Zusammenfassung
Das zehnte Kapitel beschäftigt sich im ersten Teil mit Flächen und Mannigfaltigkeiten und der Integration von Funktionen und Vektorfeldern über diese Objekte. Dies geschieht auch als Vorbereitung für den zweiten Teil, der im Wesentlichen in der Herleitung des Integralsatzes von Gauß-Ostrogradski besteht. In einem Anhang werden die Elemente der klassischen Differentialgeometrie im dreidimensionalen Raum und der Kartographie behandelt. Wie auch das vorige Kapitel deutet dieses in zwei Richtungen: Differentialgeometrie und partielle Differentialgleichungen.
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Notes
- 1.
Schneller geht es so: Die Menge \(A=\{\mathfrak {x}:u(\mathfrak {x})=M\}\) ist, wie gerade gezeigt wurde, offen. Ihr Komplement \(D\setminus A=\{\mathfrak {x}:u(\mathfrak {x})<M\}\) ist es trivialerweise allein aus Stetigkeitsgründen. Da D zusammenhängend und u nicht konstant ist, ist \(A=\emptyset \).
- 2.
leicht umformuliert. Es ist \(\left( \!\begin{array}{c}v\\ -u \end{array}\!\right) \cdot \mathfrak {n}\,ds=\left( \!\begin{array}{c}v\\ -u \end{array}\!\right) \cdot \left( \!\begin{array}{c}\gamma _2'(t)\\ -\gamma _1'(t) \end{array}\!\right) \,dt=vdy+udx\).
- 3.
Von Gauß während der unter seiner Leitung durchgeführten Vermessung Norddeutschlands empirisch entdeckt bzw. vermutet.
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Steinmetz, N. (2024). Integralsätze und Vektoranalysis. In: Analysis. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-68086-5_10
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-68086-5_10
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-662-68086-5
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