Die magnetische Induktion

Zusammenfassung

Spannungen und Ströme, die von einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld hervorgerufen werden, bezeichnen wir als induzierte Spannungen und induzierte Ströme, der Vorgang selbst ist die magnetische Induktion. Michael Faraday und Joseph Henry entdeckten diesen Effekt unabhängig voneinander in den 1830er Jahren und stellten weiterhin fest, dass auch in statischen Magnetfeldern ein Strom induziert wird, wenn sich der magnetische Fluss durch eine Fläche ändert, die von einer bewegten Leiterschleife umschlossen ist.

Die induzierte Spannung im Demonstrationsversuch: Bewegt man den Magneten in die Spule hinein oder aus ihr heraus, so wird in der Spule eine Spannung induziert – Sie erkennen dies am Ausschlag des Galvanometers. Wird der Magnet nicht bewegt, so schlägt das Messgerät nicht aus.

Appendices

Im Kontext: Energiesparen mit dem Induktionsherd

Ein Induktionsherd nutzt das Prinzip der magnetischen Induktion zur direkten Erzeugung von Wärme im Boden des Topfes. Die direkte Wärmeerzeugung im Topfboden erfolgt über eine Induktionsspule, durch die ein Wechselstrom mit Frequenzen zwischen 20 und 50 kHz fließt, der ein hochfrequentes magnetisches Wechselfeld induziert. Wird ein Topf mit elektrisch leitendem Boden auf das Kochfeld gestellt, so entstehen Wirbelströme, die zu einer direkten Erwärmung des Topfbodens führen (Abb. 25.34).

Abb. 25.34

Funktionsweise eines Induktionsherdes. (Bammel 2008)

Die Wirbelströme rufen ihrerseits ein sekundäres Magnetfeld hervor, das dazu führt dass sich die Wirbelströme nur in der Randschicht des Topfbodens ausbreiten (Skin-Effekt). Ein weiterer Effekt, der etwa ein Drittel zur Heizleistung von Induktionsherden beiträgt, sind die Hystereseverluste im Topfboden.¹ Diese entstehen, da das Magnetfeld die Elektronenspins in dem ferromagnetischen Topfboden als elementare magnetische Momente ausrichtet, wobei die Magnetisierung durch das hochfrequente Wechselfeld nicht vollständig reversibel ist.

Durch die direkte Erwärmung des Topfbodens fallen die Wärmeverluste beim Kochen mit dem Induktionsherd geringer aus als bei herkömmlichen Herden. Der Induktionsherd unterscheidet sich hier von den gewöhnlichen Geräten wie Elektroherden, Ceranfeldern und Gasherden, bei denen eine Wärmeübertragung auf das Kochgeschirr stattfindet.

Die Wärmeverluste bei der Wärmeübertragung werden besonders deutlich, wenn die Größe des Topfes nicht mit der des Kochfeldes übereinstimmt (Abb. 25.35): Während bei den herkömmlichen Geräten das gesamte Kochfeld aufgeheizt wird und somit erhebliche Wärmeverluste zu beobachten sind, treten bei der Zubereitung mit dem Induktionsherd durch die direkte Erwärmung des Bodens der Espressokanne keine verlustreichen Wärmeübertragungen auf.

Die tatsächlichen Energieeinsparungen, die durch das Kochen mit dem Induktionsherd erreicht werden, hängen neben der Größe des Kochgeschirrs auch von der jeweiligen Kochfunktion ab. Wie in Abb. 25.36 dargestellt, sind die Unterschiede bei längeren Kochvorgängen wie dem Aufwärmen und Warmhalten von Speisen weniger deutlich als beim reinen Erhitzen von Wasser.

Abb. 25.35

Wärmeverluste bei der Zubereitung eines Espresso auf einem Ceranfeld (a), einem Induktionsherd (b), einem Gasherd (c) und einem Elektroherd (d)

Abb. 25.36

Energieverbrauch verschiedener Kochfelder bei unterschiedlichen Kochvorgängen. (Öko-Institut, Elektroherde und elektrische Kochstellen. Entwicklung der Vergabekriterien für ein klimaschutzbezogenes Umweltzeichen, 2013)

Wer mehr wissen möchte, findet weitere Informationen zum Energieverbrauch von Produkten auf der Internetplattform EcoTopTen des Öko-Instituts, auf der Empfehlungen für ökologische Spitzenprodukte in den zehn Produktclustern Beleuchtung, Wärme, Strom, große Haushaltsgeräte, kleine Haushaltsgeräte, Fernseher, Computer/Büro, Mobilität, Lebensmittel und Textilien aufgeführt sind.

