Determinanten von Matrizen

Zusammenfassung

Die Determinante ist eine Abbildung, die jeder quadratischen Matrix $A\in R^{n,n}$, wobei R ein kommutativer Ring mit Eins ist, ein Element des Rings R zuordnet. Diese Abbildung hat interessante und wichtige Eigenschaften. Unter anderem erhalten wir durch sie eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine Matrix $A\in R^{n,n}$ invertierbar ist. Zudem bildet die Determinante die Grundlage für die Definition des charakteristischen Polynoms von Matrizen in Kap. 8. In der analytischen Geometrie tritt die Determinante bei der Berechnung von Volumen einfacher (polyedrischer) Mengen auf und in der Analysis mehrerer Veränderlicher spielt sie eine wichtige Rolle in Transformationsformeln von Integralen.

Aufgaben

• 7.1 Falls es für $\sigma \in S_n$ eine Teilmenge $\{ i_1, \ldots , i_r \} \subseteq \{ 1, 2, \ldots , n \}$ mit $r\ge 1$ Elementen und $\sigma (i_k) = i_{k+1} \;\text { f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r }\; k=1,2,\ldots , r-1, \quad \sigma (i_r) = i_1, \quad \sigma (i) = i \;\text { f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r }\; i \notin \{ i_1, \ldots , i_r \},$ gibt, so nennen wir $\sigma$ einen Zykel (genauer einen r-Zykel). Wir schreiben einen r-Zykel als $\sigma = (i_1, i_2, \ldots , i_r)$. Insbesondere ist eine Transposition $\tau \in S_n$ ein 2-Zykel.

  • (a) Seien für $n=4$ die 2-Zykel $\tau _{1,2} = (1, 2)$, $\tau _{2,3} = (2, 3)$ und $\tau _{3,4}= (3, 4)$ gegeben. Berechnen Sie $\tau _{1,2} \circ \tau _{2,3}$, $\tau _{1,2} \circ \tau _{2,3} \circ \tau _{1,2}^{-1}$ und $\tau _{1,2} \circ \tau _{2,3} \circ \tau _{3,4}$.

  • (b) Seien $n \ge 4$ und $\sigma = ( 1, 2, 3, 4)$. Berechnen Sie $\sigma ^j$ für $j=2,3,4,5$.

  • (c) Zeigen Sie, dass die Inverse des Zykels $(i_1,\dots ,i_r)$ durch $(i_r,\dots ,i_1)$ gegeben ist.

  • (d) Zeigen Sie, dass zwei elementfremde Zykel, d. h. Zykel $(i_1,\dots ,i_r)$ und $(j_1,\dots ,{j_s})$ mit , kommutieren.

  • (e) Zeigen Sie, dass jede Permutation $\sigma \in S_n$ als ein Produkt von elementfremden Zykeln geschrieben werden kann, die bis auf ihre Reihenfolge eindeutig durch $\sigma$ bestimmt sind.

• 7.2 Beweisen Sie Lemma 7.10 (1) mit Hilfe der Signaturformel (7.1).

• 7.3 Zeigen Sie folgende Aussagen über den Gruppenhomomorphismus $\textrm{sgn}\!:\!(S_n,\circ )\rightarrow (\{1,-1\},\cdot )$:

  • (a) Die Menge $A_n = \{ \sigma \in S_n \,\vert \, {{\,\textrm{sgn}\,}}(\sigma ) = 1 \}$ ist eine Untergruppe von $S_n$ (vgl. Aufgabe 3.8).

  • (b) Für alle $\sigma \in A_n$ und $\pi \in S_n$ gilt $\pi \circ \sigma \circ \pi ^{-1} \in A_n$.

• 7.4 Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen:

  • (a) $[e_n,e_{n-1},\,\ldots ,\,e_1] \in \mathbb Z^{n,n}$, wobei $e_i$ die i-te Spalte der Einheitsmatrix ist.

