Der Impuls

Zusammenfassung

Wenn ein Golfschläger auf den Golfball trifft, steigt die Kraft auf den Ball bis zu einem Maximalwert und wird wieder zu null, sobald der Ball den Schläger verlässt. Um zu beschreiben, wie eine solche zeitabhängige Kraft die Bewegung des Körpers beeinflusst, auf den sie wirkt, müssen wir zwei neue Begriffe einführen: den Kraftstoß und den Impuls eines Körpers. Wie die Energie bleibt auch der Impuls erhalten. Eines der wichtigsten Prinzipien in der Physik ist der Impulserhaltungssatz, nach dem sich der Gesamtimpuls eines Systems und seiner Umgebung nicht ändert. Wo immer sich der Impuls eines Systems ändert, können wir dafür das Auftreten oder das Verschwinden von Impuls an anderer Stelle verantwortlich machen. Damit können wir Stöße zwischen einem Golfschläger und Golfball, zwischen Fahrzeugen oder zwischen den subatomaren Teilchen in einem Kernreaktor untersuchen.

Treffen zwei Billardkugeln aufeinander, so bleibt ein großer Teil der kinetischen Energie aller Stoßpartner erhalten. Während des kurzen Moments, in dem die Billardkugeln aufeinandertreffen, wird die kinetische Energie kurzzeitig in Form einer elastischen Deformation gespeichert. Stoßprozesse, die so verlaufen, bezeichnet man daher auch als elastisch.

Appendices

Im Kontext: Der Impuls im Fahrzeugcrash

Der Impuls ist eine physikalische Größe, die den Bewegungszustand eines Körpers beschreibt. Sie umfasst sowohl translatorische (m, v) als auch rotatorische (Massenträgheit $I$, rotatorische Geschwindigkeit $\varphi$) Bewegungen. Der Impuls eines Systems aus mehreren Körpern bleibt sowohl bei einem elastischen als auch plastischen Stoß erhalten. Dies besagt der Impulserhaltungssatz:

$$P=m_{1}v_{1}+\ldots+m_{i}v_{i}+I_{1}\varphi_{1}+\ldots+I_{i}\varphi_{i}=\mathrm{const.}$$

Der Impuls kommt bei einem Fahrzeugcrash direkt und indirekt zum Einsatz. Wenn wir auf der Autobahn an einer Unfallstelle vorbeifahren, sehen wir die Rettungskräfte. Manchmal sind aber auch sogenannte Unfallforschungsteams vor Ort, die das Unfallgeschehen u. a. mithilfe des Impulserhaltungssatzes wissenschaftlich auswerten, rekonstruieren und daraus Empfehlungen für die Verbesserung der Fahrzeugsicherheit ableiten. Dabei werden beispielsweise die am Unfall beteiligten Fahrzeuge (aus Masse m und Abmessungen geht $I$ hervor) sowie die Endlage und die Deformationszustände der Fahrzeuge nach dem Unfallgeschehen aufgenommen. Mit dem Impulserhaltungssatz und dem Energieerhaltungssatz (kinetische und Deformationsenergie) können die Geschwindigkeiten der Unfallfahrzeuge zum Zeitpunkt des Unfallgeschehens und die kollisionsbedingten Geschwindigkeitsänderungen nährungsweise ermittelt werden. Im Zusammenhang mit den Verletzungen der Insassen und weiteren Informationen werden diese Daten in einer Datenbank aufgenommen. Daraus entstehen die gesetzlichen Vorschriften für die Crashsicherheit wie beispielsweise der ECE R94 für den Frontcrash oder die NCAP-Testvorgaben. Die Anwendung dieser Vorschriften hat nachweislich in den letzten zwei Jahrzehnten die Anzahl der Unfalltoten in Deutschland um über 70 % verringert.

a Karosseriestruktur mit „Knautschzone“ zum Schutz der Insassen und die Antriebsbatterie. b Karosseriestruktur mit vielen und gleichmäßigen Krafteinleitungen für Front-, Seiten- und Heckcrash. (© FLB)

