Transformationen

Zusammenfassung

In Teil II führte die formelle Einführung des „Operators“ D bei simultanen Dgl.-Gleichungssystemen auf ein entsprechendes algebraisches Gleichungssystem, wodurch sich für dessen Auflösung wesentliche Vereinfachungen ergaben. Es soll nun versucht werden, einen anderen Weg zu finden, um zu expliziten (algebraischen) Darstellungen für Differential- und Integrodifferentialgleichungssysteme zu gelangen. Bei der Behandlung von vielen physikalischen Problemen kommt man mit Hilfe einer Transformation (Abbildung) schneller zu den gewünschten Aussagen. So stellt z.B. die konforme Abbildung ein unentbehrliches Hilfsmittel bei der Behandlung von ebenen Potentialfeldern dar. Wir stellen uns deshalb die Frage: Gibt es Transformationen, welche die transzendenten linearen Dgl. in (explizite) algebraische Gleichungen überführen und wie müssen diese beschaffen sein? Diese Fragestellung veranlaßt uns, etwas allgemeiner auf den Transformationsgedanken einzugehen. Wir führen hierzu die sogenannte „Funktionaltransformation“ ein und gelangen dabei auch zu den (abstrakten) Räumen. Diese Darstellungen gewinnen immer mehr Bedeutung für die Charakterisierung von modernen ingenieurwissenschaftlichen Aufgaben. Die nachfolgende kurze Behandlung der ersten beiden Abschnitte kann jedoch nur einen knappen überblick über die grundlegenden Gedanken und ihre Zusammenhänge vermitteln; sie ist daher als Anregung gedacht. Der Leser, der sich nicht mit diesen erweiterten Zusammenhängen beschäftigen möchte, kann die beiden ersten Abschnitte überschlagen, ohne dabei im weiteren Text auf erhebliche Schwierigkeiten zu stoßen. In den anschließenden Abschnitten III.3 bis III.6 befassen wir uns mit der Darstellung von Systemen im Zustandsraum und einigen damit zusammenhängenden Problemen. Diese Betrachtungen sind allerdings für die moderne Behandlung von Regelungsproblemen fundamental.