• 1. Bammel, K. (2008). Heiße Töpfe, kühle Platten! Physik Journal 7 Nr. 12.

Sibylle Braungardt

Sibylle Braungardt studierte Physik an den Universitäten Freiburg, Uppsala und Berlin und promovierte im Bereich der theoretischen Quantenoptik am Institut für Photonik (ICFO) in Barcelona. Seit dem Jahr 2013 ist sie in der angewandten Forschung im Bereich der Energieeffizienzpolitik in Deutschland und Europa tätig – zunächst am Fraunhofer-Institut für System- und Innovationsforschung (ISI) in Karlsruhe und seit 2017 am Öko-Institut in Freiburg. An der Universität Freiburg führt sie seit dem Jahr 2015 als Gastdozentin verschiedene Lehrveranstaltungen zum Thema Energiepolitik durch.

Die Autorin bedankt sich bei Helmut Wentsch für das Ausleihen der Wärmebildkamera und bei den verschiedenen Herdbesitzern für die freundliche Einladung zum Kaffeekochen.

Zusammenfassung

• 1. Das Faraday’sche Gesetz und die Lenz’sche Regel gehören zu den Grundgesetzen der Physik.

• 2. Die Selbstinduktivität eines Bauelements bringt die Beziehung zwischen dem magnetischen Fluss durch das Element und der Stromstärke zum Ausdruck.

