Zusammenfassung
Kapitel 9 behandelt die Theorie der Fourierreihen, der man überhaupt die Entwicklung des Integralbegriffs verdankt, sowie die Fouriertransformation. Die Anwendungen sind vielfältig und werden nur stichwortartig aufgeführt: Satz von Riesz-Fischer, isoperimetrische Ungleichung, Dirichletproblem in Kreisscheiben, Umkehrung der Fouriertransformation, Wärmeleitungsgleichung, Black-Scholes-Formel, Heisenbergsche Unschärferelation, Poissonsche Summenformel, Abtasttheorem von Shannon. Das Kapitel wird beschlossen mit einer kurzen Einführung in die Hilbertraumtheorie. Die Fourieranalysis kann einerseits als eine Wegbereiterin der Funktionalanalysis angesehen werden, und als ein Hilfsmittel in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen andererseits.
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Notes
- 1.
Auch Problem der Dido genannt; Dido war die mythologische Gründerin von Karthago.
- 2.
Die Aussage \(\Delta \textrm{Re} \,(cz^k)=0\) kann wesentlich verallgemeinert werden. Ist \(f=u+iv\) holomorph in einem Gebiet D, so gilt \(u,v\in \mathcal C^\infty (D)\) und \(u_x=v_y\) und \(u_y=-v_x\), somit \(u_{xx}=v_{yx}=v_{xy}=-u_{yy}\), also \(\Delta u=0\), und genauso \(\Delta v=0\) (s. das Kapitel Einführung in die Funktionentheorie).
- 3.
Zur Erinnerung: Für \(f,g\in \mathcal {L}^1(\mathbb {R}^n)\) existiert \((f*g)(\mathfrak {x})\) für fast alle \(\mathfrak {x}\in \mathbb {R}^n\) und es ist \(f*g\in \mathcal {L}^1(\mathbb {R}^n)\) sowie \(f*g=g*f\) f.ü..
- 4.
Dies drückt die Stetigkeit dieser Transformation aus: \(\Vert \hat{f}-\hat{g}\Vert _\infty \le \Vert f-g\Vert _1\).
- 5.
Eigentlich eine stochastische Differentialgleichung; das zu erläutern würde allerdings zu weit führen.
- 6.
Auch WKS-Theorem genannt, nach Whittaker-Kotelnikov-Shannon; man könnte noch die Namen Küpfmüller, Nyquist, Raabe, Someya und vielleicht noch mehr hinzufügen.
- 7.
Die Folge \((f(k))_{k\in \mathbb {Z}}\) heißt digitales Signal von f.
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Steinmetz, N. (2024). Fourieranalysis. In: Analysis. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-68086-5_9
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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