Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden grundlegende Kraftberechnungsmethoden in der elektromagnetischen Feldtheorie diskutiert. Die Ausführungen sind auf den einfachen Fall der Statik sowie auf starre Körper beschränkt. Zunächst wird diskutiert, wie man mithilfe virtueller Verrückungen Kräfte berechnen kann, die auf starre Körper wirken. Als Nächstes werden Formeln für die Kräfte und mechanischen Momente hergeleitet, die statische Felder auf Dipole ausüben. Anschließend werden ausgehend von den Formeln für die Lorentzkraft und die Coulombkraft Kraftdichten eingeführt, um eine Kräftebilanz herzuleiten, die auf dem Maxwell’schen Spannungstensor basiert. Als Anwendungsbeispiel für den Maxwell’schen Spannungstensor dient die Berechnung der Kraft, die zwischen einer Punktladung und einem dielektrischen Halbraum wirkt, vor dem sie platziert ist.
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Notes
- 1.
Eine Zeitabhängigkeit gibt es in der Statik natürlich nicht.
- 2.
In der Literatur werden (translatorische) virtuelle Verschiebungen und virtuelle Drehungen bisweilen unter dem Oberbegriff „virtuelle Verrückungen“ zusammengefasst; oft wird der Begriff „virtuelle Verschiebung“ aber auch für beide Fälle verwendet.
- 3.
Diese virtuelle Verrückung ist keine wirkliche, also dynamische Verschiebung mit einem bestimmten zeitlichen Verlauf, sondern eine gedachte Verschiebung, die die statische Anordnung in eine geringfügig modifizierte Anordnung überführt. Im Allgemeinen hält man bei virtuellen Verrückungen die Zeit fest.
- 4.
In der Elastostatik ist ein Körper genau dann mechanisch im Gleichgewicht, wenn
$$\begin{aligned} \begin{aligned}\displaystyle \delta A=\delta W\end{aligned} \end{aligned}$$gilt, wenn also die Variation der von den Kräften geleisteten mechanischen Arbeit A für beliebige virtuelle Verschiebungen gleich der Variation der Formänderungsarbeit W ist (Prinzip der virtuellen Arbeit, s. beispielsweise [38], Bände III und IV).
- 5.
Da wir im Folgenden von den Maxwellgleichungen im Vakuum ausgehen, sind auch die Felder \(\vec {E}\) und \(\vec {B}\) stetig und somit in einem hinreichend kleinen Gebiet \(\Delta V\) nahezu konstant.
- 6.
Gleichung (4.10) wird unmittelbar plausibel, wenn man annimmt, dass das bisher betrachtete kleine Gebiet \(\Delta V\) quaderförmig ist und in Richtung der Geschwindigkeit \(\vec {v}\) die Länge \(\Delta s\) besitzt, sodass \(|\Delta V|=\Delta A\;\Delta s\) gilt. Dann berechnet sich der Strom näherungsweise zu
$$\begin{aligned} \begin{aligned}\displaystyle I\approx \frac{\Delta Q}{\Delta t}\approx \frac{\varrho _{\text {el}}\;\Delta A\;\Delta s}{\Delta t}\approx \varrho _{\text {el}}\;\Delta A\;v.\end{aligned} \end{aligned}$$Dividiert man diese Näherungsgleichung durch \(\Delta A\) und bildet man den Grenzübergang für \(\Delta A\rightarrow 0\), so ergibt sich
$$\begin{aligned} \begin{aligned}\displaystyle J=\varrho _{\text {el}}\;v.\end{aligned} \end{aligned}$$Da die Stromdichte natürlich die Richtung der Geschwindigkeit besitzt, kann der entsprechende Einheitsvektor hinzugefügt werden, und man erhält (4.10).
- 7.
Natürlich üben die beiden Punktladungen eine anziehende Kraft aufeinander aus; diese soll aber durch mechanische Kräfte, die den Abstand der Ladungen konstant halten, kompensiert werden.
- 8.
Löst man aus dem vektoriellen Wegelement dieses Integrals den tangentialen Einheitsvektor heraus, so entsteht ein Ausdruck der Form \(\vec {B} \; \vec {A} \cdot \vec {e}_t\). An diesem Ausdruck erkennt man, dass keine Klammern gesetzt werden müssen, weil gemäß Abschn. 3.10.3, Formel (3.265) die Identität \((\vec {B} \vec {A}) \cdot \vec {e}_t=\vec {B} (\vec {A} \cdot \vec {e}_t)\) gilt; es ist also gleichgültig, ob man – wie im ersten Fall – von einem Tensor zweiter Stufe ausgeht, der im verjüngenden Produkt mit einem Vektor steht, oder ob man – wie im zweiten Fall – einen gewöhnlichen Vektor mit einem Skalarprodukt, also einem Zahlenwert multipliziert.
- 9.
Dieser wurde im Grundlagenband sowie in Abschn. 2.9 behandelt.
- 10.
Dieser Integralsatz wird in Anhang A.18.1 hergeleitet.
- 11.
Man sieht, dass es irreführend wäre, das Fremdfeld als das Feld zu definieren, das herrschen würde, wenn die Punktladung nicht vorhanden wäre. Dann würde bei diesem Beispiel nämlich auch das übrige Feld verschwinden. Die Punktladung beeinflusst also das übrige Feld, und dies muss bei der Bestimmung des Fremdfeldes berücksichtigt werden.
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Klingbeil, H. (2023). Kraftwirkungen statischer Felder. In: Elektromagnetische Feldtheorie für Fortgeschrittene. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-67924-1_4
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-67924-1_4
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-662-67924-1
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