Zusammenfassung
Dieses Kapitel kehrt zur Analysis zurück. Behandelt wird die mehrdimensionale Differentialrechnung bis hin zum Satz über implizite Funktionen und seinen Anwendungen, insbesondere der Behandlung des Problemkreises ‘Extrema unter Nebenbedingungen’. Dabei wird ausführlich vom Matrizenkalkül Gebrauch gemacht. Den Abschluss bildet ein Abschnitt über Kurvenintegrale und ein Beweis des Lemmas von Poincaré über die lokale Existenz von Stammfunktionen von Vektorfeldern. Der naheliegende Vergleich der Differenzierbarkeitsbegriffe für reelle 2-dimensionale Vektorfelder einerseits und komplexwertige Funktionen einer komplexen Veränderlichen andererseits führt unmittelbar zu den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und der lokalen Cauchyschen Integralformel, der Grundlage der Funktionentheorie.
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Notes
- 1.
\(o(\mathfrak {h})\) bezeichnet hier einen n-dimensionalen Vektor mit Einträgen der Größenordnung \(o(|\mathfrak {h}|)\).
- 2.
Wie immer, wenn differenziert werden muss, ist \(|\mathfrak {x}|^2\) der Norm \(|\mathfrak {x}|\) vorzuziehen.
- 3.
Wir übernehmen hier die Wertung der IBM-Tafel Bedeutende Mathematiker von Charles Eames, Ray Eames und Ray Redheffer.
- 4.
Dies kann durch D ist sternförmig ersetzt werden (was aber auch nicht der Weisheit letzter Schluss ist), wie aus dem Beweis folgt. Dabei heißt D sternförmig bezüglich \(\mathfrak {x}_0\), wenn mit beliebigem \(\mathfrak {x}\in D\) die ganze Strecke \(\overline{\mathfrak {x}_0 \mathfrak {x}}\) in D liegt.
- 5.
Dies kann man im vorliegenden Fall elementar beweisen,
$$H(z+h)-H(z)-h{\int }_{\gamma _r}\frac{d\zeta }{(\zeta -z)^{2}}={\int }_{\gamma _r}\frac{h^2}{(\zeta -z-h)(\zeta -z)^2}\,d\zeta =O(|h|^2)\quad (h\rightarrow 0),$$oder im Kapitel Das Lebesgue-Integral unter dem Stichwort Parameterintegrale nachlesen.
- 6.
wegen \(\displaystyle \Big |\frac{z-z_0}{\zeta -z_0}\Big |=\frac{|z-z_0|}{r}<1\) und \(|f(\zeta )|\le M\).
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Steinmetz, N. (2024). Mehrdimensionale Differentialrechnung. In: Analysis. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-68086-5_7
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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