gekoppelten Einteilchengleichungen umzuformen [L 11]:

Beschreibe

$$H\psi = E\psi (1..N + 1)$$

(1)

das N + 1-Körperproblem, H (1.. N + 1) sei also der Hamiltonoperator der N + 1 Partikel und Ψ(1..N + 1) die zugehörige Wellenfunktion und

$${H_0}{\varphi _k} = E_k^0{\varphi _k}(1..N)$$

(7)

das entsprechende N-Körperproblem, φ_k (1.. N) seien die als vorgegeben gedachten Eigenfunktionen des Rumpfproblems. Bilden die φ_k (1..N) ein vollständiges System des 3 N-dimensionalen Funktionenraumes, so ist für jede Funktion X (1.. N + 1) die Entwicklung

$$X = \sum\limits_k {{\varphi _k}(1. .N} ){v_k}(N + 1)$$

(8)

möglich, und man kann in voller Allgemeinheit

$$\psi = \sum\limits_k {A{\varphi _k}(1..N)} {v_k}(N + 1)$$

(9)

schreiben. Die Einführung des Antisymmetrisierungsoperators A ist hier nicht notwendig, erweist sich aber für das Folgende als praktische Konvention, da sie für jeden Summanden in (9) automatisch die Erfüllung des Paulischen Ausschlußprinzips garantiert. Einsetzen von (9) in (1), Multiplikation mit φ_i* (1.. N) und Integration über die Variablen 1 bis N führt zu einem System von gekoppelten Integro-Differentialgleichungen für die »Einteilchenfunktionen« v_k

$$\sum\limits_k {\int {{\varphi _k}*(H - E)A{\varphi _k}{v_k}{d^3}{x_1}..{d^3}{x_N} = 0{\kern 1pt} i = 0,1,2..} } $$

(10)