	Thema	Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
1.	Magnetischer Fluss $\Phi_{\mathrm{mag}}$
	Definition	$\Phi_{\mathrm{mag}}={\displaystyle\int_{A}}{\boldsymbol{B}}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{A}}$   (25.1)
	Homogenes Feld; ebene Fläche, umschlossen von einer Spule mit $n$ Windungen	$\Phi_{\mathrm{mag}}=n\,\left|{\boldsymbol{B}}\right|\,\left|{\boldsymbol{A}}\right|\,\cos\theta$   (25.4) mit $A$ als ebener Fläche, die von einer Windung umschlossen wird
	Einheit	$1\,\mathrm{Wb}=1\,\mathrm{T\cdot m}^{2}$   (25.2)
	In einem Stromkreis	$\Phi_{\mathrm{mag}}=L\,I$   (25.11)
	In zwei benachbarten Stromkreisen	$\Phi_{\mathrm{mag,1}}=L_{1}\,I_{1}+L_{12}\,I_{2}$ $\Phi_{\mathrm{mag,2}}=L_{2}\,I_{2}+L_{21}\,I_{1}$   (25.16a, 25.16b)
2.	Induktionsspannung
	Faraday’sches Gesetz (auch für Induktion durch Bewegung)	$U_{\mathrm{ind}}=-\dfrac{\mathrm{d}\Phi_{\mathrm{mag}}}{\mathrm{d}t}$   (25.5)
	Induktion (zeitabhängiges Magnetfeld, $C$ stationär)	$U_{\mathrm{ind}}={\displaystyle\oint_{C}}{\boldsymbol{E}}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{l}}$   (25.6)
	Senkrecht zu seiner Längsachse und zu ${\boldsymbol{B}}$ bewegter Stab	$U_{\mathrm{ind}}=\left|{\boldsymbol{v}}\right|\,\left|{\boldsymbol{B}}\right|\,l$   (25.7)
	Selbstinduktion (Gegenspannung)	$U_{\mathrm{ind}}=-L\,\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$   (25.14)
3.	Lenz’sche Regel	Die von einer Zustandsänderung verursachte Induktionsspannung und der dadurch hervorgerufene Induktionsstrom sind stets so gerichtet, dass sie ihrer Ursache entgegenzuwirken suchen
	Alternative Formulierung	Ändert sich der magnetische Fluss durch eine Fläche, so wird ein Strom induziert, der seinerseits ein Magnetfeld und damit einen magnetischen Fluss durch dieselbe Fläche hervorruft, dessen Richtung der ursächlichen Flussänderung entgegenwirkt
4.	Induktivität
	Selbstinduktivität	$L=\dfrac{\Phi_{\mathrm{mag}}}{I}$   (25.11)
	Selbstinduktivität einer Zylinderspule	$L=\mu_{0}\,\left(n/l\right)^{2}\,A\,l$   (25.13)
	Gegeninduktion	$L=\dfrac{\Phi_{\mathrm{mag21}}}{I_{1}}=\dfrac{\Phi_{\mathrm{mag12}}}{I_{2}}$   (25.18)
	Einheiten	$1\,\mathrm{H}=1\dfrac{\mathrm{V\cdot s}}{\mathrm{A}}=1\,\mathrm{}\dfrac{\mathrm{Wb}}{\mathrm{A}}=1\dfrac{\mathrm{T\cdot m}^{2}}{\mathrm{A}}$ $\mu_{0}\,=4\,\pi\cdot 10^{-7}\,\mathrm{H\cdot m}^{-1}$
5.	Energie des Magnetfelds
	In einer Spule gespeicherte Energie	$E_{\mathrm{mag}}=\dfrac{1}{2}\,L\,I^{2}$   (25.21)
	Energiedichte im Magnetfeld	$w_{\mathrm{mag}}=\dfrac{B^{2}}{2\,\mu_{0}}$   (25.22)
6.	*RL-Stromkreise
	Spannungsabfall an einer Spule	$U_{L}=U_{\mathrm{ind}}-I\,R=-L\,\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}-I\,R$   (25.15) mit $R$ als Innenwiderstand der Spule; für eine ideale Spule gilt $R=0$
	Energiezufuhr aus einer Spannungsquelle an eine Spule	In einer Reihenschaltung (mit einer Masche) aus einem Widerstand $R$, einer Spule mit der Induktivität $L$ und einer Spannungsquelle mit der Quellenspannung $U_{0}$ erreicht der Strom nach Einschalten der Quelle seinen Maximalwert $I_{\mathrm{E}}$ nicht sofort, sondern erst nach einer bestimmten Zeit. Ist die Stromstärke im Moment des Einschaltens ($t=0$) null, so ist sie zu einem späteren Zeitpunkt $t$ gegeben durch $I(t)=\dfrac{U_{0}}{R}\,\left(1-{\text{e}}^{-t/\tau}\right)=I_{\mathrm{E}}\,\left(1-{\text{e}}^{-t/\tau}\right)$   (25.25)
	Zeitkonstante $\tau$	$\tau=\dfrac{L}{R}$   (25.26)
	Abbau der Feldenergie einer Spule über einen Widerstand	In einer Reihenschaltung (mit einer Masche) aus einem Widerstand $R$ und einer Spule mit der Induktivität $L$ fällt der durch den Widerstand fließende Strom nicht sofort, sondern erst im Laufe einer bestimmten Zeit auf null ab. Ist die Stromstärke zu Beginn ($t=0$) gleich $I_{0}$, so beträgt sie zu einem späteren Zeitpunkt $t$ $I(t)=I_{0}\,{\text{e}}^{-t/\tau}$   (25.28)

Die Nummerierung der Aufgaben ist nicht fortlaufend sondern orientiert sich an der Nummerierung im Arbeitsbuch, so finden sich leichter die entsprechenden Lösungen.

1.1 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

A 25.5

$\bullet$ Vergleichen Sie die im elektrischen Feld und die im Magnetfeld der Erde (jeweils in der Nähe der Erdoberfläche) gespeicherten Energiedichten.

A 25.6

$\bullet\bullet$ Stellen Sie sich ein typisches, in der Luft befindliches Passagierflugzeug vor. a) Schätzen Sie die durch die Bewegung im Erdmagnetfeld zwischen den Spitzen der Tragflächen maximal induzierte Spannung. b) Wie groß ist dabei die elektrische Feldstärke zwischen den Spitzen der Tragflächen?