  • (b)
    $$\begin{aligned} A &=\begin{bmatrix} 1 &{} 1 &{} 1 &{} 1 &{} \cdots &{} 1\\ 1 &{} 2 &{} 2 &{} 2 &{} \cdots &{} 2\\ 1 &{} 2 &{} 3 &{} 3 &{} \cdots &{} 3\\ 1 &{} 2 &{} 3 &{} 4 &{} \cdots &{} 4\\ \vdots &{} \vdots &{} \vdots &{} \vdots &{} \ddots &{} \vdots \\ 1 &{} 2 &{} 3 &{} 4 &{} \cdots &{} n\end{bmatrix}\in \mathbb Z^{n,n},\\ B &= [b_{ij}] \in \mathbb Z^{n,n}\;\;\text {mit}\;\; b_{ij} = {\left\{ \begin{array}{ll} 2 &{} \text { f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r }\; |i-j| = 0, \\ -1 &{} \text { f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r }\; |i-j| = 1, \\ 0 &{} \text { f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r }\; |i-j| \ge 2, \end{array}\right. }\\ C &= \begin{bmatrix} 1 &{} 0 &{} 1 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0 \\ e &{} 0 &{} e^\pi &{} 4 &{} 5 &{} 1 &{} \sqrt{\pi } \\ e^2 &{} 1 &{} \frac{17}{31} &{} \sqrt{6} &{} \sqrt{7} &{} \sqrt{8} &{} \sqrt{10} \\ e^3 &{} 0 &{} -e &{} \pi &{} e &{} 0 &{} \pi ^e \\ e^4 &{} 0 &{} 10001 &{} 0 &{} \pi ^{-1} &{} 0 &{} e^2\pi \\ e^6 &{} 0 &{} \sqrt{2} &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} -1 \\ 0 &{} 0 &{} 1 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0 \\ \end{bmatrix} \in \mathbb R^{7,7}. \end{aligned}$$

  • (c) Die $(4\times 4)$-Wilkinson-Matrix⁶ (vgl. die MATLAB-Minute am Ende von Abschn. 7.2). 

• 7.5 Finden Sie Matrizen $A, B \in \mathbb R^{n,n}$ für ein $n \ge 2$ mit $\det (A+B) \ne \det (A) + \det (B)$.

• 7.6 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, $n \ge 2$ und $A\in R^{n,n}$. Zeigen Sie folgende Aussagen:

  • (a) ${{\,\textrm{adj}\,}}(I_n)=I_n$.

  • (b) ${{\,\textrm{adj}\,}}(AB) = {{\,\textrm{adj}\,}}(B) {{\,\textrm{adj}\,}}(A)$, falls A und $B\in R^{n,n}$ invertierbar sind.

  • (c) ${{\,\textrm{adj}\,}}(\lambda A)=\lambda ^{n-1}{{\,\textrm{adj}\,}}(A)$ für alle $\lambda \in R$.

  • (d) ${{\,\textrm{adj}\,}}(A^T) = {{\,\textrm{adj}\,}}(A)^T$.

  • (e) $\det ({{\,\textrm{adj}\,}}(A)) = (\det (A))^{n-1}$, falls A invertierbar ist.

  • (f) ${{\,\textrm{adj}\,}}({{\,\textrm{adj}\,}}(A)) = \det (A)^{n-2} A$.

  • (g) ${{\,\textrm{adj}\,}}(A^{-1}) = {{\,\textrm{adj}\,}}(A)^{-1}$, falls A invertierbar ist.

  Kann in (b) oder (e) auf die Annahme der Invertierbarkeit verzichtet werden?

• 7.7 Sei $n\ge 2$ und $A=[a_{ij}]\in \mathbb R^{n,n}$ mit $a_{ij}=\frac{1}{x_i+y_j}$ für gewisse $x_1,\dots ,x_n$, $y_1,\dots ,y_n\in \mathbb R$. (Insbesondere gelte dabei $x_i+y_j\ne 0$ für alle i, j.)

  • (a) Zeigen Sie, dass

    $$\begin{aligned} \det (A)=\frac{\prod _{1\le i<j\le n}\,(x_j-x_i)(y_j-y_i)}{\prod _{i,j=1}^n\, {(x_i+y_j)}} \end{aligned}$$

    gilt.

  • (b) Leiten Sie mit dem Ergebnis aus (a) eine Formel für die Determinate der $(n\times n)$-Hilbert-Matrix  her (vgl. die MATLAB-Minute vor Definition 5.7).

• 7.8 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Sind $\alpha _1, \ldots , \alpha _n \in R$, $n\ge 2$, dann wird

  $$\begin{aligned} V_n := [\alpha _i^{j-1}] = \begin{bmatrix} 1 &{} \alpha _1 &{} \cdots &{} \alpha _1^{n-1} \\ 1 &{} \alpha _2 &{} \cdots &{} \alpha _2^{n-1} \\ \vdots &{} \vdots &{} &{} \vdots \\ 1 &{} \alpha _n &{} \cdots &{} \alpha _n^{n-1} \end{bmatrix} \in R^{n,n} \end{aligned}$$

  eine $(n\times n)$-Vandermonde-Matrix⁷ genannt  .

