Lebesgue-integrierbare Funktionen

Zusammenfassung

Nachdem wir das Integral zunächst für stetige Funktionen mit kompaktem Träger und dann für halbstetige Funktionen definiert hatten, erweitern wir jetzt den Integralbegriff noch einmal auf die sog. Lebesgue-integrierbaren Funktionen. Dazu definieren wir zunächst für beliebige Funktionen ein Ober- und Unterintegral. Funktionen, für die beide Integrale übereinstimmen, heißen Lebesgue-integrierbar. Der Unterschied zur analogen Vorgehensweise in Analysis 1 bei der Definition der Riemann-integrierbaren Funktionen ist der, daß jetzt Ober-und Unterintegral mit Hilfe der halbstetigen Funktionen anstelle der Treppenfunktionen definiert werden. Die Vorzüge des Lebesgueschen Integralbegriffs gegenüber dem Riemannschen werden wir insbesondere bei der Behandlung der Konvergenzsätze kennenlernen.