Wesentliche Kriterien zur Erfüllung der gesetzlichen Vorgaben und zur Erlangung einer guten Bewertung z. B. in EU-NCAP sind die sogenannten Verletzungskriterien, die auf die menschlichen Belastungsgrenzen zurückzuführen sind. Wir haben uns alle schon einmal an etwas Hartem gestoßen und dabei sehr wehgetan, als wir unseren Kopf wegen etwas Interessantem gedreht haben. Unser körperlicher Impuls wurde abrupt im Sinne des Energieerhaltungssatzes in „Schmerzen“ umgewandelt. Die Wissenschaft der Biomechanik beschäftigt sich u. a. mit dem Thema, wie groß ein äußerer Impuls auf einen menschlichen Körper sein darf. Dabei wird vor allem die Impulsänderung in Form von Beschleunigung bzw. Verzögerung ausgedrückt, welche ein Mensch tolerieren kann. In den 1940er und 1950er Jahren hat Dr. J. P. Stapp bahnbrechende Selbstversuche durchgeführt. Er hat in sehr schnell fahrenden Fahrzeugen (bis zu ca. 1000 km$/$h) verschieden starke Bremsungen vorgenommen, um die Verträglichkeit auf den eigenen Körper zu testen, was man sich in YouTube-Videos anschauen kann. Zusammen mit den Versuchen an der Wayne State University (USA) wurde die menschliche Belastungsgrenze in Form von zulässiger Verzögerung festgesetzt. Beispielsweise kann ein gesunder junger menschlicher Körper 40 $g$ (Erdbeschleunigung) ertragen, wenn diese Belastung nicht mehr als 45 ms andauert. Dabei kann das menschliche Gehirn deutlich höhere Verzögerungen bei geringerer Wirkungszeit ertragen. Diese zeitabhängige Belastungsgrenze wird empirisch über den sogenannten Kopfbelastungswert HIC (Head Injury Criterion) in die Sicherheitsbewertung für den NCAP aufgenommen.

Damit die Insassen eines Fahrzeugs bei einem Crash und ein Fußgänger, der durch ein Fahrzeug angefahren wird, möglichst wenig verletzt werden, werden auf Basis der Impulserhaltung und des Energieerhaltungssatzes eine ganze Menge Sicherheitsmaßnahmen entwickelt. Dazu zählt u. a. die Entwicklung von möglichst großen und effizienten Deformationsbereichen in der Fahrzeugstruktur z. B. im Vorderwagenbereich („Knautschzone“) zur Absorption der kinetischen Energie. Neben der konstruktiven Gestaltung mit möglichst vielen und gleichmäßigen Krafteinleitungen an den Vorderwagen beim Crash zählen auch die Entwicklung von neuen Materialien mit möglichst gutem Energieabsorptionsverhalten und neue Fertigungsverfahren zur Herstellung solcher Bauteile. Die Herausforderungen bestehen darin, neben der Energieabsorption vor allem das Gewicht der Bauteile bzw. des Fahrzeugs und die Herstellkosten zu minimieren. Daran wird auch am Lehrstuhl für Fahrzeugleichtbau (FLB) gearbeitet. Kürzlich wurde am Lehrstuhl ein Verfahren entwickelt, mit dem nicht nur der geeignete Werkstoff identifiziert werden kann, also ob faserverstärkte Kunststoffe (FVK) oder Stahl und Aluminium für bestimmte Bauteile geeignet sind, sondern auch der Schichtaufbau und die Zusammensetzung für die FVK bestimmt werden kann.

Neben den Fahrzeugstrukturen werden Insassenschutzsysteme wie der Airbag und die Sicherheitsgurte zur Reduzierung der Insassenverzögerung eingesetzt. Auch die Fahrzeugstrukturen verschiedener Fahrzeuge sollen so angepasst werden, dass die Insassen in kleineren und größeren Fahrzeugen gleichermaßen überleben können. Auch das ist ein Thema der Forschungsarbeit am FLB.

Durch diese Maßnahmen können die Insassen eines Fahrzeugs, das beim EU-NCAP eine 5-Sterne-Bewertung erhalten hat, bei einem Crash mit 50 km$/$h gegen ein ähnliches Fahrzeug mit der gleichen Geschwindigkeit nach dem Unfall die Tür selbst öffnen und ohne größere Verletzungen aus dem Auto steigen.

• 1. Fang, X. F., Li, J., Kurtenbach, S., „Cost Effective Body Structure for an E-Vehicle“, Automobiltechnische Zeitschrift 5, 2014, S. 20–27.

• 2. Fang, X. F. Grote, M., „Development of a New Method for Identification of Endless Fiber Reinforced Composites“, International Journal of Automotive Technology 18(5), 2017, S. 861–887.

