Zusammenfassung
Kapitel 8 ist dem (mehrdimensionalen) Lebesgue-Integral gewidmet. Nach den Vorarbeiten des fünften Kapitels kommt es sehr schnell zu den typisch mehrdimensionalen Sätzen von Fubini und Tonelli und der Transformationsformel. Diese Sätze werden durch viele nichttriviale Beispiele und Anwendungen erläutert. Diskutiert werden weiterhin die Vollständigkeit der \(\mathcal {L}^p\)-Räume, die Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Parameterintegralen, die Faltung integrierbarer Funktionen und die Approximation durch \(\mathcal C^\infty \)-Funktionen – paradoxerweise mittels ‘Glättung durch Faltung’. Für die Entwicklung einer allgemeinen Maß- und Integrationstheorie sind alle Grundlagen vorbereitet.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Notes
- 1.
\(h(t)=e^{-|t|}\) ist eindimensional (Lebesgue-)integrierbar, somit ist \(H(\mathfrak {x})=h(x_1)\cdots h(x_n)=e^{-|\mathfrak {x}|_1}\) in \(\mathcal {L}(\mathbb {R}^n)\) und \(\int H=\int h\cdots \int h\).
- 2.
Diese Voraussetzung ist unentbehrlich, wie das Beispiel \(E_k=(0,1/k)\times \mathbb {R}\subset \mathbb {R}^2\) zeigt, wo \(\bigcap _{k\in \mathbb {N}} E_k=\emptyset \), aber \(\lambda ^2(E_k)=\infty \) ist.
- 3.
Nachfolgende elegante Schlussweise ist W. Walter, Analysis 2, Springer-Lehrbuch 1990 entnommen.
- 4.
Die Bezeichnung ist so gewählt, dass die nördliche Breite im Gradmaß von \(0^\circ \) bis \(90^\circ \), die südliche von \(0^\circ \) bis \(-90^\circ \) gezählt wird, und die geographische Länge positiv nach Osten bis \(180^\circ \) (Datumsgrenze) und negativ nach Westen bis \(-180^\circ \).
- 5.
p und q heißen zueinander konjugierte Exponenten.
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Rights and permissions
Copyright information
© 2024 Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature
About this chapter
Cite this chapter
Steinmetz, N. (2024). Das Lebesgue-Integral. In: Analysis. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-68086-5_8
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-68086-5_8
Published:
Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-68085-8
Online ISBN: 978-3-662-68086-5
eBook Packages: Life Science and Basic Disciplines (German Language)