Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden Begriffe aus der klassischen Newton’schen Mechanik wie der Impuls, die Kraft oder die Energie auf eine neue Grundlage gestellt, damit sie mit der speziellen Relativitätstheorie verträglich werden. Aus den Transformationsgesetzen für die elektromagnetischen Feldstärken werden mithilfe der Lorentzkraft-Formel Transformationsgesetze für die Kraft hergeleitet. Hieraus folgen wiederum Transformationsgesetze für den Impuls. Um die so gewonnenen Transformationsformeln transparenter darstellen zu können, werden Vierervektoren des Ortes, der Geschwindigkeit und des Impulses eingeführt, wofür auch die Eigenzeit definiert wird. Auf diese Weise ergibt sich automatisch der Zusammenhang zwischen Ruhemasse und bewegter Masse sowie Einsteins berühmte Masse-Energie-Äquivalenz. Schließlich werden auch die Viererbeschleunigung und die Viererkraft definiert, um dann die Viererkraft zu bestimmen, die ein elektromagnetisches Feld auf eine Punktladung ausübt. Am Ende des Kapitels werden die sogenannten Lorentzfaktoren eingeführt, die eine verkürzte Schreibweise zahlreicher Formeln in der speziellen Relativitätstheorie ermöglichen.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Notes
- 1.
Dieser Fall liegt zum Beispiel bei Raketen vor, die durch den zur Schuberzeugung benötigten Materieausstoß mit der Zeit an Masse verlieren.
- 2.
Dies folgt aus (3.196).
- 3.
Bereits in Abschn. 3.8.1 hatten wir darauf hingewiesen, dass Ortsvektoren keine "‘vollwertigen"’ Vektoren im Sinne der Tensoranalysis sind. Auch im Kontext der Vierervektoren ist wieder Vorsicht angebracht:
Der vierdimensionale Ortsvektor ist nur dann ein echter Vierervektor, wenn man räumliche Translationen und Verschiebungen der Zeit bei den betrachteten Koordinatentransformationen zwischen Bezugssystemen ausschließt. Dann fallen die additiven Terme in (3.335) und (3.336) weg, und der Vierervektor des Ortes erfüllt die Transformationsformeln (3.124) und (3.125) der Tensoranalysis. Möchte man den Vierervektor des Ortes als Tensor behandeln, dann dürfen also nur Koordinatentransformationen betrachtet werden, die keine Translationen beinhalten und den Koordinatenursprung auf den Koordinatenursprung abbilden. Dies ist bei der speziellen Lorentztransformation (5.8) und bei räumlichen Drehungen (mit gemäß \(\bar{t}=t\) unveränderter Zeit) der Fall – das Ereignis (0, 0, 0, 0) wird auf das Ereignis (0, 0, 0, 0) abgebildet.
Auf diesen Umstand, dass der Vierervektor des Ortes nur dann als Tensor angesehen werden darf, wenn die Klasse der betrachteten Transformationen eingeschränkt wird, wird im Rest des Buches nicht mehr explizit hingewiesen; der Einfachheit sprechen wir trotzdem von einem Vierervektor. Da wir in der speziellen Relativitätstheorie einen pseudo-euklidischen Raum betrachten, können wir Differenzen zwischen zwei Vierervektoren des Ortes (also zwischen zwei Ereignissen) definieren. Für solche Differenzen gilt die Einschränkung nicht mehr, weil ein eventuell vorhandener konstanter additiver Term bei der Differenzbildung herausfällt. Differenzen von zwei Vierervektoren des Ortes sind also echte Tensoren erster Stufe. Auch die Ableitung eines Vierervektors des Ortes nach einem geeigneten Parameter führt zu einem echten Vierervektor, weil ein konstanter additiver Term durch die Ableitung verschwindet. Deshalb ist die im nächsten Abschnitt definierte Vierergeschwindigkeit ein echter Vierervektor, der keinen Verzicht auf Translationen erfordert.
- 4.
Durch Bildung der Skalarprodukte der Basisvektoren aus (8.34) kontrolliert man leicht, dass die Basisvektoren im Inertialsystem K ein Orthonormalsystem bilden, wenn auch die Basisvektoren im Inertialsystem \(\bar{K}\) ein Orthonormalsystem darstellen. Denselben Schluss kann man auch umkehren. Am Ende von Abschn. 3.16 wurde bereits gezeigt, dass dies eine Eigenschaft von allgemeinen orthogonalen Transformationen ist, sodass es sich hier für die spezielle Lorentztransformation bestätigt. Kartesische Basisvektoren werden in kartesische Basisvektoren überführt.
- 5.
Damit haben wir auch die schon in Abschn. 8.2 gesuchte Verallgemeinerung der anhand des speziellen Beispiels hergeleiteten Gleichungen (8.13) gefunden. Für die dort geltenden Beziehungen
$$\begin{aligned} \begin{aligned}\displaystyle \vec {u}=u_{x}\;\vec {e}_{x}\end{aligned} \end{aligned}$$und
$$\begin{aligned} \begin{aligned}\displaystyle \vec {\bar{u}}=\bar{u}_{x}\;\vec {e}_{x}-v\;\vec {e}_{z}\end{aligned} \end{aligned}$$gilt nämlich
$$\begin{aligned} \begin{aligned}\displaystyle m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c_{0}^{2}}}}=\frac{m_{0}c_{0}}{\sqrt{c_{0}^{2}-u^{2}}}=\frac{m_{0}c_{0}}{\sqrt{c_{0}^{2}-u_{x}^{2}}}\end{aligned} \end{aligned}$$und
$$\begin{aligned} \begin{aligned}\displaystyle \bar{m}=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{\bar{u}^{2}}{c_{0}^{2}}}}=\frac{m_{0}c_{0}}{\sqrt{c_{0}^{2}-\bar{u}^{2}}}=\frac{m_{0}c_{0}}{\sqrt{c_{0}^{2}-\bar{u}_{x}^{2}-v^{2}}}.\end{aligned} \end{aligned}$$Die in Abschn. 8.2 aufgetretene Konstante \(K_{2}\) stellt sich jetzt also als das Produkt von Ruhemasse \(m_{0}\) und Lichtgeschwindigkeit \(c_{0}\) heraus, was man dort noch nicht wissen konnte.
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Rights and permissions
Copyright information
© 2023 Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature
About this chapter
Cite this chapter
Klingbeil, H. (2023). Relativistische Mechanik. In: Elektromagnetische Feldtheorie für Fortgeschrittene. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-67924-1_8
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-67924-1_8
Published:
Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-67923-4
Online ISBN: 978-3-662-67924-1
eBook Packages: Life Science and Basic Disciplines (German Language)