Prof. Dr.-Ing. Xiangfan Fang

Prof. Dr.-Ing. Xiangfan Fang, geboren 1963 in Peking/China, studierte an der RWTH Aachen und promovierte 1992 zum Thema Werkstofftechnik. Zwischen 1993 und 2010 war er in verschiedenen leitenden Funktionen in Forschung und Entwicklung in der Automobil- und Zulieferindustrie tätig. 2010 wurde er zum Professor für Fahrzeugleichtbau an der Universität Siegen berufen, baute seitdem den gleichnamigen Lehrstuhl auf und leitet ihn.

Zusammenfassung

Die Impulserhaltung für ein abgeschlossenes System ist ein grundlegendes Naturgesetz mit Anwendungen in allen Gebieten der Physik.

	Thema	Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
1.	Impuls
	Impuls eines Teilchens	${\boldsymbol{p}}_{i}=m_{i}\,{\boldsymbol{v}}_{i}$   (6.1)
	Gesamtimpuls eines Systems	${\boldsymbol{p}}=\sum_{i}m_{i}\,{\boldsymbol{v}}_{i}$   (6.4)
	Zweites Newton’sches Axiom für ein System	${\boldsymbol{F}}_{\mathrm{ext}}=\dfrac{\mathrm{d}{\boldsymbol{p}}}{\mathrm{d}t}$   (6.3)
	Impulserhaltungssatz	Wenn die resultierende Kraft auf ein System null ist, bleibt der Gesamtimpuls des Systems erhalten
	Kinetische Energie eines Teilchens	$E_{\mathrm{kin},i}=\dfrac{p_{i}^{2}}{2\,m_{i}}$   (6.12)
2.	Stöße
	Kraftstoß	Der Kraftstoß einer Kraft ist definiert als das Integral der Kraft über das Zeitintervall, während dessen die Kraft wirkt: $\displaystyle\Updelta{\boldsymbol{p}}=\int\limits_{t_{\mathrm{A}}}^{t_{\mathrm{E}}}{\boldsymbol{F}}\mathrm{d}t\,$   (6.6)
	Zusammenhang von Kraftstoß und Impulsänderung bei einem System von Teilchen	$\displaystyle\Updelta{\boldsymbol{p}}=\int\limits_{t_{\mathrm{A}}}^{t_{\mathrm{E}}}{\boldsymbol{F}}_{\mathrm{ext}}\,\mathrm{d}t$   (6.8)
	Zeitliches Mittel einer Kraft (mittlere Kraft)	$\displaystyle\langle{\boldsymbol{F}}\rangle=\frac{1}{\Updelta t}\,\int\limits_{t_{\mathrm{A}}}^{t_{\mathrm{E}}}{\boldsymbol{F}}\,\mathrm{d}t=\frac{\Updelta{\boldsymbol{p}}}{\Updelta t}\qquad\text{und damit}\quad\Updelta{\boldsymbol{p}}=\langle{\boldsymbol{F}}\rangle\,\Updelta t$   (6.9)
	Vollständig inelastischer Stoß	Bei einem vollständig inelastischen Stoß bleiben die beiden Stoßpartner aneinanderhaften und bewegen sich gemeinsam mit der Endgeschwindigkeit ${\boldsymbol{v}}_{\mathrm{E}}$ in die gleiche Richtung: $m_{1}{\boldsymbol{v}}_{1,\mathrm{A}}+m_{2}{\boldsymbol{v}}_{2,\mathrm{A}}=(m_{1}+m_{2})\,{\boldsymbol{v}}_{\mathrm{E}}$   (6.11)
	Elastische Stöße	Ein Stoß zwischen zwei Partnern heißt elastisch, wenn die Summe der kinetischen Energien der beiden Stoßpartner vor und nach dem Stoß gleich ist. Es gilt $m_{1}{\boldsymbol{v}}_{1,\mathrm{A}}+m_{2}{\boldsymbol{v}}_{2,\mathrm{A}}=m_{1}{\boldsymbol{v}}_{1,\mathrm{E}}+m_{2}{\boldsymbol{v}}_{2,\mathrm{E}}$,   (6.15) $\frac{1}{2}m_{1}{\boldsymbol{v}}_{1,\mathrm{A}}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}{\boldsymbol{v}}_{2,\mathrm{A}}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}{\boldsymbol{v}}_{1,\mathrm{E}}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}{\boldsymbol{v}}_{2,\mathrm{E}}^{2}$   (6.16)
	Endgeschwindigkeiten der beiden Stoßpartner	Die Endgeschwindigkeiten der beiden Stoßpartner bei einem eindimensionalen zentralen Stoß sind $v_{1,\mathrm{E}}=\dfrac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1,\mathrm{A}}$,   (6.20a) $v_{2,\mathrm{E}}=\dfrac{2\,m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1,\mathrm{A}}$,   (6.20b) wenn anfänglich der zweite Körper in Ruhe war
	Relativgeschwindigkeiten bei einem elastischen Stoß	Bei einem elastischen Stoß ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Stoßpartner nach dem Stoß voneinander entfernen, genauso groß wie die Geschwindigkeit, mit der sie sich vor dem Stoß einander genähert haben. Bei einem zentralen Stoß gilt $v_{2,\mathrm{E}}-v_{1,\mathrm{E}}=-(v_{2,\mathrm{A}}-v_{1,\mathrm{A}})\,$   (6.19)
	*Elastizitätszahl	Die Elastizitätszahl $e$ ist ein Maß für die Elastizität des Stoßes. Sie ist definiert als das Verhältnis der Relativgeschwindigkeiten nach und vor dem Stoß: $e=\displaystyle-\frac{v_{2,\mathrm{E}}-v_{1,\mathrm{E}}}{v_{2,\mathrm{A}}-v_{1,\mathrm{A}}}\,$   (6.26) Bei einem vollständig elastischen Stoß ist $e=1$, bei einem vollständig inelastischen Stoß ist $e=0$

