Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden zunächst das Wiener-Maß auf der sigma-Algebra der Borelmengen von C[0,1] und damit einhergehend der Wiener-Prozess definiert. Der Nachweis der Existenz des Wiener-Maßes erfolgt in zwei Schritten: Zuerst wird die Konvergenz aller endlichdimensionalen Verteilungen (fidis) eines auf unabhängigen und identisch verteilten zentrierten, quadratisch integrierbaren Summanden gründenden Partialsummenprozesses nachgewiesen. In einem zweiten Schritt wird die Straffheit dieses Partialsummenprozesses gezeigt. Der Satz von Donsker besagt, dass die Folge der Partialsummenprozesse in Verteilung gegen den Wiener-Prozess konvergiert, sofern die Verteilung der Summanden nicht ausgeartet ist. Weitere Themen dieses Kapitels sind der funktionale zentrale Grenzwertsatz, die Karhunen-Loéve-Entwicklung des Wiener-Prozesses, das starke Gesetz großer Zahlen für den Wiener-Prozess sowie die Brown’sche Brücke.
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Notes
- 1.
Nasrollah Etemadi (*1945), emeritierter Prof. an der University of Illinois, Chicago. Mit seinem Namen ist auch ein einfacher Beweis des starken Gesetzes großer Zahlen verknüpft. Hauptarbeitsgebiet: Wahrscheinlichkeitstheorie.
- 2.
Monroe David Donsker (1924–1991), US-amerikanischer Mathematiker, ab 1962 Professor am Courant Institute of Mathematical Sciences der New York University. Hauptarbeitsgebiet: Wahrscheinlichkeitstheorie.
- 3.
Kari Karhunen (1915–1992), finnischer Stochastiker, promovierte 1947 mit der auf Deutsch verfassten Arbeit „Über lineare Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung“. Im Jahr 1963 übernahm er die Leitung des Versicherungsunternehmens SUOMI.
- 4.
Michel Loève (1907–1979), Promotion 1941 an der École Polytechnique, nach Verhaftung durch die deutschen Besatzer arbeitete er am Institut Henri Poincaré in Paris und 1946–1948 an der Universität London, ab 1948 Professor für Mathematik an der University of California, Berkeley. Hauptarbeitsgebiet: Wahrscheinlichkeitstheorie.
- 5.
James Mercer (1883–1932), britischer Mathematiker. Hauptarbeitsgebiet: Analysis.
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Henze, N. (2024). Wiener-Prozess, Satz von Donsker und Brown’sche Brücke. In: Asymptotische Stochastik: Eine Einführung mit Blick auf die Statistik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-68446-7_15
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