  • (a) Zeigen Sie, dass

    $$\begin{aligned} \det (V_n) = \prod \limits _{1 \le i < j \le n} (\alpha _j - \alpha _i) \end{aligned}$$

    gilt.

  • (b) Sei K ein Körper und $K[t]_{\le n-1}$ die Menge der Polynome in der Unbekannten t vom Grad höchstens $n-1$. Zeigen Sie, dass zwei Polynome $p,q\in K[t]_{\le n-1}$ gleich sind, wenn $p(\beta _j)=q(\beta _j)$ für paarweise verschiedene $\beta _1,\dots ,\beta _n\in K$ gilt.

• 7.9 Zeigen Sie folgende Aussagen:

  • (a) Sei K ein Körper mit $1+1 \ne 0$ und $A \in K^{n,n}$ mit $A^T = -A$. Dann existiert ein $\lambda \in K$ mit $\det (A)=\lambda ^2$ und ist n ungerade, so gilt $\lambda =0$. (Hinweis: Zeigen Sie die Aussage für gerades und ungerades n getrennt voneinander und verwenden Sie Induktion für $n=2m$.)

  • (b) Ist $A \in GL_n(\mathbb R)$ mit $A^T = A^{-1}$, so gilt $\det (A) \in \{ 1, -1 \}$.

• 7.10 Sei K ein Körper, $A_{11} \in K^{n_1,n_1}$, $A_{12} \in K^{n_1,n_2}$, $A_{21}\in K^{n_2,n_1}$, $A_{22} \in K^{n_2,n_2}$ sowie

  $$\begin{aligned} A=\begin{bmatrix} A_{11} &{} A_{12} \\ A_{21} &{} A_{22} \end{bmatrix}. \end{aligned}$$

  Zeigen Sie folgende Rechenregeln:

  • (a) Ist $A_{11} \in GL_{n_1}(K)$, so gilt $\det (A) = \det (A_{11}) \det \left( A_{22} - A_{21} A_{11}^{-1} A_{12} \right)$.

  • (b) Ist $A_{22} \in GL_{n_2}(K)$, so gilt $\det (A) = \det (A_{22}) \det \left( A_{11} - A_{12} A_{22}^{-1} A_{21} \right)$.

  • (c) Ist $A_{21}=0$, so gilt $\det (A) = \det (A_{11}) \det (A_{22})$.

  Können Sie diese Regeln auch beweisen, wenn die Matrizen über einem kommutativen Ring mit Eins definiert sind?

• 7.11 Finden Sie Matrizen $A_{11}, A_{12}, A_{21}, A_{22} \in \mathbb R^{n,n}$ für ein $n \ge 2$ mit

  $$\begin{aligned} \det \left( \begin{bmatrix} A_{11} &{} A_{12} \\ A_{21} &{} A_{22} \end{bmatrix} \right) \ne \det (A_{11}) \det (A_{22}) - \det (A_{12}) \det (A_{21}). \end{aligned}$$

• 7.12 Sei $A = [a_{ij}] \in GL_n(\mathbb R)$ mit $a_{ij} \in \mathbb Z$ für $i,j=1,\dots ,n$. Zeigen Sie folgende Aussagen:

  • (a) Es gilt $A^{-1} \in \mathbb Q^{n,n}$.

  • (b) $A^{-1} \in \mathbb Z^{n,n}$ gilt genau dann, wenn $\det (A) \in {\{-1,\,1 \}}$ ist.

  • (c) Das lineare Gleichungssystem $A x = b$ hat für jedes $b \in \mathbb Z^{n,1}$ eine eindeutige Lösung $\widehat{x} \in \mathbb Z^{n,1}$ genau dann, wenn $\det (A) \in {\{-1,\,1 \}}$ ist.

• 7.13 Zeigen Sie, dass $(G,*)$ mit $G=\{A\in \mathbb Z^{n,n}\mid \det (A)\in \{-1,\,1\}\,\}$ eine Untergruppe von $GL_n(\mathbb Q)$ ist. (Die Elemente von G heißen unimodulare Matrizen .)

• 7.14 Sei K ein Körper und $A\in K^{n,n}$. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

  • (1) $A\in GL_n(K)$.

  • (2) Es existiert $B\in K^{n,n}$ mit $BA=I_n$ (d. h. A hat eine Linksinverse).

  • (3) Es existiert  $C\in K^{n,n}$ mit $AC=I_n$ (d. h. A hat eine Rechtsinverse).