Die Nummerierung der Aufgaben ist nicht fortlaufend sondern orientiert sich an der Nummerierung im Arbeitsbuch, so finden sich leichter die entsprechenden Lösungen.

Bei allen Aufgaben ist die Fallbeschleunigung $\boldsymbol{g=\mathrm{9{,}81\,m/s^{2}}}$. Falls nichts anderes angegeben ist, sind Reibung und Luftwiderstand zu vernachlässigen.

1.1 Schätzungs- und Näherungsaufgabe

A 6.11

$\bullet\bullet$ Ein Auto mit einer Masse von 2000 kg rast mit 90 km$/$h gegen eine unnachgiebige Betonwand. a) Schätzen Sie die Stoßzeit ab. Nehmen Sie dabei an, dass die vordere Hälfte des Wagens um die Hälfte zusammengestaucht wird, während der Mittelpunkt des Wagens eine konstante Verzögerung erfährt. (Rechnen Sie mit einem vernünftigen Wert für die Wagenlänge.) b) Schätzen Sie die mittlere Kraft ab, die von der Betonwand auf das Auto ausgeübt wird.

A 6.12

$\bullet\bullet$ Schätzen Sie anhand von Abb. 6.19 die Elastizitätszahl für den Stoß zwischen Schläger und Ball.

Abb. 6.19

Zu Aufgabe A 6.12

1.2 Impulserhaltung

A 6.13

$\bullet$ Abb. 6.20 zeigt das Verhalten eines Geschosses unmittelbar nach dem Zerbrechen in drei Stücke. Welche Geschwindigkeit hatte das Geschoss unmittelbar vor dem Zerbrechen?  a) $v_{3}$,  b) $v_{3}/3$,  c) $v_{3}/4$,  d) $v_{3}$,  e) $(v_{1}+v_{2}+v_{3})/4$.

Abb. 6.20

Zu Aufgabe A 6.13

A 6.15

$\bullet\bullet$ Eine Basketballspielerin der Masse $m=70$ kg springt mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 1 m/s aus dem Stand nach oben ab. Vergleichen Sie die Veränderung des Impulses der Person und der Erde beim Abspringen. Vergleichen Sie dann die Veränderung der kinetischen Energie der Person und der Erde beim Abspringen.

1.3 Kraftstoß und zeitliches Mittel einer Kraft

A 6.16

$\bullet$ Sie treten einen Fußball der Masse 0,43 kg. Der Ball verlässt Ihren Fuß mit einer Geschwindigkeit von 25 m$/$s. a) Welchen Betrag hat der Kraftstoß, den Sie auf den Ball übertragen haben? b) Nehmen Sie an, Ihr Fuß ist für 8,0 ms mit dem Ball in Kontakt. Wie groß ist dann die mittlere Kraft, die Ihr Fuß auf den Ball ausübt?

A 6.17

$\bullet\bullet$ Ein Ball mit einer Masse von 60 g, der sich mit 5,0 m$/$s bewegt, trifft in einem Winkel von 40${}^{\circ}$ gegen die Normale auf eine Wand und prallt von ihr in gleichem Winkel wieder ab. Er ist für 2,0 ms mit der Wand in Kontakt. Welche mittlere Kraft übt der Ball auf die Wand aus?

