Zusammenfassung
Das vierte Kapitel beschäftigt sich mit der eindimensionalen Differentialrechnung bis zum Satz von Taylor und den üblichen Anwendungen, die unter dem Begriff ‘Kurvendiskussion’ zusammengefasst werden. Abgeschlossen wird das Kapitel mit einigen Bemerkungen zur ‘Technik des Integrierens’, wobei mit Integrieren die Bestimmung einer Stammfunktion gemeint ist, ein Thema, das mehr der Differential- als der Integralrechnung zuzurechnen ist.
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Notes
- 1.
Auch große Geister irren sich manchmal: Leibniz’ erster Ansatz war \(d(uv)=dudv\); er bemerkte aber bald, dass dudv gegenüber du und dv „unendlich klein“ ist.
- 2.
Das erste Beispiel dazu geht wohl auf Bolzano, ein anderes auf Weierstraß zurück. Das hier behandelte Beispiel ist dem in F. Riesz und B. Nagy, Vorlesungen über Funktionalanalysis, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1971 dargestellten nachempfunden.
- 3.
Diese Bedingung ist aber nicht notwendig, wie \(f(x)=x^3\) auf \(\mathbb {R}\) zeigt; f ist streng monoton wachsend, aber es ist \(f'(0)=0\).
- 4.
Achtung: In vielen Fällen sind f und g durch Potenzreihen um \(a=0\) gegeben oder man kann sich die Anfänge der Potenzreihenentwicklungen leicht verschaffen. Damit ist \(\lim \limits _{x\rightarrow 0}\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\) schnell auszurechnen. Als (abschreckendes) Beispiel wird die Berechnung von \(\lim \limits _{x\rightarrow 0}\displaystyle \frac{\sinh (\sin x)-\sin (\sinh x)}{x^7}\) empfohlen; die Lösung ist implizit im Abschnitt über Potenzreihen zu finden. Auch liefert die Regel nicht immer etwas Sinnvolles wie z. B. im Fall von \(\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow \infty }\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\). Oder doch? Was genau liefert die Regel hier?
- 5.
Tatsächlich werden alle aus einer, der Exponentialfunktion abgeleitet – eine für alle.
- 6.
Und geht somit weit über den Zweck hinaus, die Abiturprüfung Mathematik für möglichst alle bestehbar zu machen.
- 7.
Die eindeutige Lösbarkeit ergibt sich aus der Tatsache, dass mit \(P(x)\equiv 0\) auch \(P_1(x)\equiv P_2(x)\equiv 0\) gilt, d. h. dass das zugehörige homogene Gleichungssystem nur die triviale Lösung besitzt. Dieser Schritt ist natürlich nur durchzuführen wenn mehrfache Nullstellen auftreten; dies erkennt man an \(\mathrm{Grad\,}Q>\mathrm{Grad\,}Q_1\).
- 8.
Präsident der Society und wohl auch Verfasser des unabhängigen Kommissionsberichts war Newton selbst; Leibniz war Mitglied der Royal Society, durfte aber in eigener Sache nicht Stellung nehmen! Die zeitliche Priorität liegt sicherlich bei Newton (unveröffentlicht), der gegen Leibniz erhobene Plagiatsvorwurf entbehrt nach allgemeiner Ansicht aber jeder Grundlage.
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Steinmetz, N. (2024). Eindimensionale Differentialrechnung. In: Analysis. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-68086-5_4
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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