1.2 Der magnetische Fluss

A 25.7

$\bullet$ Betrachten Sie eine kreisrunde Spule mit 25 Windungen und einem Radius von 5,0 cm, die sich in der Nähe des Äquators befindet. Das Erdmagnetfeld hat dort eine Stärke von $0{,}70\,\mathrm{G}$ und zeigt nach Norden. Die Achse der Spule steht senkrecht auf der Spulenebene und verläuft durch den Mittelpunkt der Spule. Wie groß ist der magnetische Fluss durch die Spule, wenn ihre Achse a) senkrecht, b) waagerecht nach Norden zeigend, c) waagerecht nach Osten zeigend bzw. d) waagerecht im Winkel von $30^{\circ}$ relativ zur Nordrichtung orientiert ist?

A 25.8

$\bullet\bullet$ Eine kreisrunde Spule mit 15,0 Windungen und einem Radius von 4,00 cm befindet sich in einem homogenen, 4,00 kG starken, in die positive $x$-Richtung zeigenden Magnetfeld. Geben Sie den magnetischen Fluss durch die Spule an, wenn der Normalen-Einheitsvektor ${\boldsymbol{\hat{n}}}$ der Spulenebene folgendermaßen lautet: a) ${\boldsymbol{\hat{n}}}={\boldsymbol{\hat{x}}}$, b) ${\boldsymbol{\hat{n}}}={\boldsymbol{\hat{y}}}$, c) ${\boldsymbol{\hat{n}}}=({\boldsymbol{\hat{x}}}+{\boldsymbol{\hat{y}}}\,)/\sqrt{2}$, d) ${\boldsymbol{\hat{n}}}={\boldsymbol{\hat{z}}}$ bzw. e) ${\boldsymbol{\hat{n}}}=0{,}60\,{\boldsymbol{\hat{x}}}+0{,}80\,{\boldsymbol{\hat{y}}}$.

1.3 Induktionsspannung und Faraday’sches Gesetz

A 25.11

$\bullet\bullet$ Eine kreisrunde Spule mit 100 Windungen hat einen Durchmesser von 2,00 cm und einen Widerstand von 50,0 $\Upomega$. Die beiden Enden des Spulendrahts sind miteinander verbunden. Senkrecht zur Ebene der Spule ist ein homogenes äußeres Magnetfeld mit einer Stärke von 1,00 T ausgerichtet. Nun kehrt sich die Feldrichtung um. a) Berechnen Sie die einen Querschnitt der Spule insgesamt passierende Ladung. Die Umkehr der Feldrichtung dauert $0{,}100\,\mathrm{s}$; berechnen Sie b) den mittleren Spulenstrom und c) die mittlere Spannung in der Spule während des Umkehrvorgangs.

1.4 Induktion durch Bewegung

A 25.13

$\bullet$ Ein 40 cm langer Stab bewegt sich senkrecht zu seiner Längsachse mit einer Geschwindigkeit von 12 m$/$s in einer Ebene, auf der ein Magnetfeld von $0{,}30\,\mathrm{T}$ senkrecht steht. Wie groß ist die im Stab induzierte Spannung?

A 25.14

$\bullet\bullet$ In Abb. 25.37 ist $B=0{,}80\,\mathrm{T}$, $v=10\,\mathrm{m/s}$, $l=20\,\mathrm{cm}$ und $R=2{,}0\,\Upomega$. (Der Widerstand des Stabs und der Schienen soll vernachlässigt werden.) Bestimmen Sie a) die im Stromkreis induzierte Spannung, b) den dadurch hervorgerufenen Strom (Betrag und Richtung) und c) die zur Bewegung des Stabs mit konstanter Geschwindigkeit erforderliche Kraft (vernachlässigen Sie die Reibung). d) Welche Leistung wird dem System durch die in Teilaufgabe c berechnete Kraft zugeführt? e) Geben Sie die Leistung (die Rate der Wärmeerzeugung im Widerstand) an.