A 6.18

$\bullet\bullet$ Das Polster, auf dem ein Stabhochspringer nach seinem Sprung landet, ist im Wesentlichen ein Luftkissen mit einer Normalhöhe von 1,2 m, das auf etwa 0,20 m zusammengepresst wird, wenn der Springer darauf zur Ruhe kommt. a) In welcher Zeit wird ein Springer, der gerade die Latte bei 6,40 m überwunden hat, bis zum Stillstand gestoppt? b) Wie groß wäre der Zeitraum, wenn man nicht ein Luftkissen verwenden würde, sondern eine 20 cm dicke Schicht von Sägespänen, die sich beim Aufprall auf 5,0 cm komprimiert? c) Diskutieren Sie qualitativ, wie sich die mittleren Kräfte auf den Springer bei diesen beiden Landungsmatten unterscheiden. Mit anderen Worten: Welche der Matten übt die geringere Kraft auf den Springer aus, und warum?

1.4 Stöße in einer Raumrichtung

A 6.20

$\bullet$ Ein Auto mit der Masse 2000 kg fährt nach rechts und verfolgt mit 30 m$/$s ein zweites Auto derselben Masse, das mit 10 m$/$s in dieselbe Richtung fährt. a) Die beiden Autos stoßen zusammen und bleiben aneinanderhaften. Wie hoch ist ihre Geschwindigkeit unmittelbar nach dem Stoß? b) Welcher Anteil der kinetischen Energie geht bei diesem Stoß verloren? Wo bleibt er?

A 6.21

$\bullet$ Ein 5,0 kg schwerer Körper stößt mit 4,0 m$/$s frontal auf einen 10 kg schweren zweiten Körper, der ihm mit 3,0 m$/$s entgegenkommt. Der schwerere Körper kommt durch den Stoß zum Stillstand. a) Wie hoch ist die Geschwindigkeit des 5,0 kg schweren Körpers nach dem Stoß? b) Ist der Stoß elastisch?

A 6.22

$\bullet\bullet$ Bei einem elastischen Stoß trifft ein Proton der Masse $m_{\mathrm{P}}$ zentral auf einen ruhenden Kohlenstoffkern der Masse 12 $m_{\mathrm{P}}$. Die Geschwindigkeit des Protons beträgt 300 m$/$s. Berechnen Sie die Geschwindigkeiten des Protons und des Kohlenstoffkerns nach dem Stoß.

A 6.23

$\bullet\bullet$ Ein Proton der Masse $m_{\mathrm{P}}$ bewegt sich mit einer Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$ auf ein ruhendes Alphateilchen der Masse $4\,m_{\mathrm{P}}$ zu. Weil beide Teilchen positive Ladung tragen, stoßen sie einander ab. (Die abstoßenden Kräfte sind so groß, dass die beiden Teilchen nicht in direkten Kontakt treten.) Berechnen Sie die Geschwindigkeit $v_{\alpha}$ des Alphateilchens, a) wenn der Abstand zwischen den beiden Teilchen minimal ist, und b) zu einem späteren Zeitpunkt, wenn die beiden Teilchen weit voneinander entfernt sind.

1.5 *Stöße in mehr als einer Raumrichtung

A 6.29

$\bullet\bullet$ Bei einer Billardpartie stößt der Spielball mit 5,0 m$/$s elastisch auf eine ruhende andere Kugel. Nach dem Stoß entfernt sich die andere Kugel nach rechts, in einem Winkel von 30${}^{\circ}$ zur ursprünglichen Richtung des Spielballs fort. Beide Kugeln haben die gleiche Masse. a) Geben Sie die Bewegungsrichtung des Spielballs unmittelbar nach dem Stoß an. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln unmittelbar nach dem Stoß.

A 6.30

$\bullet\bullet$ Ein Puck der Masse 5,0 kg und der Geschwindigkeit 2,0 m$/$s stößt auf einen identischen Puck, der auf einer reibungsfreien Eisfläche liegt. Nach dem Stoß entfernt sich der erste Puck mit der Geschwindigkeit $v_{1}$ im Winkel von 30${}^{\circ}$ zu seiner ursprünglichen Richtung; der zweite Puck entfernt sich mit $v_{2}$ im Winkel von 60${}^{\circ}$ (Abb. 6.21). a) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten $v_{1}$ und $v_{2}$. b) War der Stoß elastisch?

