Zusammenfassung
Im vorliegenden Kapitel wird ein gewisser Abschluss der eindimensionalen Analysis erreicht. Das Riemann-Integral wird definiert und seine Eigenschaften werden bis zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung hergeleitet. Die genaue Abgrenzung seines Gültigkeitsbereichs (‘fast überall stetig’), die üblicherweise Lebesgue zugeschrieben wird, gelingt mit der bereits von Riemann verwendeten Methode. Im Anschluss daran, aber immer noch in diesem Kapitel, wird das eindimensionale Lebesgue-Integral eingeführt und mit dem Riemann-Integral verglichen. Der Aufbau ist dabei so angelegt, dass er unmittelbar und ohne Änderung der Argumentation auf den mehrdimensionalen Fall, behandelt im Kapitel über das Lebesgue-Integral im \(\mathbb {R}^n\), übertragen werden kann. Damit wird auch der zuweilen aufkommenden Meinung entgegengetreten, das Riemann-Integral sei ein typisch eindimensionales, das Lebesgue-Integral aber ein mehrdimensionales Phänomen. Beschlossen wird dieses Kapitel mit einer kurzen Besprechung des Riemann-Stieltjes-Integrals und der Funktionen von endlicher Variation.
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Notes
- 1.
In der späteren Formulierung von Lebesgue lautet der Satz in Kurzform so: „\(f\in \mathcal {R}[a,b] \Leftrightarrow U\) hat Lebesgue-Maß Null“. Dies ergibt sich so: zu \(\epsilon >0\) werden endlich viele \(U_n\) überdeckende offene Intervalle der Gesamtlänge \(<\epsilon 2^{-n}\) gewählt. Alle Intervalle zusammengenommen (endlich oder abzählbar viele) überdecken U und ihre Gesamtlänge ist \(<\sum \limits _{n=1}^\infty \epsilon 2^{-n}=\epsilon \); das ist aber gerade die Definition einer Menge vom Maß Null. Die Benennung auch nach Riemann ist also sicherlich berechtigt.
- 2.
Im Schulunterricht ist es sowohl legitim als auch angemessen, von der Flächenfunktion F(x) (dem Flächeninhalt des zwischen der x-Achse und dem Graphen einer stetigen Funktion \(f:[a,b]\longrightarrow [0,\infty )\) gelegenen Bereichs) zu sprechen, die vollkommen plausible Intervall-Additivität in der Form
$$m\varDelta x \le F(x+\varDelta x)-F(x)\le M\varDelta x$$zu benutzen, wobei m bzw. M das Minimum bzw. Maximum von f auf \([x,x+\varDelta x]\) ist, wegen \(m\rightarrow f(x)\) und \(M\rightarrow f(x)\) für \(\varDelta x\rightarrow 0\) auf den Hauptsatz \(\displaystyle f(x)=\lim _{\varDelta x\rightarrow 0}\frac{F(x+\varDelta x)-F(x)}{\varDelta x}=F'(x)\) zu schließen, sogleich den Begriff der Stammfunktion einzuführen (aber nicht auch noch den Begriff ‘Integralfunktion’ und den Nonsense-Begriff ‚Aufleiten‘) und \(\int _a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)\) zu schreiben. Danach können leicht stetige und auch stückweise stetige Funktionen beliebigen Vorzeichens integriert werden.
- 3.
Es genügt zu fordern, dass \(f^{(n+1)}\) integrierbar ist.
- 4.
Vorlesungen über Funktionalanalysis, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1971.
- 5.
Was schon bekannt ist und hier noch einmal bewiesen wird.
- 6.
In verschiedenen Textbüchern wird von beschränkter Variation gesprochen. Aber die Variation \(\textbf{V}_{ab}(g)\) ist entweder endlich oder unendlich, keinesfalls beschränkt oder unbeschränkt.
- 7.
Es gibt gute Gründe anzunehmen, dass der Stand der Wissenschaft im Hellenismus erst wieder im 16./17. Jahrhundert erreicht wurde.
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Steinmetz, N. (2024). Riemann- und Lebesgue-Integral. In: Analysis. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-68086-5_5
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-68086-5_5
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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