Zusammenfassung
In Kapitel 12 werden, gestützt auf den bereits im siebten Kapitel en passant gefundenen lokalen Integralsatz von Cauchy und den darauf basierenden globalen Integralsatz, in schneller Abfolge die wichtigsten analytischen und geometrischen Eigenschaften der holomorphen Funktionen hergeleitet. Ein Novum für ein einführendes Analysisbuch (und selbst für einschlägige Bücher) bedeutet die Darstellung des Dixonschen Beweises des allgemeinen Cauchyschen Integralsatzes und des Residuensatzes, wenngleich diese Themen in einer eigenständigen Vorlesung besser aufgehoben sind.
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Notes
- 1.
Zur Erinnerung: Reellwertige \(\mathcal {C}^2\)-Funktionen in einem Gebiet D, welche die Laplacegleichung \(\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0\) erfüllen, heißen harmonisch (vgl. auch 10.5). Aus den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen \(u_x=v_y\), \(u_y=-v_x\) folgt, dass Real-und Imaginärteil einer holomorphen Funktion harmonisch sind: Es ist \(u_{xx}=v_{yx}=v_{xy}=-u_{yy}\), d. h. \(\Delta u=0\) und ebenso \(\Delta v=0\).
- 2.
Nach Definition von \(\chi \) sind \(\sigma \) und \(\sigma ^{-1}\) stetig, somit ist \((\widehat{\mathbb {C}},\chi )\) ein kompakter metrischer Raum. Man nennt allgemein den Vorgang, aus einem nichtkompakten metrischen Raum durch Hinzufügen eines neuen Punktes und Einführung einer neuen, mit der vorhandenen lokal vergleichbaren Metrik einen kompakten Raum zu konstruieren, Ein-Punkt- oder Alexandroff-Kompaktifizierung.
- 3.
Von einer marginalen, eigentlich überhaupt nicht erwähnenswerten Erweiterung auf sogenannte sternförmige Gebiete abgesehen; dabei heißt ein Gebiet D sternförmig bezüglich \(z_0\in D\), wenn jeder Punkt \(z\in D\) mit \(z_0\) gradlinig in D verbunden werden kann.
- 4.
J. Dixon, A brief proof of Cauchy’s integral theorem, Proc. AMS 29 (1971), 625–626.
- 5.
Immer dann, wenn eine holomorphe Wurzel gebildet werden kann, erhält man eine konforme Abbildung; es gibt ja eine explizite Umkehrabbildung!
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Steinmetz, N. (2024). Einführung in die Funktionentheorie. In: Analysis. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-68086-5_12
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-68086-5_12
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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