Abb. 25.37

Zu Aufgabe A 25.14

A 25.15

$\bullet\bullet$ Der Stab in Abb. 25.38 hat die Masse $m$ und den Widerstand $R$. Der Widerstand der waagerecht angeordneten, reibungsfreien Schienen sei vernachlässigbar gering; der Abstand zwischen den Schienen ist $l$. An die Punkte $a$ und $b$ des Stromkreises ist eine Batterie mit der Spannung $U$ und einem vernachlässigbaren Innenwiderstand so angeschlossen, dass der Strom im Stab von oben nach unten fließt. Zum Zeitpunkt $t=0$ wird der zuvor ruhende Stab losgelassen. a) Geben Sie einen Ausdruck für die auf den Stab wirkende Kraft in Abhängigkeit von dessen Geschwindigkeit an. b) Zeigen Sie, dass der Stab schließlich eine Endgeschwindigkeit erreicht, mit der er sich weiterbewegt. Geben Sie einen Ausdruck für diese Geschwindigkeit an. c) Geben Sie einen Ausdruck für die Stromstärke an, wenn der Stab seine Endgeschwindigkeit erreicht hat.

Abb. 25.38

Zu Aufgabe A 25.15

1.5 Wechselstromgeneratoren

A 25.19

$\bullet$ Gegeben ist eine Spule mit 250 Windungen; jede Windung umschließt eine Fläche von $3{,}0\,\mathrm{cm}^{2}$. Wie groß ist die Amplitude der Spannung ($U_{\mathrm{\max}}$), wenn die Spule mit einer Frequenz von 60 Umdrehungen pro Sekunde in einem Magnetfeld von $0{,}40\,\mathrm{T}$ rotiert?

A 25.20

$\bullet$ Eine Spule mit rechteckigem Querschnitt (Seitenlängen: $2{,}00\,\mathrm{cm}$ und $1{,}50\,\mathrm{cm}$) und 300 Windungen rotiert in einem Magnetfeld von $0{,}400\,\text{T}$.  a) Geben Sie den Maximalwert der induzierten Spannung an, wenn sich die Spule mit einer Frequenz von $60{,}0\,\mathrm{Hz}$ dreht. b) Wie groß muss die Rotationsfrequenz sein, damit eine Spannung von $110\,\mathrm{V}$ (Maximalwert) induziert wird?

1.6 Induktivität

A 25.21

$\bullet$ Wie schnell muss sich der Strom in einer Spule mit $L=6{,}28\cdot 10^{-5}\text{ H}$ ändern, damit eine Spannung von 20,0 V induziert wird?

A 25.22

$\bullet$ Durch eine Spule mit einer Induktivität von 8,00 H fließt ein Strom von 3,00 A, der sich mit einer Rate von $200\,\mathrm{A/s}$ ändert. Berechnen Sie a) den magnetischen Fluss durch die Spule und b) die in der Spule induzierte Spannung.

A 25.23

$\bullet\bullet$ Zwei Zylinderspulen mit dem Radius 2,00 cm bzw. 5,00 cm sowie mit 300 bzw. 1000 Windungen sind koaxial so angeordnet, dass sich die dünnere Spule vollständig innerhalb der dickeren befindet. Beide Spulen sind 25,0 cm lang. Berechnen Sie die Gegeninduktivität.

1.7 Die Energie des Magnetfelds

A 25.26

$\bullet$ Wir betrachten eine ebene elektromagnetische Welle, etwa eine Lichtwelle. Die Beziehung zwischen der elektrischen und der magnetischen Feldstärke lautet hier $E=c\,B$ mit der Lichtgeschwindigkeit $c=1/\sqrt{\varepsilon_{0}\,\mu_{0}}$. Zeigen Sie, dass die Energiedichten des elektrischen und des magnetischen Felds gleich sind, wenn die Bedingung $E=c\,B$ erfüllt ist.

A 25.27

$\bullet\bullet$ Durch eine Zylinderspule mit 2000 Windungen, einer Querschnittsfläche von 4,0 cm${}^{2}$ und einer Länge von 30 cm fließt ein Strom von 4,0 A. a) Berechnen Sie die in der Spule gespeicherte magnetische Energie mithilfe der Beziehung $E_{\mathrm{mag}}=\tfrac{1}{2}\,L\,I^{2}$. b) Geben Sie die magnetische Energie pro Volumeneinheit in der Spule an; dividieren Sie dazu Ihr Ergebnis der Teilaufgabe a durch das Volumen der Spule. c) Berechnen Sie die Energiedichte des Magnetfelds mithilfe der Beziehung $w_{\mathrm{mag}}=B^{2}/(2\,\mu_{0})$, wobei gilt: $B=\mu_{0}\,(n/l)\,I$. Vergleichen Sie das Resultat mit Ihrem Ergebnis aus Teilaufgabe b.

