Zusammenfassung
Am Beispiel der reellen Funktionen einer reellen Veränderlichen wird der Grenzwertbegriff weiterentwickelt. Insbesondere werden die grundlegenden Eigenschaften stetiger Funktionen in diesem Fall hergeleitet und diskutiert. Zum ersten Mal taucht dabei die immer wiederkehrende Frage auf, unter welchen Umständen Grenzwertbildungen vertauscht werden dürfen. Dem in all seinen Ausprägungen als schwierig empfundenen Begriff der Gleichmäßigkeit wird besondere Aufmerksamkeit gewidmet. Die elementaren Funktionen (Exponentialfunktion, Logarithmus, Sinus und Cosinus) werden mittels Potenzreihen bereits jetzt eingeführt und ihre wichtigsten Eigenschaften hergeleitet, um zur Einübung der Begriffe und Erläuterung der Methoden und Sätze nichttriviale Beispiele zur Hand zu haben.
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Notes
- 1.
Die Gleichung \(x^2+px+q=0\) hat die reellen Lösungen \(x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\), sofern nur \(\frac{p^2}{4}-q\ge 0\) ist; soweit die aus der Schule bekannte Formel. Diese Formel soll nicht auswendig gelernt, vielmehr das quadratische Ergänzen \(x^2+px+q=\big (x+\frac{p}{2}\big )^2-\frac{p^2}{4}+q\) geübt werden.
- 2.
Bisher wurden alle Ergebnisse punktweise oder auf einen Schlag im ganzen Intervall gewonnen. Was sich hier andeutet ist aber eher typisch für die Analysis: Eine Eigenschaft, wie hier die gleichmäßige Konvergenz, kann nicht global im ganzen Intervall, sondern nur lokal bewiesen werden, und trotzdem hat sie die globale Gültigkeit einer anderen Eigenschaft, hier der Stetigkeit, zur Folge. Dies liegt daran, dass die Stetigkeit selbst eine lokale Eigenschaft ist.
- 3.
Nullstellen spezieller quadratischer Polynome \(z^2+pz+q\) wurden schon in Mesopotamien berechnet. Dass in \(z_{1,2}=-p/2\pm \sqrt{p^2/4-q}\) (p, q reell) auch negative Radikanden auftreten war aber nicht der Grund für das Interesse an den komplexen Zahlen. Vielmehr ergibt sich Merkwürdiges bei Polynomen dritten Grades \(z^3+2pz+3q\); sie haben drei Nullstellen, die sich formelmäßig angeben lassen: \(z_1=u_1+u_2,\) \(z_2=f_1u_1+f_2u_2,\) und \(z_3=f_2u_1+f_1u_2\) (Formeln von Cardano), wobei \(u_{1,2}=\root 3 \of {-q\pm \sqrt{D}}\) mit \(D=p^3+q^2\) gilt und \(f=f_{1,2}\) die Gleichung \(f^2+f+1=0\) löst. Speziell für reelle p und q mit \(D<0\) sind aber die Nullstellen \(z_j\) reell, dennoch werden sie durch Ausdrücke dargestellt, die Wurzeln aus negativen Zahlen enthalten. Ebenso ist keine der Zahlen \(f_{1,2}\) reell.
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Steinmetz, N. (2024). Grenzwert und Stetigkeit. In: Analysis. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-68086-5_3
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-662-68086-5
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