Zusammenfassung
Eingeführt und behandelt werden im Rahmen der normierten und metrischen Räume die für den weiteren Verlauf wichtigen topologischen Grundbegriffe sowie, mehr oder weniger als Wiederholung des dritten Kapitels, die stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen. Den vollständigen, den kompakten und den zusammenhängenden metrischen Räumen und ihren stetigen Transformationen sind eigene Abschnitte gewidmet. Eine frühere, eventuell ökonomischere Behandlung der topologischen Grundbegriffe scheitert am Mangel vernünftiger nichttrivialer Beispiele, die dringend angesichts der abstrakten und vielfach der Vorstellung scheinbar widersprechenden Begriffe benötigt werden.
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Notes
- 1.
Spielt die Vektoreigenschaft von \(\mathfrak {x}\) keine Rolle, so wird sogar nur \(\mathfrak {x}= (x_1,x_2,\ldots ,x_n)\) geschrieben, z. B. dann, wenn Funktionen \(f(\mathfrak {x})=f(x_1,x_2,\ldots ,x_n)\) betrachtet werden. Ansonsten ist zwischen dem Punkt \((x_1,\ldots ,x_n)\) und dem Vektor \(\left( \!\begin{array}{c} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{array}\!\right) \) zu unterscheiden.
- 2.
Was nicht immer der Fall ist, wie z. B. in \(\mathbb {Q}^n\).
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Steinmetz, N. (2024). Metrische und normierte Räume. In: Analysis. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-68086-5_6
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-68086-5_6
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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