A 25.28

$\bullet\bullet$ Die Wicklung einer Ringspule mit einem mittleren Radius von 25,0 cm und kreisrundem Querschnitt, dessen Radius 2,00 cm beträgt, besteht aus einem supraleitenden Material. Der Wicklungsdraht ist 1000 m lang. Durch die Spule fließt ein Strom von 400 A.  a) Wie viele Windungen hat die Spule? b) Geben Sie die Magnetfeldstärke und die Energiedichte des Magnetfelds beim mittleren Radius an. c) Berechnen Sie die insgesamt in der Spule gespeicherte Energie unter der Annahme, dass die Energiedichte innerhalb der Ringspule homogen verteilt ist.

1.8 *RL-Stromkreise

A 25.29

$\bullet\bullet$ Betrachten Sie den Stromkreis in Abb. 25.39. Es sei $U_{0}=12{,}0\,\mathrm{V}$, $R=3{,}00\,\Upomega$ und $L=0{,}600\,\mathrm{H}$. Zum Zeitpunkt $t=0$ wird der Schalter geschlossen. Berechnen Sie für den Zeitpunkt $t=0{,}500\,\mathrm{s}$:  a) die Rate, mit der die Batterie Energie liefert, b) die Rate der Wärmeerzeugung im Ohm’schen Widerstand und c) die Rate, mit der Energie in der Spule gespeichert wird.

Abb. 25.39

Zu Aufgabe A 25.29

A 25.30

$\bullet\bullet$ Eine Spule (4,00 mH), ein Ohm’scher Widerstand ($150\,\Upomega$), eine ideale Batterie (12,0 V) und ein Schalter sind in Reihe geschaltet. Der zunächst offene Schalter wird geschlossen. a) Geben Sie an, mit welcher Anfangsrate die Stromstärke zunimmt. b) Wie groß ist die Anstiegsrate, wenn die Stromstärke die Hälfte ihres stationären Werts erreicht hat? c) Geben Sie diese stationäre Stromstärke an. d) Wie lange dauert es, bis die Stromstärke 99 % ihres stationären Werts erreicht hat?

1.9 Allgemeine Aufgaben

A 25.34

$\bullet$ Gegeben ist eine Spule mit 100 Windungen, einem Radius von 4,00 cm und einem Widerstand von $25{,}0\,\Upomega$. a) Die Spule befindet sich in einem homogenen Magnetfeld, dessen Richtung senkrecht auf der Spulenebene steht. Mit welcher Rate muss sich die Magnetfeldstärke ändern, damit in der Spule ein Strom von 4,00 A induziert wird? b) Wie lautet die Antwort auf Frage a, wenn die Feldrichtung einen Winkel von 20${}^{\circ}$ mit der Normalen auf der Spulenebene einschließt?

A 25.35

$\bullet\bullet$ In Abb. 25.40 sehen Sie einen Wechselstromgenerator, bestehend aus einer rechteckigen, mit Schleifringen verbundenen Leiterschleife mit den Seitenlängen $a$ und $b$ sowie mit $n$ Windungen. Die Schleife dreht sich, von außen angetrieben, mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ in einem homogenen Magnetfeld ${\boldsymbol{B}}$.  a) Zeigen Sie, dass die induzierte Potenzialdifferenz zwischen den Schleifringen gegeben ist durch $U=n\,B\,a\,b\,\omega\,\sin\omega t$.  b) Es sei $a=2{,}00$ cm, $b=4{,}00$ cm, $n=250$ und $B=0{,}200$ T. Mit welcher Winkelgeschwindigkeit $\omega$ muss die Schleife rotieren, damit eine Spannung mit einem Maximalwert von 100 V induziert wird?

Abb. 25.40

Zu Aufgabe A 25.35

A 25.36

$\bullet\bullet$ Zwei Spulen mit den Selbstinduktivitäten $L_{1}$ und $L_{2}$ sind parallel geschaltet, wobei keine Spule vom Magnetfeld der anderen durchdrungen wird. Zeigen Sie, dass für die Selbstinduktivität $L$ der gesamten Anordnung dann gilt:

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{1}{L}=\frac{1}{L_{1}}+\frac{1}{L_{2}}\,.\end{aligned}$$

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