Abb. 6.21

Zu Aufgabe A 6.30

1.6 Elastizitätszahl

A 6.34

$\bullet$ Sie haben die Aufgabe, die Elastizitätszahl einer neuen Stahllegierung zu messen. Sie überzeugen Ihre Kollegen, den Wert einfach dadurch zu bestimmen, dass sie aus der Legierung eine Kugel und eine Platte fertigen und dann die Kugel auf die Platte fallen lassen. Die Kugel fällt aus 3,0 m Höhe und springt 2,5 m hoch zurück. Wie groß ist die Elastizitätszahl?

A 6.35

$\bullet\bullet$ Ein Block der Masse 2,0 kg bewegt sich mit 5,0 m$/$s nach rechts und stößt mit einem Block der Masse 3,0 kg zusammen, der sich mit 2,0 m$/$s in dieselbe Richtung bewegt (siehe Abbildung). Nach dem Stoß bewegt sich der schwerere Block mit 4,2 m$/$s nach rechts. Berechnen Sie a) die Geschwindigkeit des leichteren Blocks nach dem Stoß und b) die Elastizitätszahl zwischen den beiden Blöcken.

1.7 Allgemeine Aufgaben

A 6.36

$\bullet$ Ein Auto mit einer Masse von 1500 kg fährt mit 70 km$/$h nach Norden. An einer Kreuzung stößt es mit einem Auto mit der Masse 2000 kg zusammen, das mit 55 km$/$h nach Westen fährt. Die beiden Autos verkeilen sich ineinander und bleiben aneinanderhaften. a) Wie groß ist der Gesamtimpuls des Systems vor dem Stoß? b) Ermitteln Sie Betrag und Richtung der Geschwindigkeit der beiden verkeilten Wracks unmittelbar nach dem Stoß.

A 6.37

$\bullet\bullet$ Eine Frau von 60 kg steht auf einem 6,0 m langen Floß von 120 kg auf einem stehenden Gewässer. Das Floß kann sich reibungsfrei auf der ruhigen Wasseroberfläche bewegen, jetzt aber ruht es in 0,50 m Entfernung von einem festen Pier (Abb. 6.22). a) Die Frau geht zum Ende des Floßes und hält an. Wie weit ist sie jetzt vom Pier entfernt? b) Während die Frau läuft, hat sie eine konstante Geschwindigkeit von 3,0 m$/$s relativ zum Floß. Berechnen Sie die kinetische Gesamtenergie des Systems (Frau + Floß) und vergleichen Sie sie mit der kinetischen Energie, die sich ergäbe, wenn die Frau mit 3,0 m$/$s auf einem am Pier vertäuten Floß liefe. c) Woher kommt die Energie, und wo bleibt sie, wenn die Frau am Ende des Floßes stoppt? d) An Land kann die Frau einen Beutel mit Bleischrot 6,0 m weit werfen. Sie steht jetzt am hinteren Ende des Floßes, zielt über das Floß und wirft den Beutel so, dass er ihre Hand mit derselben Geschwindigkeit verlässt wie bei einem Wurf an Land. Geben Sie näherungsweise an, wo der Beutel landet.

Abb. 6.22

Zu Aufgabe A 6.37

A 6.38

$\bullet\bullet\bullet$ Bei der sogenannten Swing-by-Technik wird die Energieübertragung bei einem elastischen Stoß ausgenutzt, um die Energie einer Raumsonde so stark zu erhöhen, dass sie das Sonnensystem verlassen kann. Alle Geschwindigkeiten werden hier in einem Inertialsystem angegeben, bei dem der Sonnenmittelpunkt in Ruhe ist. Abb. 6.23 zeigt eine Raumsonde, die sich mit 10,4 km$/$s dem Planeten Saturn nähert, der ihr mit 9,6 km$/$s näherungsweise entgegenkommt. Wegen der Anziehungskraft zwischen Saturn und Sonde schwingt die Sonde um den Planeten herum und rast mit einer Geschwindigkeit $v_{\mathrm{E}}$ in etwa entgegengesetzter Richtung weiter. a) Fassen Sie diesen Vorgang als elastischen Stoß in einer Dimension auf, wobei die Saturnmasse sehr viel größer ist als die Masse der Raumsonde. Berechnen Sie $v_{\mathrm{E}}$.  b) Um welchen Faktor nimmt die kinetische Energie der Raumsonde zu? Woher kommt die zusätzliche Energie?

Abb. 6.23

Zu Aufgabe A 6.38

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